2024年3月14日发(作者：高考数学试卷题型分布乙卷)

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项

1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x

1

1

1．设全集

UR

，集合

A{x|(x1)(x3)0}

，

B

x|



.

则集合

(

U

A)

4



2



B

等于（

）

A

．

(1,2)

0.2

B

．

(2,3]

C

．

(1,3)

D

．

(2,3)

1

1

clog

1

2

，则

( )

2．已知

a



，

b0.2

2

，

3

2

A

．

abc

3．集合

My|y

A

．

7

B

．

bac

C

．

bca

D

．

acb

4x

2

,xZ

的真子集的个数为

( )

B

．

8

2

C

．

31 D

．

32

2

22

4．如图所示点

F

是抛物线

y8x

的焦点，点

A

、

B

分别在抛物线

y8x

及圆

xy4x120

的实线部分上

运动，

且

AB

总是平行于

x

轴，

则

FAB

的周长的取值范围是（

）

A

．

(6,10)

B

．

(8,12)

C

．

[6,8]

D

．

[8,12]

5．我国古代数学名著《数书九章》中有

“

天池盆测雨

”

题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水

.

天池盆盆口直径

为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸

.

若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（注：①平地降雨量等于盆中

积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式

V

A

．

2

寸

B

．

3

寸

C

．

4

寸

222

1

(SS

上

S

下

S

下

)

•

h

）

.

3

上

D

．

5

寸

n

2

6．在平面直角坐标系

xOy

中，已知

A

n

,B

n

是圆

xyn

上两个动点，且满足

OA

n

OB

n

nN

*

，设

A

n

,B

n

2

1

到直线

x3yn

n1

0

的距离之和的最大值为

a

n

，若数列



的前

n

项和

S

n

m

恒成立，则实数

m

的取值

a

n

范围是（

）

A

．

3

,

4

B

．

,

3

4

C

．

2

,

3

D

．

,

3

2

1

x

2

7．已知椭圆

C:y

2

1

内有一条以点

P

1,

为中点的弦

AB

，则直线

AB

的方程为

( )

3

3

A

．

3x3y20

C

．

3x3y40

B

．

3x3y20

D

．

3x3y40

8．

2019

年

10

月

17

日是我国第

6

个

“

扶贫日

”

，某医院开展扶贫日

“

送医下乡

”

医疗义诊活动，现有五名医生被分配到

四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院

A

，医生乙只能分配到医院

A

或医院

B

，医生丙不能分配到医生甲、

乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有

( )

A

．

18

种

B

．

20

种

C

．

22

种

D

．

24

种

x

2

y

2

222

9．已知双曲线

2

2

1

a0,b0

的左、右焦点分别为

F

1

、F

2

，圆

xyb

与双曲线在第一象限内的交点

ab

为

M

，若

MF

1

3MF

2

．则该双曲线的离心率为

A

．

2 B

．

3

2

C

．

2

D

．

3

10．已知斜率为

2

的直线

l

过抛物线

C

：

y2px(p0)

的焦点

F

，且与抛物线交于

A

，

B

两点，若线段

AB

的中点

M

的纵坐标为

1

，则

p

＝（

）

A

．

1 B

．

2

C

．

2 D

．

4

11．设

alog

3

0.5

，

blog

0.2

0.3

，

c2

0.3

，则

a,b,c

的大小关系是

( )

A

．

abc

B

．

acb

C

．

cab

D

．

cba

12．祖暅原理：

“

幂势既同，则积不容异

”.

意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等

.

设

A

、

B

为两个同高的几何体，

p:

A

、

B

的体积不相等，

q:

A

、

B

在等高处的截面积不恒相等

.

