2024年4月18日发(作者：固原五原小升初数学试卷)
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
.
xln1
1,b
1
6
2
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
（1）当
x
A
a
0
时，f
1,b
1
6
C
a
A
xsinax,g(x)xln(1
2
x
.
1
6
xsinax与
gx
Ba
bx等价无穷小，则
.
1
6
1,b
. D
a1,b
.
【答案】
【解析】
f(x)
f(x)
g(x)
2
bx)
为等价无穷小，则
2
lim
x0
lim
x
x
0
2
sinax
bx)
lim
x
x
x
2
sinax
(bx)xln(1
a
3
0
洛
lim
x
1acosax
3bx
2
0
洛
lim
x
asinax
6bx
0
lim
x
asinax
0
6b
a
1
ax
acosax
3bx
2
6b
a
3
6b
故排除
B,C
。
另外
lim
x0
1
存在，蕴含了
1acosax0
x0
故
a1.
排
y
D
。
所以本题选A。
1
（2）如图，正方形
四个区域
D
k
k
则
maxI
k
1k4
x,yx1,y1
被其对角线划分为
ycosxdxdy
，
D
1
D
4
1,2,3,4
，
I
k
D
k
-1
D
2
D
3
1
x
-1
A
I
1
.
B
I
2
.
C
I
3
. D
I
4
.
【答案】A
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D
2
,D
4
两区域关于x轴对称，而
I
4
0
;
f(x,y)ycosxf(x,y)
，即被积函数是关于
y
的
奇函数，所以
I
2
D
1
,D
3
两区域关于
y
轴对称，而
f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)
，即被积函数是
关于x的偶函数，所以
I
1
2
(x,y)yx,0x1
ycosxdxdy0
；
I
3
2
(x,y)yx,0x1
ycosxdxdy0
.所以正确答案为A.
（3）设函数yfx在区间1,3上的图形为：
x
则函数
Fx
0
ftdt
的图形为
AB
C
D
【答案】
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
xx
0
所围的图形的代数面积为所求函数
0,1
时，
F(x)0
，且单调递减。
yf(x)
的图形可见，其图像与x轴及
y
轴、
F(x)
，从而可得出几个方面的特征：
①
x
②
x1,2
时，
F(x)
单调递增。
③
x
④
x
2,3
时，
F(x)
为常函数。
1,0
时，
F(x)0
为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为
D
。
（4）设有两个数列
a
n
,
b
n
，若
lima
n
n
0
，则
A
当
n1
b
n
收敛时，
n1
a
n
b
n
收敛.
B
当
n1
b
n
发散时，
n1
a
n
b
n
发散.
C
当
n1
b
n
收敛时，
n1
a
n
b
n
22
收敛. D当
n1
b
n
发散时，
n1
a
n
b
n
发散.
22
【答案】C
【解析】
方法一：
举反例A取
a
n
b
n
(1)
n
1
n
B取
a
n
D取
a
n
故答案为（C）
方法二：
因为
lim
a
n
n
b
n
b
n
1
n
1
n
0,
则由定义可知
N
1
,
使得
nN
1
时，有a
n
1
又因为
n1
b
n
收敛，可得lim
b
n
n
0,
则由定义可知
N
2
,
使得
nN
2
时，有b
n
1
从而，当
nN
1
N
2
时，有a
n
b
n
22
b
n
，则由正项级数的比较判别法可知
n1
a
n
b
n
收敛。
22
（5）设
1
,
2
,
3
是3维向量空间
R
的一组基，则由基
,
3
1
,
1
2
2
,
1
3
3
到基
12
,
2331
的过渡矩阵为
1
A
0
2
3
1
2
1
2
1
2
1
0
.
3
1
4
1
4
1
4
1
6
1
6
1
6
.
B
1
0
1
2
2
0
1
2
1
4
1
6
0
3
.
3
1
2
1
4
1
6
1
2
1
4
1
6
.
2
0
C
D
【答案】A
【解析】因为
1
,
2
,,
n1
,
2
,,
n
A，则
A
称为基
1
,
2
,,
n
到
1
,
2
,,
n
的过渡矩阵。
则由基
1
,
1
2
2
,
1
3
,
3
到
12
,
23
,
31
的过渡矩阵
M
满足
12
,
23311
,
1
2
2
,
1
3
3
M
1
1
0
2
3
1
0
3
,
1
2
2
,
1
3
3
2
0
所以此题选
A
。
（6）设
A,B
均为2阶矩阵，
A,B
分别为
A,
B
的伴随矩阵，若
O
B
A
O
**
A2,B3，则分块
矩阵的伴随矩阵为
A
O
2A
O
2B
*
*
3B
O
3A
O
*
.
B
O
3A
O
3B
*
*
2B
O
*
.
*
C
. D
2A
O
*
.
