2024年4月18日发(作者：数学试卷2020二卷)
2009
年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内
2
（1）当
x
®
0
时，
f
(
x
)
=
x
-
sin
ax
与
()(
.
)
gx
=
x
ln1
-
bx
等价无穷小，则
(
A
)
a
=
1,
b
=-
1
.
6
(
B
)
1
ab
C
1,
.
=-=-
()
6
【答案】
A
1
1,
a
=
b
=
.
6
1
(
D
)
a
=-
1,
b
=
.
6
【解析】
f
(
x
)
=
x
-
sin
ax
,
g
(
x
)
=
x
ln(1
-
bx
)
为等价无穷小，则
2
-
sin
-
sin()1
-
cossin
fxxaxxaxaax
lim
a
2
ax
limlimlimlim
洛洛
==
2
x
®
0
g
(
x
)
x
®
0
x
2
ln(1
bx
)
x
®
0
x
2
(
bx
)
x
®
0
x
®
0
-×--
3
bx
-
6
bx
=
lim
a
x
®
0
sin
ax
3
a
3
1
=-
b
=
a
=-
6
b
故排除
B
,
C
。
b
6
6
-×
ax
a
2
另外
x
®
0
-
bx
2
-
3
所以本题选A。
lim
1
a
cos
ax
存在，蕴含了
1
-
a
cos
ax
®
0
(
x
®
0
)
故
a
=
1.
排
D
。
y
1
（2）如图，正方形
{
(
x
,
y
)
x
£
1,
y
£
1
被其对角线划分为
}
四个区域
D
k
(
k
=
1,2,3,4
)
，
I
k
=
则
max
{
I
k
}
=
1
£
k
£
4
òò
D
k
y
cos
xdxdy
，
-1
D
2
D
1
D
4
D
3
1
x
-1
(
A
)
I
1
.
(
B
)
I
2
.
(
C
)
I
3
.
(
D
)
I
4
.
【答案】A
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D
2
,
D
4
两区域关于
x
轴对称，而
f
(
x
,
-
y
)
=-
y
cos
x
=-
f
(
x
,
y
)
，即被积函数是关于
y
的
奇函数，所以
I
2
=
I
4
=
0
;
D
1
,
D
3
两区域关于
y
轴对称，而
f
(
-
x
,
y
)
=
y
cos(
-
x
)
=
y
cos
x
=
f
(
x
,
y
)
，即被积函数是
关于
x
的偶函数，所以
I
1
=
2ycosxdxdy
>
0
；
{
(x,y)y
³
x,0
£
x
£
1
}
òò
I
3
=
2
{
(x,y)y
£-
x,0
£
x
£
1
}
òò
ycosxdxdy
<
0
.
所以正确答案为
A.
（
3
）设函数
y
=
f
(
x
)
在区间
[
-
1,3
]
上的图形为：
则函数
F
(
x
)
=
ò
f
(
t
)
dt
的图形为
x
0
(
A
)(
B
)
(
C
)
【答案】
D
(
D
)
【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
y
=
f(x)
的图形可见，其图像与
x
轴及
y
轴、
x
=
x
0
所围的图形的代数面积为所求函数
F(x)
，从而可得出几个方面的特征：
①
x
Î
[
0,1
]
时，
F(x)
£
0
，且单调递减。
②
x
Î
[
1,2
]
时，
F(x)
单调递增。
③
x
Î
[
2,3
]
时，
F
(
x
)
为常函数。
④
x
Î
[
-
1,0
]
时，
F
(
x
)
£
0
为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为
D
。
（4）设有两个数列
{
a
n
}
,
{
b
n
}
，若
lim
a
n
=
0
，则
n
®¥
(
A
)
当
å
b
n
收敛时，
å
a
n
b
n
收敛.
n
=
1
n
=
1
¥
¥
¥
(
B
)
当
å
b
n
发散时，
å
a
n
b
n
发散.
n
=
1
n
=
1
¥
¥
¥
(
C
)
当
【答案】C
【解析】
方法一：
å
b
n
=
1
¥
n
收敛时，
å
ab
n
=
1
22
nn
收敛.
(
D
)
当
å
b
n
n
=
1
发散时，
å
ab
n
=
1
¥
22
nn
发散.
