高三数学难题

2024年3月14日发(作者：07中考数学试卷安徽)

高三数学难题

〔1〕求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程；

〔2〕设动圆C2：x2＋y2＝t与C0相交于A′，B′，C′，D′四点，其中b

A′B′C′D′的面积相等，证明：t＋t为定值．

[自主解答] 〔1〕设 A〔x1，y1〕，B〔x1，－y1〕，又知A1〔－a,0〕，A2〔a,0〕，则直线A1A的

方程为y＝〔x＋a〕，①

直线A2B的方程为y＝〔x－a〕．②

由①②得y2＝〔x2－a2〕．③

由点A〔x1，y1〕在椭圆C0上，故＋＝1.

从而y＝b2，代入③得－＝1〔x<－a，y<0〕．

〔2〕证明：设A′〔x2，y2〕，由矩形ABCD与矩形A′B′C′D′的面积相等，得4|x1||y1|＝4|x2|·|y2|，

故xy＝xy.

因为点A，A′均在椭圆上，所以

b2x

＝

b2x.

由t1≠t2，知x1≠x2，所以x＋x＝a2，从而y＋y＝b2，

因此t＋t＝a2＋b2为定值．

3．〔2012·山东省实验中学模拟〕已知抛物线y2＝2px〔p≠0〕及定点A〔a，b〕，B〔－a,0〕，ab≠0

，b2≠2pa，M是抛物线上的点．设直线AM，BM与抛物线的另一个交点分别为M1，M2，当M变动时，直

线M1M2恒过一个定点，此定点坐标为________．

解析：设M，M1，M2，由点A，M，M1共线可知＝，得y1＝，同理由点B，M，M2共线得y2＝.设〔

x，y〕是直线M1M2上的点，则＝，即y1y2＝y〔y1＋y2〕－2px，又y1＝，y2＝，

则〔2px－by〕y02＋2pb〔a－x〕y0＋2pa〔by－2pa〕＝0.

当x＝a，y＝时上式恒成立，即定点为.

6．〔2013·长沙〕直线l：x－y＝0与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC

面积的最大值为________．

解析：由得3x2＝2，∴x＝±，

∴A，B，

∴|AB|＝.

设点C〔cos θ，sin θ〕，则点C到AB的距离d＝＝·sin〔θ－φ〕≤，

∴S△ABC＝|AB|·d≤××＝.

答案：2

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8．〔2012·黄冈质检〕已知椭圆＋＝1〔a＞b＞0〕的离心率为，椭圆上任意一点到右焦点F的距离的

最大值为＋1.

〔1〕求椭圆的方程；

〔2〕已知点C〔m,0〕是线段OF上一个动点〔O为坐标原点〕，是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l

与椭圆交于A，B点，使得|AC|＝|BC|？并说明理由．

解：〔1〕∵，∴，∴b＝1，

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

〔2〕由〔1〕得F〔1,0〕，∴0≤m≤1.

假设存在满足题意的直线l，

设l的方程为y＝k〔x－1〕，代入＋y2＝1中，得

〔2k2＋1〕x2－4k2x＋2k2－2＝0.

设A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，则x1＋x2＝，

x1x2

＝，

∴y1＋y2＝k〔x1＋x2－2〕＝.

设AB的中点为M，则M.

∵|AC|＝|BC|，∴CM⊥AB，即kCM·kAB＝－1，

∴·k＝－1，即〔1－2m〕k2＝m.

∴当0≤m＜时，k＝± ，即存在满足题意的直线l；

当≤m≤1时，k不存在，即不存在满足题意的直线l.

2．〔2012·郑州模拟〕已知圆C的圆心为C〔m,0〕，m＜3，半径为，圆C与离心率e＞的椭圆E：＋＝1

〔a＞b＞0〕的其中一个公共点为A〔3,1〕，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点．

〔1〕求圆C的标准方程；

〔2〕若点P的坐标为〔4,4〕，试探究直线PF1与圆C能否相切？若能，设直线PF1与椭圆E相交于D，B

两点，求△DBF2的面积；若不能，请说明理由．

解：〔1〕由已知可设圆C的方程为〔x－m〕2＋y2＝5〔m＜3〕，

将点A的坐标代入圆C的方程中，得〔3－m〕2＋1＝5，

即〔3－m〕2＝4，解得m＝1，或m＝5.

∴m＜3，∴m＝1.

∴圆C的标准方程为〔x－1〕2＋y2＝5.

〔2〕直线PF1能与圆C相切，

依题意设直线PF1的斜率为k，则直线PF1的方程为y＝k〔x－4〕＋4，即kx－y－4k＋4＝0，

若直线PF1与圆C相切，则＝.

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