2024年4月18日发(作者：七下数学试卷学情分析)
2009年全国硕士研究生入学统一考试
部分
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当
x0
时，
f
x
xsinax
与
g
x
xln
1bx
等价无穷小，则
2
11
. .
A
B
a1,ba1,b
66
11
C
a1,b
.
D
a1,b
.
66
【答案】
A
【解析】
f(x)xsinax,g(x)xln(1bx)
为等价无穷小，则
2
f(x)x
sinaxx
sinax1
acosaxa
2
sinax
lim
lim
2
lim
2
洛
lim
洛
lim
2
x
0
g(x)
x
0
xln(1
bx)
x
0
x
(
bx)
x
0x
0
3bx
6bx
a
2
sinaxa
3
lim
1
a
3
6b
故排除
B,C
。
x
0
6b
6b
ax
a
另外
lim
所以本题选A。
1
acosax
存在，蕴含了
1acosax0
x0
故
a1.
排除
D
。
2
x
0
3bx
y
（2）如图，正方形
x,y
x1,y1
被其对角线划分为
1
四个区域
D
k
k
1,2,3,4
，
I
k
则
max
I
k
1
k
4
y
cos
xdxdy
，
D
k
D
1
-1
D
2
D
3
-1
D
4
1
x
A
I
1
.
B
I
2
.
C
I
3
.
D
I
4
.
【答案】A
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D
2
,
D
4
两区域关于
x
轴对称，而
f(x,y)ycosxf(x,y)
，即被积函数是关于
y
的
奇函数，所以
I
2
I
4
0
;
D
1
,
D
3
两区域关于
y
轴对称，而
f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)
，即被积函数是
关于
x
的偶函数，所以
I
1
2ycosxdxdy
0
；
(x,y)y
x,0
x
1
I
3
2
(x,y)y
x,0
x
1
ycosxdxdy
0
.所以正确答案为A.
（3）设函数
yf
x
在区间
1,3
上的图形为：
则函数
F
x
f
t
dt
的图形为
0
x
A
B
C
【答案】
D
D
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
yf(x)
的图形可见，其图像与
x
轴及
y
轴、
x
x
0
所围的图形的代数面积为所求函数
F(x)
，从而可得出几个方面的特征：
①
x
0,1
时，
F(x)0
，且单调递减。
②
x
1,2
时，
F(x)
单调递增。
③
x
2,3
时，
F(x)
为常函数。
④
x
1,0
时，
F(x)0
为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为
D
。
（4）设有两个数列
a
n
,
b
n
，若
lima
n
0
，则
n
A
当
b
n
收敛时，
a
n
b
n
收敛.
n
1n
1
B
当
b
n
发散时，
a
n
b
n
发散.
n
1
n
1
C
当
【答案】C
【解析】
方法一：
b
n
1
n
收敛时，
ab
n
1
22
nn
收敛.
D
当
b
n
1
n
发散时，
ab
n
1
22
nn
发散.
举反例 A取
a
n
b
n
(
1)
n
1
n
1
n
1
D取
a
n
b
n
n
B取
a
n
b
n
故答案为（C）
方法二：
因为
lim
a
n
0,
则由定义可知
N
1
,
使得
n
N
1
时，有
a
n
1
n
又因为
b
n
1
n
收敛，可得
lim
b
n
0,
则由定义可知
N
2
,
使得
nN
2
时，有
b
n
1
n
从而，当
n
N
1
N
2
时，有
abb
n
，则由正项级数的比较判别法可知
（5）设
1
,
2
,
3
是3维向量空间
R
的一组基，则由基
1
,
3
22
nn
ab
n
1
22
nn
收敛。
11
2
,
3
到基
23
1
2
,
2
3
,
3
1
的过渡矩阵为
101
120
.
B
220023
A
.
033
103
1
2
1
C
2
1
2
【答案】A
1
4
1
4
1
4
1
6
1
.
6
1
6
1
2
1
D
4
1
6
1
2
1
4
1
6
1
2
1
.
4
1
6
【解析】因为
1
,
2
,L,
n
1
,
2
,L,
n
A
，则
A
称为基
1
,
2
,
L
,
n
到
1
,
2
,
L
,
n
的过渡矩阵。
则由基
1
,
11
2
,
3
到
1
2
,
2
3
,
3
1
的过渡矩阵
M
满足
23
11
,,
3
M
1
2
,
2
3
,
3
1
2
1
23
101
1
1
1
,
2
,
3
220
3
2
033
所以此题选
A
。
（6）设
A,B
均为2阶矩阵，
A,B
分别为
A,B
的伴随矩阵，若
A
2,
B
3
，则分块
**
矩阵
OA
的伴随矩阵为
BO
O
B
*
3A
O
D
*
3
B
2B
*
.
O
2A
*
.
O
1
C
C
O3B
*
A
*
.
2AO
O3A
*
C
*
.
O
2
B
【答案】B
【解析】根据
CCCE
，若
C
CC,C
1
1
分块矩阵
0
B
A
0
的行列式
0
B
A
2
2
（
1
）
AB
2
3
6
，即分块矩阵可逆
0
0
B
A
0
0
B
A
0
0
B
A
0
6
1
0
A
1
0
1
B
6
1
0
A
A
1
B
B
0
0
6
1
A
2
故答案为B。
1
B
3
0
3
A
0
2
B
0
（7）设随机变量
X
的分布函数为
F
x
0.3
x
0.7
态分布函数，则
EX
x
1
，其中
x
为标准正
2
A
0
.