举反例 A取
a
n
=
b
n
=
(
-
1)
n
1
n
1
B取
a
n
=
b
n
=
n
1
D取
a
n
=
b
n
=
n
故答案为（C）
方法二：
因为
lim
a
=
0,
则由定义可知
$
N
,
使得
n
>
N
时，有
a
<
1
n
11
n
n
®¥
又因为
å
b
n
=
1
¥
n
收敛，可得
lim
b
n
=
0,
则由定义可知
$
N
2
,
使得
n
>
N
2
时，有
b
n
<
1
n
®¥
从而，当
n
>
N
1
+
N
2
时，有
ab
<
b
n
，则由正项级数的比较判别法可知
22
nn
22
a
å
n
b
n
收敛。
n
=
1
¥
11
（5）设
a
1
,
a
2
,
a
3
是3维向量空间
R
的一组基，则由基
a
1
,
2
a
2
,
3
a
3
到基
3
a
1
+
a
2
,
a
2
+
a
3
,
a
3
+
a
1
的过渡矩阵为
æ
10
22
(
A
)
ç
ç
è
03
æ
1
ç
2
ç
ç
-
1
C
()
ç
2
ç
1
ç
è
2
【答案】A
1
ö
0
÷
.
÷
3
ø
æ
120
ö
ç÷
(
B
)
023
.
ç÷
è
103
ø
1
4
1
4
-
1
4
-
1
ö
÷
6
÷
÷
1
.
6
÷
1
÷
÷
6
ø
æ
1
ç
2
ç
ç
1
(
D
)
ç
4
ç
1
ç-
è
6
-
1
2
1
4
1
6
ö
1
÷
2
÷
÷
-
1
.
4
÷
1
÷
÷
6
ø
【解析】因为
【解析】
因为
(
h
1
,
h
2
,
,
h
n
)
=
(
a
1
,
a
2
,
,
a
n
)
A
，则
A
称为基
a
1
,
a
2
,
,
a
n
到
h
1
,
h
2
,
,
h
n
的过渡矩阵。
则由基
a
1
,
a
2
,
a
3
到
a
1
+
a
2
,
a
2
+
a
3
,
a
3
+
a
1
的过渡矩阵
M
满足
11
3
11
(
a
+
a
,
a
+
a
,
a
+
a
)
=
æ
ç
a
,
a
,
a
ö
÷
122331123
M
3
øè
2
æ
101
ö
æö
ç
ç÷
÷
=
è
a
1
,
a
2
,
a
3
ø
220
ç÷
23
è
033
ø
11
所以此题选
(
A
)
。
**
2
（6）设
A
,
B
均为2阶矩阵，
A
,
B
分别为
A
,
B
的伴随矩阵，若
A
=
2,
B
=
3
，则分块
矩阵
æ
OA
ö
的伴随矩阵为
ç
BO
ø
÷
è
æ
O
3
B
*
ö
÷
.
(
A
)
ç
*
O
øè
2
A
æ
O
3
A
*
ö
÷
.
(
C
)
ç
*
O
øè
2
B
【答案】B
æ
O
(
B
)
ç
*
è
3
A
æ
O
(
D
)
ç
*
è
3
B
*-
1
-
1
2
B
*
ö
÷
.
O
ø
2
A
*
ö
÷
.
O
ø
1
=
C
*
【解析】根据
CC
=
CE
，若
C
=
CC
,
C
*
C
æ
0
分块矩阵
ç
è
B
´
A
ö
0
A
2
÷
的行列式
（
-
1
）
2
AB
=
2
´
3
=
6
，即分块矩阵可逆
=
B
00
ø
æ
ç
0
è
B
A
ö
÷
=
0
B
0
ø
*
A
æ
0
ç
0
è
B
A
ö
÷
=
æ
ç
0
6
A
-
1
0
ø
è
-
1
æ
0
ç
-
1
B
ö
÷
=
ç
0
ø
6
1
*
ç
A
è
A
1
*
ö
B
÷
B
÷
0
÷
ø
æ
ç
0
=
6
ç
ç
1
ç
A
*
è
2
故答案为B。
1
*
ö
B
÷
æ
3
÷
=
ç
0
÷
è
3
*
A
0
÷
ø
ö
2
B
*
÷
0
ø
（7）设随机变量
X
的分布函数为
F
(
x
)
=
0.3
F
(
x
)
+
0.7
F
ç
态分布函数，则
EX
=
æ
x
-
1
ö
÷
，其中
F
(
x
)
为标准正
è
2
ø
(
A
)
0
.