根据祖暅原理可知，

p

是

q

的（

）

A

．充分不必要条件

C

．充要条件

B

．必要不充分条件

D

．既不充分也不必要条件

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知函数

f(x)xm|lnx|

恰好有

3

个不同的零点，则实数

m

的取值范围为

____

xax

14．已知

f

x

ee

是偶函数，则

f

x

的最小值为

___________.

15．根据如图所示的伪代码，输出

I

的值为

______.

16．如图，在矩形

ABCD

中，

AD2AB4

，

E

是

AD

的中点，将

△ABE

，

△CDE

分别沿

BE，CE

折起，使得

平面

ABE

平面

BCE

，平面

CDE

平面

BCE

，则所得几何体

ABCDE

的外接球的体积为

__________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在长方体

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，

AB2BC2AA

1

4

，

E

为

A

1

D

1

的中点，

N

为

BC

的中点，

1

M

为线段

C

1

D

1

上一点，且满足

MC

1

D

1

C

1

，

F

为

MC

的中点

.

4

（

1

）求证：

EF//

平面

A

1

DC

；

F

的余弦值

.

（

2

）求二面角

NAC

1

18．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为

10.00cm

，只要误差的绝对值不超过

0.03cm

就认为合格，工厂质检

部抽检了某批次产品

1000

件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

（

1

）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

（

2

）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取

2

件，假设其中至少有

1

件是标

准长度产品的概率不小于

0.8

时，该设备符合生产要求

.

现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，

生产一件产品为标准长度的概率的最小值

.

19．（12分）在四棱锥

PABCD

中，底面

ABCD

是平行四边形，

PD

底面

ABCD,PDAD1,AB5,sinABD

5

．

5

（

1

）证明：

PABD

；

（

2

）求二面角

APBC

的正弦值．

20．（12分）已知

ABC

是等腰直角三角形

,

ACB

得到如图所示的四棱锥

A

1

BCDE

．

2

,AC2

．

D,E

分别为

AC,AB

的中点

,

沿

DE

将

ADE

折起

,

(Ⅰ)

求证：平面

A

1

DC

平面

A

1

BC

．

(Ⅱ)

当三棱锥

CA

1

BE

的体积取最大值时

,

求平面

A

1

CD

与平面

A

1

BE

所成角的正弦值．

21．（12分）已知函数

f(x)bx2ax2lnx

．

（

1

）若曲线

yf(x)

在

(1,f(1))

处的切线为

y2x4

，试求实数

a

，

b

的值；

（

2

）当

b1

时，若

yf(x)

有两个极值点

x

1

，

x

2

，且

x

1

x

2

，

a

的取值范围．

22．（10分）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从

A,B,C,D,E

五所高校中

任选

2

所．

（

1

）求甲、乙、丙三名同学都选

D

高校的概率；

2

5

，若不等式

f(x

1

)mx

2

恒成立，试求实数

m

2

（

2

）若已知甲同学特别喜欢

A

高校，他必选

A

校，另在

B,C,D,E

四校中再随机选

1

所；而同学乙和丙对五所高校没

有偏爱，因此他们每人在五所高校中随机选

2

所．

（

i

）求甲同学选

D

高校且乙、丙都未选

D

高校的概率；

（

ii

）记

X

为甲、乙、丙三名同学中选

D

高校的人数，求随机变量

X

的分布列及数学期望．

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

A

【解析】

先算出集合

【详解】

因为

A{x|x3

或

x1}

.

所以

所以

(

U

x

Bx|24

{x|x2}

.

A{x|1x3}

，又因为

U

U

A

，再与集合

B

求交集即可

.

A)B{x|1x2}

.

故选：

A.

【点睛】

本题考查集合间的基本运算，涉及到解一元二次不等式、指数不等式，是一道容易题

.

2、

B

【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性，将数据和

0,1

做对比，即可判断

.

【详解】

1

由于

0



2

0.2

1



1

，

2

0

0.2

1

2

1

5

，

1

5

log

1

2log

1

10

33

故

bac

.

故选：

B.

【点睛】

本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，属基础题

.

3、

A

【解析】

计算

M2,3,0

，再计算真子集个数得到答案

.

【详解】



My|y4x

2

,xZ2,3,0

，故真子集个数为：

2

3

17

.

故选：

A

.

【点睛】

本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力

.

4、

B

【解析】

根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出

AF

；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得

B

点横坐

标的取值范围，即可由

FAB

的周长求得其范围

.

