2009年湖北省高考数学试卷(理科)及答案

2024年4月18日发(作者：贵州中考数学试卷贵阳)

2009年湖北省高考数学试卷（理科）

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=（1，1）+n（﹣

1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（ ）

A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}

2．（5分）设a为非零实数，函数y=

A．y=

C．y=

（x∈R，且x≠﹣）的反函数是（ ）

（x∈R，且x≠）

（x∈R，且x≠﹣1）

（x∈R，且x≠﹣） B．y=

（x∈R，且x≠1） D．y=

3．（5分）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数（m+ni）（n

﹣mi）为实数的概率为（ ）

A． B． C． D．

4．（5分）函数y=cos（2x+

）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′的函数解析式

为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（ ）

A．（，﹣2） B．（，2） C．（，﹣2） D．（，2）

5．（5分）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名

学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为（ ）

A．18 B．24 C．30 D．36

6．（5分）设

[（a

0

+a

2

+a

4

+…+a

2n

）

2

﹣（a

1

+a

3

+a

5

+…+a

2n

﹣

1

）

2

]=（ ）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

的准线过椭圆的焦点，则直线y=kx+2

+a

2n

x

2n

，则

7．（5分）已知双曲线

与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）

A．K∈[﹣，] B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]

C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]

8．（5分）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇．现有

4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗

衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只

运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）

A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元

9．（5分）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，

则球的表面积的增长速度与球半径．

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

10．（5分）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称

为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列

数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A．289 B．1024

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）已知关于x的不等式

数a= ．

12．（5分）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本的频率分布直

方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为 ，数据落在（2，10）内的概率约

为 ．

的解集，则实

C．1225 D．1378

13．（5分）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送

到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北京奥运会，我

国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36000km．已

知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最

大值约为 km．（结果中保留反余弦的符号）．

14．（5分）已知函数f（x）=f′（）cosx+sinx，则f（）的值为 ．

15．（5分）已知数列{a

n

}满足：a

1

=m（m为正整数），a

n

+

1

=

若a

6

=1，则m所有可能的取值为 ．

三、解答题（共6小题，满分75分）

16．（10分）一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2，3，

4，5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3，4，5，

6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一盒子里任取一

张卡片，其上面的数记为y，记随机变量η=x+y，求η的分布列和数学期望．

17．（12分）已知向量=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），=（﹣1，0）．

（1）求向量的长度的最大值；

（2）设α=，且⊥（），求cosβ的值．

18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD=2a，

AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0＜λ≤2）

（Ⅰ）求证：对任意的λ∈（0，2），都有AC⊥BE

（Ⅱ）设二面角C﹣AE﹣D的大小为θ，直线BE与平面ABCD所成的角为φ，若

tanθ•tanφ=1，求λ的值．

19．（13分）已知数列{a

n

}的前n项和S

n

=﹣a

n

﹣（）

n

﹣

1

+2（n∈N

*

）．

（1）令b

n

=2

n

a

n

，求证：数列{b

n

}是等差数列，并求数列{a

n

}的通项公式．

（2）令c

n

=，试比较T

n

与的大小，并予以证明．

20．（14分）过抛物线y

2

=2px（p＞0）的对称轴上一点A（a，0）（a＞0）的直线

与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l：x=﹣a作垂线，垂足分别为M

1

、

N

1

．

（Ⅰ）当a=时，求证：AM

1

⊥AN

1

；

（Ⅱ）记△AMM

1

、△AM

1

N

1

、△ANN

1

的面积分别为S

1

、S

2

、S

3

，是否存在λ，

使得对任意的a＞0，都有S

2

2

=λS

1

S

3

成立？若存在，求出λ的值，否则说明理由．

21．（14分）在R上定义运算：（b、c∈R是常数），

已知f

1

（x）=x

2

﹣2c，f

2

（x）=x﹣2b，f（x）=f

1

（x）f

2

（x）．

①如果函数f（x）在x=1处有极值，试确定b、c的值；

②求曲线y=f（x）上斜率为c的切线与该曲线的公共点；

③记g（x）=|f′（x）|（﹣1≤x≤1）的最大值为M，若M≥k对任意的b、c恒

成立，试求k的取值范围．（参考公式：x

3

﹣3bx

2

+4b

3

=（x+b）（x﹣2b）

2

）

2009年湖北省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2009•湖北）已知P={|=（1，0）+m（0，1），m∈R}，Q={|=

