2024年3月14日发(作者：北师大七下数学试卷)
西城区高三统一测试试卷
数学2023.3
本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结
束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一
项.
2
A{1,0,1,2,3}
B{x|x3x0}
，则
AB
（
1.已知集合
，）
A.
{1}
C.
{1,2,3}
2.下列函数中，在区间
0,
上为增函数的是（
A.
yx
C.
ysinx
3.设
alg2
，
bcos2
，
c2
0.2
，则（
A.
b C. bac 4.在 (x ) 的展开式中， x 的系数为（ A. 40 C. 40 ） B. {1,2} D. {1,0,1,2} ） B. yx 2 2x D. y x 1 x B. cba D. abc 5 2 x ） B. 10 D. 10 ） uuuruur 5.已知 P 为 ABC 所在平面内一点， BC2CP ，则（ uuurr 3 uuur 1 uuu A. APABAC 22 uuur 3 uuur 1 uuur APABAC C . 22 1 2 B. APABAC 33 uuur 2 uuur 1 uuur APABAC D. 33 6. 函数 f(x)sin2xtanx 是（ A. 奇函数，且最小值为 0 C. 偶函数，且最小值为 0 ） B. 奇函数，且最大值为 2 D. 偶函数，且最大值为 2 （ 3x ”的）7.已知双曲线 C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ C 的离心率为 2 ”是“ C 的一条渐近线为 y A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 火箭的最大速度 v(km/s) 和燃料的质量 M(kg) 以及火箭（除燃料外）的质量 N(kg) 8. 在不考虑空气阻力的条件下， 间的关系为 v 2ln(1 M M ) ．若火箭的最大速度为 12km/s ，则下列各数中与最接近的是（ N N B. 400 D. 800 ）（参考数据： e2.71828 ） A. 200 C. 600 9.设 cR ，函数 f ( x ) A. (0,1) x c , x 0, 若 f(x) 恰有一个零点，则 c 的取值范围是（ x 2 2 c , x 0. B. {0}U[1,) ） 1 C. (0,) 2 2 n 名学生未解出来，则称此题为难题；若一名 3 2 2 学生至少解出了 m 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有 n 名学生成绩合格，且测试中至少有 3 3 2 m 道题为难题，那么 mn 的最小值为（） 3 10. n 名学生参加某次测试，测试由 m 道题组成．若一道题至少有 A. 6 C 18 B. 9 D. 27 1 D. {0} U [, ) 2 . 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11 复数 z . 2 i ，则 z __________________. 1 i 12.已知抛物线 y 2 2px(p0) 的顶点为 O ，且过点 A,B ．若 OAB 是边长为 43 的等边三角形，则 p ____． 13.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n 2 n 1 ， { b n } 的通项公式为 b n 12n ．记数列 { a n b n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4 ____； S n 的最小值为____． 14.设 A(cos ,sin ),B(2cos ,2sin ) ，其中 , R ．当 π, 一个取值为 ____ ． 15.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，点 M ， N 分别在线段 AD 1 和 B 1 C 1 上． π 时， AB ____；当 AB 2 3 时， 的 给出下列四个结论： ① MN 的最小值为 2 ； ②四面体 NMBC 的体积为 4 ； 3 ③有且仅有一条直线 MN 与 AD 1 垂直； ④存在点 M ， N ，使 △MBN 为等边三角形． 其中所有正确结论的序号是 ____ ． 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16.如图，在 ABC 中， A 2π ， AC2 ， CD 平分 ACB 交 AB 于点 D ， CD3 ． 3 （ 1 ）求 ADC 的值； （ 2 ）求 △BCD 的面积． ，高三男生和女生立定跳远单项等级如下（单位： cm ）： 17. 