【详解】

抛物线

y8x

，则焦点

F

2,0

，准线方程为

x2

，

2





根据抛物线定义可得

AFx

A

2

，

圆

x2

y

2

16

，圆心为

2,0

，半径为

4

，

2

22

点

A

、

B

分别在抛物线

y8x

及圆

xy4x120

的实线部分上运动，解得交点横坐标为

2.

2

点

A

、因而两点不能重合，不能在

x

轴上，则由圆心和半径可知

x

B

2,6

，

B

分别在两个曲线上，

AB

总是平行于

x

轴，

则

FAB

的周长为

AFABBFx

A

2x

B

x

A

46x

B

，

所以

6x

B

8,12

，

故选：

B.

【点睛】

本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题

.

5、

B

【解析】

1

9(10

2

10

2

6

2

6

2

)

试题分析：根据题意可得平地降雨量

3

，故选

B.

3

14

2

考点：

1.

实际应用问题；

2.

圆台的体积

.

6、

B

【解析】

由于

A

n

,B

n

到直线

x3yn

n1

0

的距离和等于

A

n

,B

n

中点到此直线距离的二倍，所以只需求

A

n

,B

n

中点到此

直线距离的最大值即可。再得到

A

n

,B

n

中点的轨迹是圆，再通过此圆的圆心到直线距离，半径和

A

n

,B

n

中点到此直线

1

a

距离的最大值的关系可以求出

n

。再通过裂项的方法求



的前

n

项和，即可通过不等式来求解

m

的取值范围

.

a

n

【详解】

n

n

2

n

2

由

OA

n

OB

n



，得

nncosA

n

OB

n



，

A

n

OB

n

120

.

设线段

A

n

B

n

的中点

C

n

，则

OC

n

，

C

n

2

22

n

2

在圆

xy

上，

A

n

B

n

到直线

x3yn

n1

0

的距离之和等于点

C

n

到该直线的距离的两倍，点

C

n

到直

4

22

n

2

线距离的最大值为圆心到直线的距离与圆的半径之和，而圆

xy

的圆心

(0,0)

到直线

x3yn

n1

0

4

22

的距离为

d

n

n1

1

2



3

2

n

n1

n

n1

n

111

11

2



a2n2n

，，



，



2

n

2

an2n2nn2

2



n

2

S

n

1111

1

11

3

1



11



11

1

1

1

1



1

1



2

2n1n2

4

.

a

1

a

2

a

3

a

n

2

32435nn2





m

3

.

4

故选：

B

【点睛】

本题考查了向量数量积，点到直线的距离，数列求和等知识，是一道不错的综合题

.

7、

C

【解析】

22

x

1

2

x

2

2

2

设

A

x

1

,y

1

，

B

x

2

,y

2

，则

y

2

2

1

，相减得到

k0

，解得答案

.

y

1

1

，

33

3

3

【详解】

x

1

2

x

2

2

2

设

A

x

1

,y

1

，

B

x

2

,y

2

，设直线斜率为

k

，则

y

2

2

1

，

y

1

1

，

3

3

相减得到：

x

1

x

2



x

1

x

2

3

y

1

y

2



y

1

y

2

0

，

AB

的中点为

P

1,

3

，

1



即

224

k0

，故

k1

，直线

AB

的方程为：

yx

.

333

故选：

C

.

【点睛】

本题考查了椭圆内点差法求直线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力

.

8、

B

【解析】

分两类：一类是医院

A

只分配

1

人，另一类是医院

A

分配

2

人，分别计算出两类的分配种数，再由加法原理即可得到

答案

.

【详解】

根据医院

A

的情况分两类：

第一类：若医院

A

只分配

1

人，则乙必在医院

B

，当医院

B

只有

1

人，则共有

C

3

A

2

种不同

分配方案，当医院

B

有

2

人，则共有

C

2

A

2

种不同分配方案，所以当医院

A

只分配

1

人时，

共有

C

3

A

2

C

2

A

2

10

种不同分配方案；

第二类：若医院

A

分配

2

人，当乙在医院

A

时，共有

A

3

种不同分配方案，当乙不在

A

医院，

在

B

医院时，共有

C

2

A

2

种不同分配方案，所以当医院

A

分配

2

人时，

共有

A

3

C

2

A

2

10

种不同分配方案；

共有

20

种不同分配方案

.