（1，1）+n（﹣1，1），n∈R}是两个向量集合，则P∩Q=（ ）

A．{（1，1）} B．{（﹣1，1）} C．{（1，0）} D．{（0，1）}

【分析】先根据向量的线性运算化简集合P，Q，求集合的交集就是寻找这两个

集合的公共元素，通过列方程组解得．

【解答】解：由已知可求得P={（1，m）}，Q={（1﹣n，1+n）}，

再由交集的含义，有

所以选A．

2．（5分）（2009•湖北）设a为非零实数，函数y=

的反函数是（ ）

A．y=

C．y=

（x∈R，且x≠﹣） B．y=

（x∈R，且x≠1） D．y=

（x∈R，且x≠）

（x∈R，且x≠﹣1）

（x∈R，且x≠﹣）

⇒，

【分析】从条件中函数y=（x∈R，且x≠﹣）中反解出x，再将x，y互

换即得原函数的反函数，再依据函数的定义域求得反函数的定义域即可．

【解答】解：由函数y=

x=

∴函数y=

y=

故选D．

，

（x∈R，且x≠﹣）的反函数是：

（x∈R，且x≠﹣1）．

（x∈R，且x≠﹣）得：

3．（5分）（2009•湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复

数（m+ni）（n﹣mi）为实数的概率为（ ）

A． B． C． D．

【分析】按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，虚部为

0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．

【解答】解：因为（m+ni）（n﹣mi）=2mn+（n

2

﹣m

2

）i为实数所以n

2

=m

2

故m=n则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能，

所以

故选C．

4．（5分）（2009•湖北）函数y=cos（2x+）﹣2的图象F按向量平移到F′，F′

，

的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（ ）

A．（，﹣2） B．（，2） C．（，﹣2） D．（，2）

）﹣2到y=﹣sin2x【分析】由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+

的路线，进而确定向量．

【解答】解：：∵y=cos（2x+）﹣2∴将函数y=cos（2x+）﹣2向左平移个

单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+

∴=（

故选B．

，2）

）=﹣sin2x

5．（5分）（2009•湖北）将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班

至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班，则不同分法的种数为

（ ）

A．18 B．24 C．30 D．36

【分析】由题意知本题可以先做出所有情况再减去不合题意的结果，用间接法解

四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C

4

2

，顺序有A

3

3

种，而甲乙被分在

同一个班的有A

3

3

种，两个相减得到结果．

【解答】解：∵每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到一个班

用间接法解四名学生中有两名学生分在一个班的种数是C

4

2

，

元素还有一个排列，有A

3

3

种，

而甲乙被分在同一个班的有A

3

3

种，

∴满足条件的种数是C

4

2

A

3

3

﹣A

3

3

=30

故选C．

6．（5分）（2009•湖北）设

则[（a

0

+a

2

+a

4

+…+a

2n

）

2

﹣（a

1

+a

3

+a

5

+…+a

2n

﹣

1

）

2

]=（ ）

C．1 D．

+a

2n

x

2n

，

A．﹣1 B．0

【分析】本题因为求极限的数为二项式展开式的奇数项的系数和的平方与偶数项

的系数和的平方的差，故可以把x赋值为1代入二项展开式中，求出

A=a

0

+a

1

+a

2

+a

3

+…a

2n

﹣

1

+a

2n

=，再令x=﹣1，可得到B=a

0

﹣a

1

+a

2

﹣a

3

+a

4

﹣a

5

+…﹣a

2n

﹣

1

+a

2n

=，而求极限的数由平方差公式可以知道就是式子A

与B的乘积，代入后由平方差公式即可化简为求得答案．

【解答】解：令x=1和x=﹣1分别代入二项式

+a

2n

x

2n

中得

a

0

+a

1

+a

2

+a

3

+…a

2n1

+a

2n

=

﹣

，a

0

﹣a

1

+a

2

﹣a

3

+a

4

﹣a

5

+…﹣a

2n

﹣

1

+a

2n

=由平方差公式

得（a

0

+a

2

+a

4

+…+a

2n

）

2

﹣（a

1

+a

3

+a

5

+…+a

2n

﹣

1

）

2

=（a

0

+a

1

+a

2

+a

3

+…a

2n

﹣

1

+a

2n

）（a

0

﹣

a

1

+a

2

﹣a

3

+a

4

﹣a

5

+…﹣a

2n

﹣

1

+a

2n

）═==所以

[（a

0

+a

2

+a

4

+…+a

2n

）

2

﹣（a

1

+a

3

+a

5

+…+a

2n

﹣

1

）

2

]=

故选择B

7．（5分）（2009•湖北）已知双曲线的准线过椭圆

=0

的焦点，

则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是（ ）