【答案】B
【解析】根据
CCCE
，若
CCC
1
,C
1
1
C
C
分块矩阵
0
B
A
0
的行列式
0
B
A
0
（1）
22
AB236
，即分块矩阵可逆
0
B
A
0
0
B
A
0
0
B
A
0
1
6
0
A
1
B
0
1
0
6
1
A
1
B
A
B
0
0
6
1
2
故答案为B。
（7）设随机变量
A
1
3
B
0
0
3A
2B
0
X
的分布函数为
Fx0.3x0.7
x
2
1
，其中
x
为标准正
态分布函数，则
A
0
.
C
EX
B0.3
.
C0.7
. D
1
.
【答案】
【解析】因为
Fx0.3x0.7
x
2
1
，
所以
Fx0.3x
0.7
2
x
2
1
，
所以
EXxFxdxx0.3x0.35
x
2
1
dx
0.3xxdx0.35x
x
2
x
2
1
1
dx
而xxdx
00.35
0，
2
xdx
x
2
1
u22u1udu2
所以
EX0.7
。
（8）设随机变量
PY0
X
与
Y
相互独立，且
PY1
1
2
X
服从标准正态分布
N0,1
，
Y
的概率分布为
z，记F
Z
z为随机变量
ZXY
的分布函数，则函数F
Z
的间断点个数为
A
0.
B
1.
C
2.
D
3.
【答案】B
【解析】
F
Z
(z)
1
2
1
2
P(XY
zY
zY
z)
0)
0)
P(XY
P(XY
P(X
zY
zY
zY
0)P(Y
1)]
1)]
0)P(XYzY1)P(Y1)
[P(XY
[P(X0
X,Y
独立
1
2
0
，则
F
Z
(z)
0
，则
F
Z
(z)
1
2
1
2
(1(z))
(z)
F
Z
(z)[P(X0z)P(Xz)]
（1）若
z
（2）当
z
z0
为间断点，故选（B）
4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
2
二、填空题：9-14小题，每小题
（9）设函数
f
.
。
u,v
具有二阶连续偏导数，zfx,xy，则
z
xy
【答案】
xf
12
【解析】
z
x
2
f
2
f
1
xyf
f
2
22
y
，
z
xy
xf
12
f
2
yxf
22
xf
12
f
2
xyf
22
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程
齐次方程
y
【答案】
y
ay
x
yayby0
的通解为
yC
1
C
2
xe，则非
。
x
byx
满足条件y0
2
yay
2,y00的解为
y
xex
【解析】由常系数线性齐次微分方程
y
1
e
，
y
2
xx
by0
的通解为
yC
1
C
2
xe可知
x
xe
为其线性无关解。代入齐次方程，有
y
1
y
2
ay
1
ay
2
by
1
by
2
(1
[2
2,b
a
a
b)e
(a
x
0
1
1
b)x]e
x
ab
0
0
2a0
从而可见
a1
。
微分方程为
设特解
y
*
y\'\'2y\'yx
Ax
2A
2B
*
B
代入，
y\'
Ax
0B,
B
2
x
A,A1
特解
y
yx2
x
(c
1
2
c
2
x)ex2
把
y(0)
，
xe
x
y\'(0)0
代入，得
c
1
0,c
2
1
所求
yx
x
2
2
0x2
（11）已知曲线
L:y
【答案】
13
6
，则
L
xds
。
【解析】由题意可知，
ds
所以
x
xds
2
xx,y
2
x,0
2
x2
，则
y
2
2
dx1
4xdx
2
4xdx
，
1
8
2
0
2
L0
x114xd1
2
4x
2
12
83
（12）设
4
15
14x
2
2
3
13
6
z
2
0
2
x,y,zxy1
，则zdxdydz
2
。
【答案】
【解析】
方法一：
zdxdydz
2
2
0
1
d
0
d
2
0
sin
2
cos
2
d
2
0
d
0
cos
3
2
1
d
1
0
cos
4
15
4
0
d
2
cos
3
2
5
d
方法二：由轮换对称性可知
zdxdydzxdxdydz
2
ydxdydz
2
所以，
zdxdydz
2
1
3
2
3
0
x
2
y
2
z
2
dxdydz
1
3
0
21
d
0
d
0
r
4
sindr
1
sin
T
d
0
rdr
4
2
3
T
1
5
0
sind
4
15
T
（13）若3维列向量
为
【答案】2
【解析】
T
T
,
满足
2
，其中为的转置，则矩阵的非零特征值
。
2
T
2
,
T
的非零特征值为2.
(14)设
X
1
,X
2
,
值和样本方差。若
【答案】
【解析】
1
,X
m
为来自二项分布总体
2
2
Bn,p的简单随机样本，
X
和
S
分别为样本均
k
2
XkS
为
np
的无偏估计量，则
XkS
为
np
的无偏估计
22
2
2
E(X
np
1
kX
kn(p1
)np
)p
p
1
2
np
k(1
p)
1
p)
pk(1
k
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上
明、证明过程或演算步骤.
f(x,y)x
2
.解答应写出文字说
（15）（本题满分9分）求二元函数
【解析】
f
x
(x,y)2x(2y)
2
2y
2
ylny
的极值。
0
f
y
(x,y)
故
x0,y
2xy
1
e
2
lny10
f
xx
则
2(2y),f
yy
2
2x
2
1
y
,f
xy
4xy
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