根据《国家学生体质健康标准》 立定跳远单项等级 优秀 良好 及格 不及格 高三男生高三女生 260 及以上 245 ~ 259 194 及以上 180 ~ 193 150 ~ 179 205 ~ 244 204 及以下 149 及以下 从某校高三男生和女生中各随机抽取 12 名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下（精确到 1cm ）： 男生 女生 180 148 205 160 213 220 235 172 245 250 195 258 196 261 196 270 197 275 208 280 220 162169 184 假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立． （1）分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项 的 优秀率； （2）从该校全体高三男生中随机抽取 2 人，全体高三女生中随机抽取 1 人，设 X 为这 3 人中立定跳远单项等级为优 秀的人数，估计 X 的数学期望 E X ； （3）从该校全体高三女生中随机抽取 3 人，设“这 3 人的立定跳远单项既有优秀，又有其它等级”为事件 A ，“这 3 人 的立定跳远单项至多有 1 个是优秀”为事件 B ．判断 A 与 B 是否相互独立．（结论不要求证明） 18.如图，在四棱锥 P ABCD 中， PA 平面 ABCD ， AB//CD ， ABAD ， AB1 ， PAADCD2 ． E 为棱 PC 上一点，平面 ABE 与棱 PD 交于点 F ．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列 两个问题 （ 1 ）求证： F 为 PD 的中点； （ 2 ）求二面角 BFCP 的余弦值． 条件①： BE//AF ； 条件②： BEPC ． 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分． 19.已知函数 f ( x ) e x cos x ． （ 1 ）求曲线 yf(x) 在点 ( 0 ,f( 0 )) 处的切线方程； （2）设 g(x)xf (x)f(x) ，证明： g(x) 在 (0,) 上单调递增； 1 1 （3）判断 3 f 与 4 f 的大小关系，并加以证明． 3 4 20.已知椭圆 C:x 2 2y 2 2 ，点 A,B 在椭圆 C 上，且 OAOB （ O 为原点）．设 AB 的 中点为 M ，射线 OM 交 椭圆 C 于点 N ． （ 1 ）当直线 AB 与 x 轴垂直时，求直线 AB 的方程； | ON | （2）求的取值范围． | OM | 21.给定正整数 n2 ，设集合 M { | ( t 1 , t 2 , L , t n ), t k {0,1}, k 1,2, L , n } ．对于集合 M 中的任意元素 ( x 1 , x 2 , L , x n ) 和 ( y 1 , y 2 , L , y n ) ，记 x 1 y 1 x 2 y 2 Lx n y n ．设 AM ，且集合 A { i | i ( t i 1 , t i 2 , L , t in ), i 1,2, L , n } ，对于 A 中任意元素 i , j ，若 i j p , i j , 则称 A 具有性质 T(n,p) ． 1, i j , （ 1 ）判断集合 A{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} 是否具有性质 T(3,2) ？说明理由； （ 2 ）判断是否存在具有性质 T(4,p) 的集合 A ，并加以证明； （3）若集合 A 具有性质 T(n,p) ，证明： t 1 j t 2 j Lt nj p ( j 1,2, L , n ) ． 西城区高三统一测试试卷 数学2023.3 本试卷共6页，150分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结 束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一 项. 2 A{1,0,1,2,3} B{x|x3x0} ，则 AB （ 1.已知集合 ，） A. {1} C. {1,2,3} 【答案】 B B. {1,2} D. {1,0,1,2} 【分析】首先对集合 B{x|x 2 3x0} 化简，再由交集得定义即可求得 AB . 【详解】 B{x|x 2 3x0}{x|0x3} ，由 A{1,0,1,2,3} 得 AB{1,2} 故选： B 2.下列函数中，在区间 0, 上为增函数的是（ A. yx C. ysinx 【答案】 D ） B. yx 2 2x D. y x 1 x 【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断各选项中函数在区间 0, 上的单调性，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当 x0 时， yxx ，则 yx 在 0, 上单调递减； 对于B选项，函数 yx 2 2x 在区间 0, 上不单调； 对于C选项，函数 ysinx 在 0, 上不单调； 对于D选项，因为函数 yx 、 y 所以，函数 y x 故选： D. 3.设 alg2 ， bcos2 ， c2 0.2 ，则（） 1 在 0, 上为增函数. x 1 在 0, 上均为增函数， x A. b C. bac 【答案】 C B. cba D. abc 【分析】分别利用指数函数、对数函数、三角函数单调性，限定 a,b,c 的取值范围即可得出结论. 