A．K∈[﹣，] B．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]

C．K∈[﹣，] D．K∈[﹣∞，﹣]∪[，+∞]

【分析】先求得准线方程，可推知a和b的关系，进而根据c

2

=a

2

﹣b

2

求得b，

椭圆的方程可得，与直线y=kx+2联立消去y，根据判别式小于等于0求得k的范

围．

【解答】解：根据题意，双曲线

易得准线方程是x=±=±1

中，c

2

=2+2=4，则c=2，

所以c

2

=a

2

﹣b

2

=4﹣b

2

=1即b

2

=3

所以方程是

联立y=kx+2可得（3+4k

2

）x

2

+16kx+4=0

由△≤0解得k∈[﹣，]

故选A

8．（5分）（2009•湖北）在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近

的乡镇．现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用

400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若

每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为（ ）

A．2000元 B．2200元 C．2400元 D．2800元

【分析】根据题中的叙述将实际问题转化为不等式中的线性规划问题，利用线性

规划确定最值

【解答】解：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，

得线性约束条件

求线性目标函数z=400x+300y的最小值．

解得当

故选B．

时，z

min

=2200．

9．（5分）（2009•湖北）设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀

速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径．

A．成正比，比例系数为C B．成正比，比例系数为2C

C．成反比，比例系数为C D．成反比，比例系数为2C

【分析】求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出

利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．

【解答】解：由题意可知球的体积为

（t），由此可得

而球的表面积为S（t）=4πR

2

（t），

所以V

表

=S′（t）=4πR

2

（t）=8πR（t）R′（t），

即 V

表

=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R

′

（t）=

故选D

10．（5分）（2009•湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，

，

，则c=V′（t）=4πR

2

（t）R′

，

例如：

他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称

为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16…这样的数成为正方形数．下列

数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A．289 B．1024 C．1225 D．1378

【分析】根据图形观察归纳猜想出两个数列的通项公式，再根据通项公式的特点

排除，即可求得结果．

【解答】解：由图形可得三角形数构成的数列通项

同理可得正方形数构成的数列通项b

n

=n

2

，

则由b

n

=n

2

（n∈N

+

）可排除D，又由

与

故选C．

二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）

11．（5分）（2009•湖北）已知关于x的不等式

，则实数a= ﹣2 ．

【分析】先利用解分式不等式的方法转化原不等式，再结合其解集，得到x=﹣

是方程ax﹣1=0的一个根，最后利用方程的思想求解即得．

【解答】解：∵不等式

∴（ax﹣1）（x+1）＜0，

，

的解集

无正整数解，

，

，

又∵关于x的不等式的解集，

∴x=﹣是方程ax﹣1=0的一个根，

∴a×（﹣）﹣1=0，

∴a=﹣2．

故答案为：﹣2．

12．（5分）（2009•湖北）如图是样本容量为200的频率分布直方图．根据样本

的频率分布直方图估计，样本数落在[6，10]内的频数为 64 ，数据落在（2，

10）内的概率约为 0.4 ．

【分析】从直方图得出数落在[6，10]内的频率和数据落在（2，10）内的频率后，

再由频率=，计算频数即得．

【解答】解：观察直方图易得

数落在[6，10]内的频率=0.08×4；

数据落在（2，10）内的频率=（0.02+0.08）×4；

∴样本数落在[6，10]内的频数为200×0.08×4=64，频率为0.1×4=0.4．

故答案为64 0.4．

13．（5分）（2009•湖北）如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视

信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域．为了转播2008年北

京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为

36000km．已知地球半径约为6400km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的

球面距离的最大值约为 12800arccos km．（结果中保留反余弦的符号）．