【答案】
C
B
0.3
.
C
0.7
.
D
1
.
【解析】因为
F
x
0.3
x
0.7
x
1
，
2
所以
F
x
0.3
x
0.7
x
1
，
2
2
所以
EX
xF
x
dx
x
1
x
0.3
x
0.35
dx
2
0.3
而
x
x
dx
0.35
x
1
x
dx
2
x
x
dx
0
，
x
1
x
1
x
dx
u2
2u
1
u
du
2
2
2
所以
EX00.3520.7
。
（8）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且
X
服从标准正态分布
N
0,1
，
Y
的概率分布为
P
Y0
P
Y1
的间断点个数为
1
，记
F
Z
z
为随机变量
Z
XY
的分布函数，则函数
F
Z
z
2
A
0.
【答案】 B
B
1.
C
2.
D
3.
【解析】
F
Z
(z)
P(XY
z)
P(XY
zY
0)P(Y
0)
P(XY
zY
1)P(Y
1)
1
[P(XY
zY
0)
P(XY
zY
1)]
2
1
[P(X
0
zY
0)
P(X
zY
1)]
2
Q
X
,
Y
独立
1
F
Z
(z)
[P(X
0
z)
P(X
z)]
2
1
（1）若
z0
，则
F
Z
(z)
(z)
2
1
（2）当
z0
，则
F
Z
(z)
(1
(z))
2
z0
为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
2
z
。 （9）设函数
f
u,v
具有二阶连续偏导数，
zf
x,xy
，则
x
y
f
2
xyf
22
【答案】
xf
12
【解析】
z
f
1
f
2
y
，
x
2
z
f
2
yx
f
22
xf
12
f
2
xyf
22
xf
12
x
y
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程
y
ay
by
0
的通解为
y
C
1
C
2
x
e
，则非
x
齐次方程
y
ay
by
x
满足条件
y
0
2,y
0
0
的解为
y
。
【答案】
y
xe
x
2
【解析】由常系数线性齐次微分方程
y
ay
by
0
的通解为
y
C
1
C
2
x
e
可知
x
x
y
1
e
x
，
y
2
xe
x
为其线性无关解。代入齐次方程，有
ay
1
by
1
(1
a
b)e
x
0
1
a
b
0y
1
ay
2
by
2
[2
a
(a
1
b)x]e
x
0
2
a
0y
2
从而可见
a
2,
b
1
。
微分方程为
y
\'\'2
y
\'
y
x
设特解
yAxB
代入，
y
\'
A
,
A
1
*
2
A
Ax
B
x
2
B
0,
B
2
特解
y
x
2
y
(c
1
c
2
x)e
x
2
把
y
(0)2
，
y
\'(0)0
代入，得
c
1
0,c
2
1
x
*
所求
y
xe
x
x
2
（11）已知曲线
L:y
x
【答案】
2
0
x
2
，则
xds
。
L
13
6
2
【解析】由题意可知，
x
x,y
x,0
x
2
，则
ds
所以
x
y
22
dx
1
4
x
2
dx
，
L
xds
2
0
x
1
4
x
2
dx
1
2
22
1414
xd
x
0
8
12
83
（12）设
【答案】
1
4x
2
2
3
2
0
13
6
x,y,z
x
y
2
z
2
1
，则
z
2
dxdydz
。
4
15
【解析】
方法一：
zdxdydz
2
2
0
d
d
2
sin
2
cos
2
d
00
1
d
cos
2
d
cos
4
d
000
2
1
cos
3
2
3
方法二：由轮换对称性可知
0
14
d
515
2
x
dxdydz
2
y
dxdydz
2
z
dxdydz
所以，
2
z
dxdydz
2
1
11
2224
xyzdxdydzddrsin
dr
000
3
3
2
3
0
sin
d
r
4
dr
0
1
2
1
4
sin
d
0
3515
（13）若3维列向量
,
满足
为 。
【答案】2
【解析】
Q
T
T
2
，其中
T
为
的转置，则矩阵
T
的非零特征值
2
T
T
2
,
T
的非零特征值为2.
(14)设
X
1
,
X
2
,L,
X
m
为来自二项分布总体
B
n,p
的简单随机样本，
X
和
S
分别为样本均
2
值和样本方差。若
XkS
为
np
的无偏估计量，则
k
【答案】
1
【解析】
QXkS
为
np
的无偏估计
E
(
X
kX
)
np
22
22
22
np
knp(1
p)
np
2
1
k(1
p)
p
k(1
p)
p
1
k
1
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数
f
(
x
,
y
)
x
【解析】
2
2
y
y
ln
y
的极值。
2
f
x
(
x
,
y
)
2
x
(2
y
2
)
0
f
y
(x,y)
2x
2
y
lny
1
0
故
x
0,
y
1
e
1
4
xy
,
f
xy
y
2(2
y
2
),
f
yy
2
x
2
f
xx
则
更多推荐
矩阵,解析,函数,线性,可知,答题,选项
发布评论