【详解】根据对数函数 ylgx 在定义域内为单调递增可知 0lg1lg2lg101 ，即 a 0,1 ； 由三角函数 ycosx 单调性可知 b cos2 < cos π 0 ； 2 利用指数函数 y 2 x 为单调递增可得 c2 0.2 2 0 1 ； 所以 bac . 故选： C 4.在 (x ) 的展开式中， x 的系数为（ A. 40 C. 40 【答案】 A 2 x 5 ） B. 10 D. 10 【分析】利用二项式定理的性质 . k 5 k 【详解】设 (x ) 的通项 T k 1 ，则 T k 1 C 5 x 2 x 1 5 2 令 k2 ，则 x 的 系数为 C 5 2 40 ，即A正确. 2 2 x k k ，化简得 T k 1 C 5 2 x 5 2 k ， k 故选： A uuuruur 5.已知 P 为 ABC 所在平面内一点， BC2CP ，则（ uuurr 3 uuur 1 uuu A. APABAC 22 uuur 3 uuur 1 uuur C. APABAC 22 ） 1 2 B. APABAC 33 uuur 2 uuur 1 uuur D. APABAC 33 【答案】 A 【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案 . 【详解】由题意作出图形 , 如图 , 则 1 1 APACCPACBCAC ( ACAB ) 22 3 1 ABAC ， 22 故选： A. 6. 函数 f(x)sin2xtanx 是（ A. 奇函数，且最小值为 0 C. 偶函数，且最小值为 0 【答案】 C ） B. 奇函数，且最大值为 2 D. 偶函数，且最大值为 2 【分析】根据题意可知定义域关于原点对称，再利用同角三角函数之间的基本关系化简可得 f(x)2sin 2 x1cos2x ，由三角函数值域即可得 f(x) 0,2 ，即可得出结果. 【详解】由题可知， f(x)sin2xtanx 的 定义域为 x | x 且 f ( x ) sin2 x tan x 2sin x cos x sin x 2sin 2 x ， cos x π k π, k Z ，关于原点对称， 2 22 而 f(x)2sin x 2sinxf(x) ，即函数 f(x) 为偶函数； 2 所以 f(x)2sinx1cos2x, π kπ,kZ ，又 cos2x 1,1 ， 2 即 f(x)1cos2x 0,2 ，可得函数 f(x) 最小值为0，无最大值. 故选： C 7.已知双曲线 C 的中心在原点，以坐标轴为对称轴．则“ C 的离心率为 2 ”是“ C 的一条渐近线为 y A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件 【答案】 D B. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 （ 3x ”的） 【分析】根据题意，分别从充分性和必要性两方面进行检验即可求解 . c 2 b 2 【详解】若双曲线 C 的离心率为 2 ，则 e 2 1 2 4 ， aa 2 b b 2 所以 2 3 ，若双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则渐近线方程为 y x 3 x ； a a 若双曲线 C 的焦点在 y 轴上，则渐近线方程为 y 所以“ C 的离心率为 2 ”不是“ C 的一条渐近线为 y 反之，双曲线 C 的一条渐近线为 y a 3 x x ； b 3 3x ”的充分条件； 3x ， b b x 3 x ，所以 3 ， a a 若双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则渐近线方程为 y b 2 离心率 e 1 2 ； 2 a 若双曲线 C 的焦点在 x 轴上，则渐近线方程为 y a b 3 x 3 x ，所以 ， b a 3 b 2 23 离心率 e 1 ；所以“ C 的离心率为 2 ”不是“ C 的一条渐近线为 y3x ”的必要条件； 2 a 3 综上：“ C 的离心率为 2 ”是“ C 的一条渐近线为 y 故选： D . 火箭的最大速度 v(km/s) 和燃料的质量 M(kg) 以及火箭（除燃料外）的质量 N(kg) 8. 在不考虑空气阻力的条件下， 间的关系为 v 2ln(1 3x ”的既不充分也不必要条件， M M ) ．若火箭的最大速度为 12km/s ，则下列各数中与最接近的是（ N N B. 400 D. 800 ）（参考数据： e2.71828 ） A. 200 C. 600 【答案】 B 【分析】根据所给关系式，求出 M e 6 1 ，近似计算得解. N M ) ， N 【详解】由题意，火箭的最大速度为 12km/s 时，可得 122ln(1 即 M e 6 1 ， N 因为 e2.71828 ，所以近似计算可得 故选： B M e 6 1 402 ， N x c , x 0, f ( x ) 9.设 cR ，函数 若 f(x) 恰有一个零点，则 c 的取值范围是（ x 2 2 c , x 0. A. (0,1) B. {0}U[1,) ） 1 C. (0,) 2 【答案】 D 1 D. {0} U [, ) 2 【分析】根据题意利用函数与方程的思想，可将 g x 范围. x , x 0 图象平移对参数 c 进行分类讨论即可得出其取值 x 2, x 0 x , x 0 gx 【详解】画出函数 x 的图象如下图所示： 2, x 0 函数 f ( x ) x c , x 0, x , x 0, g ( x ) 可由分段平移得到， xx 2 2 c , x 0.2, x 0. 