故选：

B

【点睛】

本题考查排列与组合的综合应用，在做此类题时，要做到分类不重不漏，考查学生分类讨论的思想，是一道中档题

.

9、

D

【解析】

3

12

22

12

22

12

3

12

本题首先可以通过题意画出图像并过

M

点作

F

1

F

2

垂线交

F

1

F

2

于点

H

，然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形

OMF

2

的形状并求出高

MH

的长度，

MH

的长度即

M

点纵坐标，然后将

M

点纵坐标带入圆的方程即可得出

M

点坐

标，最后将

M

点坐标带入双曲线方程即可得出结果。

【详解】

根据题意可画出以上图像，过

M

点作

F

1

F

2

垂线并交

F

1

F

2

于点

H

，

因为

MF

1

3MF

2

，

M

在双曲线上，

MF

2

2a

，即

3MF

2

MF

2

2a

，

MF

2

a

，

所以根据双曲线性质可知，

MF

1

因为圆

x

2

y

2

b

2

的半径为

b

，

OM

是圆

x

2

y

2

b

2

的半径，所以

OMb

，

因为

OMb

，

MF

2

a

，

OF

2

c

，

a

2

b

2

c

2

，

所以

OMF

2

因为

MH

90

，三角形

OMF

2

是直角三角形，

OMMF

2

，

MH

2

a

2

b

2

c

2

ab

c

OF

2

，所以

OF

2

MH

，即

M

点纵坐标为

ab

c

，

b

2

c

将

M

点纵坐标带入圆的方程中可得

x

将

M

点坐标带入双曲线中可得

a

b

22

c

化简得

b

4

【点睛】

4

b

2

，解得

x

，

M

b

2

c

,

ab

，

c

a

2

c

2

1

，

a

2

c

2

，

c

2

3a

2

，

e

c

a

a

4

22

a

2

c

2

，

ca

2

a

4

3

，故选

D

。

本题考查了圆锥曲线的相关性质，主要考察了圆与双曲线的相关性质，考查了圆与双曲线的综合应用，考查了数形结

合思想，体现了综合性，提高了学生的逻辑思维能力，是难题。

10、

C

【解析】

设直线

l

的方程为

x

＝

1p

y

，与抛物线联立利用韦达定理可得

p

．

22

【详解】

由已知得

F

（

1p

p

，

0

），设直线

l

的方程为

x

＝

y

，并与

y

2

＝

2

px

联立得

y

2

﹣

py

﹣

p

2

＝

0

，

22

2

设

A

（

x

1

，

y

1

），

B

（

x

2

，

y

2

），

AB

的中点

C

（

x

0

，

y

0

），

∴

y

1

+

y

2

＝

p

，

又线段

AB

的中点

M

的纵坐标为

1

，则

y

0

故选

C

．

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线的相交弦问题，利用韦达定理是解题的关键，属中档题．

11、

A

【解析】

x

选取中间值

0

和

1

，利用对数函数

ylog

3

x

，

ylog

0.2

x

和指数函数

y2

的单调性即可求解

.

p

1

（

y

1

+

y

2

）＝

1

，所以

p=2,

2

2

【详解】

因为对数函数

ylog

3

x

在

0,

上单调递增

,

所以

log

3

0.5log

3

10

,

因为对数函数

ylog

0.2

x

在

0,

上单调递减

,

所以

0log

0.2

1log

0.2

0.3log

0.2

0.21

，

因为指数函数

y2

在

R

上单调递增

,

所以

2

0.3

2

0

1

,

综上可知

,

abc

.

故选

:A

【点睛】

本题考查利用对数函数和指数函数的单调性比较大小

;

考查逻辑思维能力和知识的综合运用能力

;

选取合适的中间值是

求解本题的关键

;

属于中档题、常考题型

.

12、

A

【解析】

由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案

.

【详解】

解：由题意，若

A

、

B

的体积不相等，则

A

、

B

在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，

A

、

B

在等高处的

x


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