【答案】
(
C
)
(
B
)
0.3
.
(
C
)
0.7
.
(
D
)
1
.
【解析】因为
F
(
x
)
=
0.3
F
(
x
)
+
0.7
F
ç
æ
x
-
1
ö
÷
，
è
2
ø
0.7
æ
x
-
1
ö
，
¢¢
F
(
x
)
=
0.3
F
(
x
)
+
2
F
èç
2
ø÷
=
+¥
¢
=
+¥
é
F
¢
+F
¢
æ
x
-
1
ö
ù
ç÷
úê
所以
EX
ò
-¥
xF
(
x
)
dx
ò
-¥
x
ë
0.3
(
x
)
0.35
è
2
ø
û
dx
所以
¢
=
0.3
ò
而
+¥
-¥
x
F
¢
(
x
)
dx
+
0.35
ò
+¥
+¥
-¥
ç
x
-
1
ö
÷
dx
x
F
¢
æ
è
2
ø
ò
+¥
-¥
x
F
¢
(
x
)
dx
=
0
，
ò
-¥
-
=F
¢
æ
x
-
1
ö
+F
¢
=
+¥
x
1
ç÷
xdxu
2
ò
(
2
u
1
)(
u
)
du
2
-¥
2
è
2
ø
所以
EX
=
0
+
0.35
´
2
=
0.7
。
（8）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且
X
服从标准正态分布
N
(
0,1
)
，
Y
的概率分布为
1
P
{
Y
=
0
}
=
P
{
Y
=
1
}
=
，记
F
Z
(
z
)
为随机变量
Z
=
XY
的分布函数，则函数
F
Z
(
z
)
2
的间断点个数为
(
A
)
0.
【答案】 B
(
B
)
1.
(
C
)
2.
(
D
)
3.
【解析】
F
Z
(
z
)
=
P
(
XY
£
z
)
=
P
(
XY
£
zY
=
0)
P
(
Y
=
0)
+
P
(
XY
£
zY
=
1)
P
(
Y
=
1)
1
=
[
P
(
XY
£
zY
=
0)
+
P
(
XY
£
zY
=
1)]
2
1
=
[
P
(
X
×
0
£
zY
=
0)
+
P
(
X
£
zY
=
1)]
2
X
,
Y
独立
F
Z
(
z
)
=
1[
P
(
X
×
0
£
z
)
+
P
(
X
£
z
)]
2
1
()
（1）若
z
<
0
，则
F
Z
z
=F
(
z
)
2
1
（2）当
z
³
0
，则
F
Z
(
z
)
=
(1
+F
(
z
))
2
z
=
0
为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
¶
z
（9）设函数
f
(
u
,
v
)
具有二阶连续偏导数，
z
=
f
(
x
,
xy
)
，则
=
。
xy
¶¶
【答案】
xf
12
¢¢
+
f
2
¢
+
xyf
22
¢¢
【解析】
¶
z
=
f
1
¢+
f
2
¢×
y
2
¶
x
，
¶
2
z
xf
¢¢
+
f
2
¢
+
yx
×
f
22
¢¢
=
xf
12
¢¢
+
f
2
¢
+
xyf
22
¢¢
=
12
¶
x
¶
y
2
x
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程
y
¢¢
+
ay
¢
+
by
=
0
的通解为
y
=
(
C
1
+
C
2
x
)
e
，则非
齐次方程
y
¢¢
+
ay
¢
+
by
=
x
满足条件
y
(
0
)
=
2,
y
¢
(
0
)
=
0
的解为
y
=
。
【答案】
y
=-
xe
+
x
+
2
x
【解析】由常系数线性齐次微分方程
y
¢¢
+
ay
¢
+
by
=
0
的通解为
y
=
(
C
1
+
C
2
x
)
e
可知
x
12
x
x
y
=
e
，
y
=
xe
为其线性无关解。代入齐次方程，有
x
y
1
¢¢
+
ay
1
¢
+
by
1
=
(1
+
a
+
b
)
e
=
0
Þ
1
+
a
+
b
=
0
x
y
2
aybyaabxea
¢¢
+
2
¢
+
2
=
[2
++
(
+
1
+
)]
=