易知当 c=0 时，函数 f(x) 恰有一个零点，满足题意； 当 c0 时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意； 当 c0 时，图象往下平移，当 02c1 时，函数有两个零点； 当 2c1 时， f(x) 恰有一个零点，满足题意，即 c 综上可得 c 的取值范围是 0 故选： D 1 ； 2 [ 1 , ) . 2 2 n 名学生未解出来，则称此题为难题；若一名 3 2 2 学生至少解出了 m 道题，则该生本次测试成绩合格．如果这次测试至少有 n 名学生成绩合格，且测试中至少有 3 3 2 m 道题为难题，那么 mn 的最小值为（） 3 10. n 名学生参加某次测试，测试由 m 道题组成．若一道题至少有 A. 6 C. 18 【答案】 B B. 9 D. 27 【分析】由题意可得学生人数和题目数必须是3的倍数，可从 n3,m3 进行讨论即可得出 mn 的最小值为9. 【详解】根据题意可知 22 n N * , m N * ，不妨设 n3N 1 ,m3N 2 ,N 1 ,N 2 N * ， 33 所以 mn9N 1 N 2 ，若求 mn 的最小值，只需 N 1 N 2 最小即可； 易知当 N 1 1,N 2 1 时，即 n3,m3 ； 此时即有3名学生不妨设为甲、乙、丙；3道题目设为 A,B,C ； 根据题意可得至少有 2 名学生成绩合格，这两名学生至少做出了4道题， 可设甲同学做出了 A,B 两道题，乙同学做出了 B,C 两道题，丙同学做出了0道题， 此时合格的学生为甲乙，即有 2 n 名学生成绩合格， 3 2 2 A,B,C 三道题目中有 A,C 两道题，有 n 名学生未解出来，即满足测试中有 m 道题为难题； 3 3 所以 n3,m3 符合题意. 故选： B 第二部分（非选择题共 110 分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.复数 z 【答案】 2 2 i ，则 z __________________. 1 i 【分析】利用复数的除法法则化简复数 z ，利用复数的模长公式可求得结果 . 【详解】 z 2 i 1 i 2 i i 1 i 1 i ，因此， z1 2 1 2 2 . 1 i 1 i 1 i 故答案为： 2 . 12.已知抛物线 y 2 2px(p0) 的顶点为 O ，且过点 A,B ．若 OAB 是边长为 43 的等边三角形，则 p ____． 【答案】 1 【分析】根据抛物线的对称性以及等边三角形的边角关系即可代入 A6,23 求解. 222222 【详解】设 A x 1 ,y 1 ,B x 2 ,y 2 ，则 OAOB ,即 x 1 y 1 x 2 y 2 x 1 2px 1 x 2 2px 2 ， 所以 x 1 x 2 x 1 x 2 2p 0 ，由于 x 1 0,x 2 0,x 1 x 2 0, 又 2p0 ，所以 x 1 x 2 2p0 ，因此 x 1 x 2 0 ，故 A,B 关于 x 轴对称， 由 OA=43,ÐAOx=30 得 A6,23 ,将 A6,23 代入抛物线中得 12=12p, 所以 p1 ， 故答案为： 1 13.已知数列 { a n } 的通项公式为 a n 2 n 1 ， { b n } 的通项公式为 b n 12n ．记数列 { a n b n } 的前 n 项和为 S n ，则 S 4 ____； S n 的最小值为____． 【答案】① . 1 ② . 2 【分析】（1）由题可得 c n a n b n 2 n 1 1 2 n ，根据等比数列及等差数列的求和公式可得 S n ，利用数学归纳法可 得 n3 时， c n 0 ， n4 时， c n 0 ，进而即得. 【详解】由题可知 a n b n 2 n 1 1 2 n ， 1 2 4 4 1 7 所以 S 4 1 1 2 3 2 5 2 7 1 ， 1 22 23 S n 1 1 2 3 2 n 1 1 2 n n 1 2 n 1 n 1 2 n 2 1 n 2 ， 1 22 令 c n 2 n 1 1 2 n ，则 c 1 0,c 2 1,c 3 1,c 4 1,c 5 7 ， 当 n4 时， c n 0 ，即 2 n 1 2 n 1 ，下面用数学归纳法证明 当 n4 时， 2 n 1 2 n 1 成立，假设 nk 时， 2 k 1 2 k 1 成立， kk 1 当 nk1 时， 2 2 2 2 2 k 1 2 k 1 1 2 k 3 2 k 1 1 ，即 nk1 时也成立， 所以 n4 时， c n 0 ，即 2 n 1 2 n 1 ， 所以 n3 时， c n 0 ， n4 时， c n 0 ， 由当 n3 时， S n 有最小值，最小值为 S 3 2132 . 故答案为： 1 ； 2 . 14.设 A(cos ,sin ),B(2cos ,2sin ) ，其中 , R ．当 π, 一个取值为 ____ ． π 时， AB ____；当 AB 2 32 3 时， 的
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