2024年3月14日发(作者：四川达州中考数学试卷分析)

1.在平面上向量AB1垂直向量AB2，向量OB1的模等于向量OB2的模=1，向

量AP等于向量AB1+向量AB2,若向量OP的模＜1/2，则向量OA的模的取值

范围是

解：以点O为圆心，分别以1为半径作单位圆大⊙O、以1/2为半径作小⊙O，线段B1B2

是大⊙O的一条弦，以B1B2为直径的圆是⊙C，由向量AB1⊥向量AB2知点A在⊙C上，

由向量AP等于向量AB1+向量AB2知点P也在⊙C上，且点P和点A关于点C对称（即

PA是⊙C的直径）。设⊙C与小⊙O的公共点为D.

令⊙C半径为r=|B1B2|/2(即半弦长)，|OC|=d(即弦心距)，则

考虑到|OP|<1/2，于是⊙C的圆周上必须有点落在小⊙O内部，由图1可知，当⊙C和小⊙

O外切时，r最小（即图1中⊙C）；当⊙C和小⊙O内切时，r最大（即图1中⊙C‘）。（取

开值）

下面先求出最值，由图1——

r²+d²=1

d=r±1/2

(外切时，d=|OC|=|CD|+|OD|=r+1/2；内切时，d=|OC’|=|C‘D|-|OD|=r-1/2.)

于是r²+(r±1/2)²=1

整理得8r²±4r-3=0

解得r=(√7±1)/4 （负根已舍去）

于是(√7-1)/4

【易得此前提即(√7-1)/4

先研究最大值，由图1，直线OC与⊙C有两个交点，取近O的一个为P，P必在小⊙O内

部满足题设要求，这时远O的一个为A，最大值必在此时取得，此时|OA|=d+r.(参见图1和

图2)

由r²+d²=1，令r=sina，d=cosa，a为锐角，于是

|OA|=d+r=sina+cosa=√2sin(a+b)=√2sin(a+45°)，tanb=1可取b=45°.(辅助角公式)

a+45°=90°时取最大值，即a=45°，此时r=sina=√2/2，d=cosa=√2/2.

1

r=√2/2满足(√7-1)/4

再研究最小值，如图2，P的范围是图2中弧D1D2，于是A的范围是图2中弧AA\'，过A

作OA垂线，垂线在⊙C内部，以OA为半径O为圆心的圆还在垂线内部，故|OA|最小值

必在图2中A(或A\')处，通过计算得知此时|OA|是定值√7/2(与图2中d或r的取值无关).

在△OCD2中，|OC|=d，|OD2|=1/2，|CD2|=r，于是

cos∠OCD2=(d²+r²-1/4)/(2dr)=(1-1/4)/(2dr)=3/(8dr)

|EC|=|CD2|·cos∠OCD2=r·3/(8dr)=3/(8d)

|AF|²=|ED2|²=|CD2|²-|EC|²=r²-9/(64d²)

|OF|=|OC|+|CF|=|OC|+|EC|=d+3/(8d)

|OA|²=|AF|²+|OF|²=r²-9/(64d²)+[d+3/(8d)]²=r²-9/(64d²)+d²+3/4+9/(64d²)=r²+d²+3/4=1+3/4=

7/4

|OA|=√7/2

段首已证无论d或r如何取值，A点在图2中的A点位置时，|OA|最小(取开值)，于是

|OA|>√7/2.

综合上述，由连续性可知|OA|属于(√7/2,√2].

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