0
Þ
2
+=
0
从而可见
a
=-
2,
b
=
1
。
微分方程为
y
\'\'
-
2
y
\'
+
y
=
x
*
设特解
y
=
Ax
+
B
代入，
y
\'
=
A
,
A
=
1
-
2
A
+
Ax
+
B
=
x
BB
-
2
+=
0,
=
2
特解
y
=
x
+
2
y
=
(
c
1
+
c
2
x
)
e
x
+
x
+
2
把
y
(0)
=
2
，
y
\'(0)
=
0
代入，得
c
1
=
0,
c
2
=-
1
*
（11）已知曲线
所求
y
=-
xe
+
x
+
2
2
x
()
L
:
y
=
x
0
£
x
£
2
，则
xds
=
。
ò
L
【答案】
13
6
2
【解析】由题意可知，
x
=
x
,
y
=
x
,0
£
x
£
2
，则
()
2
()
2
2
2
ds
=
所以
x
¢
+
y
¢
dx
=
1
+
4
xdx
，
2
2
ò
L
xds
=
（12）设
x
1
+
4
xdx
=
1
0
1
+
4
x
2
d
1
+
4
x
2
8
òò
()
2
1213
3
2
14
=×+
x
)
=
(
836
22
0
2
0
{
()
}
W=
4
【答案】
15
p
【解析】
方法一：
x
,
y
,
zx
+
y
+
z
£
1
，则
òòò
zdxdydz
=
。
W
2
zdxdydz
=
d
q
d
jr
2
sin
jr
2
cos
2
j
d
r
òòòò
0
ò
0
ò
0
2
2
pp
1
4
=
ò
0
d
q
ò
0
cos
j
d
(
-
cos
j
)
ò
0
r
d
r
2
2
pp
1
=
2
p
×-
方法二：由轮换对称性可知
cos
3
2
3
j
p
ò
0
14
×
d
j
=
p
515
22
òòò
zdxdydz
=
òòò
xdxdydz
=
òòò
ydxdydz
WWW
2
p
1
11
p
222
zdxdydz
=
x
+
y
+
z
)
dxdydz
=
d
j
d
q
r
4
sin
j
dr
所以，
(
òòòò
0
ò
0
3
òòò
3
ò
0
WW
2
p
p
2
p
1
p
4
p
1
sin
j
d
j
r
4
dr
=
sin
j
d
j
=
=××
ò
0
3
ò
0
35
ò
0
15
2
（13）若3维列向量
a
,
b
满足
a
为 。
【答案】2
【解析】
a
T
b
=
2
T
b
=
2
，其中
a
为
a
的转置，则矩阵
ba
的非零特征值
T
T
bab
=
b
(
ab
)
=
2
×
b
,
ba
的非零特征值为2.
TT
T
(14)设
X
1
,
X
2
,
,
X
m
为来自二项分布总体
B
(
n
,
p
)
的简单随机样本，
X
和
S
分别为样本
均值和样本方差。若
X
+
kS
2
为
np
2
的无偏估计量，则
k
=
【答案】
-
1
2
2
2
【解析】
X
+
kS
为
np
的无偏估计
E
(
X
+
kX
)
=
np
-
22
np
+
knp
(1
-
p
)
=
np
2
1
+
k
(1
-
p
)
=
p
k
(1
-
p
)
=
p
-
1
k
=-
1
三、解答题：15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说
22
明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分9分）求二元函数
()
f
(
x
,
y
)
=
x
2
+
y
【解析】
2
+
y
ln
y
的极值。
f
x
¢
(
x
,
y
)
=
2
x
(2
+
y
)
=
0
f
y
¢
(
x
,
y
)
=
2
xy
+
ln
y
+
1
=
0
故
x
=
0,
y
=
2
1
e
1
2
),
2
2(22
f
xx
¢¢
=
¢¢
=
x
+
,
f
xy
¢¢
=
4
xy
+
y
f
yy
y
则
更多推荐
矩阵,解析,函数,线性,可知,答题
发布评论