2024年3月14日发(作者：2019数学试卷新高考一卷)
2023北京西城高三一模
数学
2023.3
本试卷共 6 页， 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考
试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分
（选择题共 40 分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合
A{1,0,1,2,3}
，
B{x|x
2
3x0}
，则
AIB
（A）
{1}
（C）
{1,2,3}
（B）
{1,2}
（D）
{1,0,1,2}
（2）下列函数中，在区间
(0,)
上为增函数的是
（A）
y|x|
（C）
ysinx
（3）设
alg2
，
bcos2
，
c2
0.2
，则
（A）
bca
（C）
bac
2
5
（4）在
(x
)
的展开式中，
x
的系数为
x
（B）
yx
2
2x
（D）
y
x
1
x
（B）
cba
（D）
abc
（A）
40
（C）
40
（B）
10
（D）
10
uuuruur
（5）已知
P
为
△ABC
所在平面内一点，
BC2CP
，则
uuurr
3
uuur
1
uuu
（A）
APABAC
22
uuur
3
uuur
1
uuur
（C）
APABAC
22
uuur
1
uuur
2
uuur
（B）
APABAC
33
uuur
2
uuur
1
uuur
（D）
APABAC
33
（6）函数
f(x)sin2xtanx
是
（A）奇函数，且最小值为
0
（C）偶函数，且最小值为
0
（B）奇函数，且最大值为
2
（D）偶函数，且最大值为
2
（
7
）已知双曲线
C
的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“
C
的离心率为
2
”是“
C
的
一条渐近线为
y3x
”的
（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件
第1页/共10页
（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件
（8）在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度
v(km/s)
和燃料的质量
M(kg)
以及
火箭（除燃料外）的质量
N(kg)
间的关系为
v
2ln(1
为
12km/s
，则下列各数中与
M
最接近的是
N
M
)
．若火箭的最大速度
N
（参考数据：
e2.71828L
）
（A）
200
（C）
600
（B）
400
（D）
800
x
c
,
x
≥
0,
（9）设
cR
，函数
f
(
x
)
x
若
f(x)
恰有一个零点，则
c
的取值范围是
2
2
c
,
x
0.
（A）
(0,1)
（B）
{0}U[1,)
1
（C）
(0,)
2
1
（D）
{0}
U
[,
)
2
2
（10）
n
名学生参加某次测试，测试由
m
道题组成．若一道题至少有
n
名学生未解出
3
2
来，则称此题为难题；若一名学生至少解出了
m
道题，则该生本次测试成绩合
3
22
格．如果这次测试至少有
n
名学生成绩合格，且测试中至少有
m
道题为难
33
题，那么
mn
的最小值为
（A）
6
（C）
18
（B）
9
（D）
27
第二部分
（非选择题
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2i
（
11
）若复数
z
，则
|z|
____
．
1
i
共 110 分）
（12）已知抛物线
y
2
2px(p0)
的顶点为
O
，且过点
A,B
．若
△OAB
是边长为
43
的等边
三角形，则
p
____．
（13）已知数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
2
n
1
，
{
b
n
}
的通项公式为
b
n
1
2
n
．记数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和为
S
n
，则
S
4
____；
S
n
的最小值为____．
（14）设
A(cos
,sin
),B(2cos
,2sin
)
，其中
,
R
．当
π,
当
|AB|3
时，
的一个取值为____．
（15）如图，在棱长为
2
的正方体
ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
中，点
M
,
N
分别在线段
AD
1
和
B
1
C
1
上．
π
时，
|AB|
____；
2
第2页/共10页
给出下列四个结论：
①
MN
的最小值为
2
；
②四面体
NMBC
的体积为
4
；
3
③有且仅有一条直线
MN
与
AD
1
垂直；
④存在点
M
,
N
，使
△MBN
为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是
____
．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
如图，在
△ABC
中，
A
（Ⅰ）求
ADC
的值；
（Ⅱ）求
△BCD
的面积．
2π
，
AC2
，
CD
平分
ACB
交
AB
于点
D
，
CD3
．
3
（17）（本小题13分）
根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位：cm）：
立定跳远单项等级
优秀
良好
及格
不及格
高三男生高三女生
260
及以上
245
~
259
205
~
244
204
及以下
194
及以上
180
~
193
150
~
179
149
及以下
从某校高三男生和女生中各随机抽取
12
名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到
1cm
）：
男生
女生
0
60
假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立．
（Ⅰ）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项的优秀率；
（Ⅱ）从该校全体高三男生中随机抽取
2
人，全体高三女生中随机抽取
1
人，设
X
为这
3
人中立定跳远单项
等级为优秀的人数，估计
X
的数学期望
EX
；
（Ⅲ）从该校全体高三女生中随机抽取
3
人，设“这
3
人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事
件
A
，“这
3
人的立定跳远单项至多有
1
个是优秀”为事件
B
．判断
A
与
B
是否相互独立．（结论不要
求证明）
第3页/共10页
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥
PABCD
中，
PA
平面
ABCD
，
AB//CD
，
ABAD
，
AB1
，
PAADCD2
．
E
为棱
PC
上一点，平面
ABE
与棱
PD
交于点
F
．再从条件①、条件②这两个条件中
选择一个作为己知，完成下列两个问题：
（Ⅰ）求证：
F
为
PD
的中点；
（Ⅱ）求二面角
BFCP
的余弦值．
条件①：
BE∥AF
；
条件②：
BEPC
．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
（19）（本小题15分）
已知函数
f
(
x
)
e
x
cos
x
．
（Ⅰ）求曲线
yf(x)
在点
(
0
,f(
0
))
处的切线方程；
（Ⅱ）设
g(x)xf
(x)f(x)
，证明：
g
(x)
在
(0,)
上单调递增；
11
（Ⅲ）判断
3
f
()
与
4
f
()
的大小关系，并加以证明．
34
（20）（本小题15分）
已知椭圆
C:x
2
2y
2
2
，点
A,B
在椭圆
C
上，且
OAOB
（
O
为原点）．设
AB
的中点为
M
，射线
OM
交椭圆
C
于点
N
．
（Ⅰ）当直线
AB
与
x
轴垂直时，求直线
AB
的方程；
（Ⅱ）求
|
ON
|
的取值范围．
|
OM
|
第4页/共10页
（21）（本小题15分）
给定正整数
n
≥
2
，设集合
M
{
|
(
t
1
,
t
2
,
L
,
t
n
),
t
k
{0,1},
k
1,2,
L
,
n
}
．对于集合
M
中的任意元素
(
x
1
,
x
2
,
L
,
x
n
)
和
(
y
1
,
y
2
,
L
,
y
n
)
，记
x
1
y
1
x
2
y
2
Lx
n
y
n
．
设
AM
，且集合
A
{
i
|
i
(
t
i
1
,
t
i
2
,
L
,
t
in
),
i
1,2,
L
,
n
}
，对于
A
中任意元素
i
,
j
，若
p
,
i
j
,
则称
A
具有性质
T(n,p)
．
i
j
1,
i
j
,
（Ⅰ）判断集合
A{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}
是否具有性质
T(3,2)
？说明理由；
（Ⅱ）判断是否存在具有性质
T(4,p)
的集合
A
，并加以证明；
（Ⅲ）若集合
A
具有性质
T(n,p)
，证明：
t
1
j
t
2
j
Lt
nj
p
(
j
1,2,
L
,
n
)
．
第5页/共10页
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