2024年4月18日发(作者：中考数学试卷考什么)
2009年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
1.当
x0
时，
fxxsinax
与
gxx
2
ln1bx
等价无穷小，则（）
Aa1,b
1
6
.
Ba1,b
1
6
.
Ca1,b
1
6
.
Da1,b
1
6
.
y
2.如图，正方形
x,yx1,y1
被其对角线划分为
1
四个区域
D
k
k
1,2,3,4
，
I
k
ycosxdxdy
，
D
k
D
1
D
4
则
max
（
-1
D
2
D
1
1k4
I
k
）
3
A
I
1
.
B
I
2
.
C
I
3
.
D
I
4
.
-1
3.设函数
yfx
在区间
1,3
上的图形为：
f(x)
O
-2
0
-1
1 2 3
x
则函数
Fx
x
0
ftdt
的图形为（）
f(x)f(x)
1 1
-2
0
1 2 3
x
-2
0
1 2 3
x
A
.
-1
B
.
-1
第1 页共24 页
x
f(x)f(x)
1
0
1
0
-1
-1 1 2 3
x
D
.
-2 1 2 3
x
C
.
4.设有两个数列
a
n
,b
n
，若
lima
n
n
a
n
b
n
收敛.
n1
0
，则（）
A
当
n1
b
n
收敛时，
B
当
n1
b
n
发散时，
n1
a
n
b
n
发散.
C
当
n1
b
n
收敛时，
n1
ab
收敛.
3
22
nn
D
当
n1
b
n
发散时，
n1
ab
发散.
22
nn
5.设
1
,
2
,
,
3
是3维向量空间
R
的一组基，则由基
）
1
1
,
2
1
2
,
3
3
到基
1223
,
31
的过渡矩阵为（
10
2
3
1
0
.
3
12
2
0
0
3
.
3
A
2
0
B
0
1
1
2
1
2
1
2
6.设
A,
1
4
1
4
1
4
1
6
1
.
6
1
6
**
1
2
1
4
1
6
1
2
1
4
1
6
1
2
1
.
4
1
6
A2,B3
，则分块矩
CD
B
均为2阶矩阵，
A,B
分别为
A,
B
的伴随矩阵，若
A
阵
O
BO
A
O
2A
O
2B
*
*
的伴随矩阵为（）
3B
O
*
.
B
O
3A
O
3B
*
*
2B
O
*
.
C
3A
O
*
.
D
2A
O
*
.
第2 页共24 页
7.设随机变量
X
的分布函数为
Fx
EX
（）
0.3x0.7
x1
2
，其中
x
为标准正态
分布函数，则
A0
.
8.设随机变量
B0.3
.
X
与
Y
相互独立，且
PY1
）
C0.7
.
X
服从标准正态分布
D1
.
N0,1
，
Y
的概率分布为
XY
的分布函数，则函数
F
Z
zPY0
1
，记
F
Z
z
为随机变量
Z
2
C
2.
的间断点个数为（
A
0.
B
1.
D
3.
.）
。
二、填空题（9-14小题，每小题
9.设函数
4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上
2
fu,v
具有二阶连续偏导数，
y
z
ay
fx,xy
，则
by
z
xy
10.若二阶常系数线性齐次微分方程
次方程
y
0
的通解为
yC
1
C
2
xe
，则非齐
。
x
ayby
x
2
x
满足条件
y0
0
y
2
2,y0
xds
0
的解为
y
。
。
T
11.已知曲线
L:y
12.设
x
z
T
2
2
，则
1
，则
L
x,y,zx
,
2
zdxdydz
T
2
13.若3维列向量
为
14.设
X
1
,X
2
,
满足
2
，其中为的转置，则矩阵的非零特征值
。
,X
m
为来自二项分布总体
X
22
Bn,p
的简单随机样本，
k
X
和
S
分别为样本
。
.解答应写出文字说
2
均值和样本方差。若
kS
为
np
的无偏估计量，则
三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上
明、证明过程或演算步骤
1.
2.
.）
（本题满分9分）求二元函数
f(x,y)
n
x
2
2
x
y
n1
2
ylny
的极值。
（本题满分9分）设
a
n
为曲线
yx
与
yn1,2,.....
所围成区域的面积，记
S
1
n1
a
n
,S
2
n1
a
2n1
，求
S
1
与
S
2
的值。
22
3. （本题满分11分）椭球面
S
1
是椭圆
xy
43
1
绕
x
轴旋转而成，圆锥面
S
2
是过点
第3 页共24 页
4,0
且与椭圆
x
2
y
2
43
1
相切的直线绕
x
轴旋转而成。
（Ⅰ）求
S
1
及
S
2
的方程
（Ⅱ）求
S
1
与
S
2
之间的立体体积。
4. （本题满分11分）
（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数
fx
在
a,b
上连续，在
(a,b)
可导，则存在
ba
0
处连续，在
0,
A
。
，其中是曲面
a,b
，使得
fb
（Ⅱ）证明：若函数
faf
fx
在
x0
内可导，且
x
limf
0
xA
，则
f0
存在，且
f0
I
5. （本题满分10分）计算曲面积分
xdydzydzdxzdxdy
3
x
2x
6.
2
2
y
2
z
2
2
2y
2
z
2
4
的外侧。
（本题满分11分）
1
设
A
1
1
4
A
2
1
1
2
1
的
2
1
1
1
2
.
A
,
2
31
1
0
（Ⅰ）求满足
的所有向量
,
3
无关。
2
,
3
.
（Ⅱ）对①中的任意向量
7. （本题满分11分）
设二次型
23
证明
1
,
2
fx
1
,x
2
,x
3
ax
2
1
ax
2
2
a1x
2
3
2x
1
x
3
2x
2
x
3
（Ⅰ）求二次型
（Ⅱ）若二次型
8.
f
的矩阵的所有特征值；
f
的规范形为
y
1
2
y
2
2
，求
a
的值。
（本题满分11分）
袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，
以
X,Y,Z
分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。
（Ⅰ）求
每次取一球，
pX1Z0
；
X,Y
概率分布。
第4 页共24 页
（Ⅱ）求二维随机变量
9. （本题满分11 分）
2
设总体
X
的概率密度为
f(x)
xe
x
,x0
0,
其他
，其中参数
(0)
未知，
X
1
，
X
2
,…
X
n
是来自总体
X
的简单随机样本
(Ⅰ)求参数
（Ⅱ）求参数
的矩估计量；
的最大似然估计量
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2009年考研数学一真题解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项
符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
（1）当
x0
时，
fxxsinax
与
gxx
2
ln1bx
等价无穷小，则（）
Aa1,b
1
Ba1,b
1
6
.
6
.
Ca1,b
1
6
.
Da1,b
1
6
.
【答案】
A
【解析】
f(x)xsinax,g(x)x
2
ln(1bx)
为等价无穷小，则
lim
f(x)xsinaxxsinaxacosaxa
2
sinax
x0
g(x)
lim
x0
x
2
ln(1bx)
lim
x0
x
2
(bx)
洛
lim
1
x0
3bx
2
洛
lim
x0
6bx
2
lim
asinaxa
3
3
x0
6b
B,C
。
ax
6b
1a6b
故排除
a
另外
lim
1acosax
x0
3bx
2
存在，蕴含了
1acosax0x0
故
a1.
排除
D
。
所以本题选A。
y
（2）如图，正方形
x,yx1,y1
被其对角线划分为
四个区域
D
k
k
1,2,3,4
，
I
k
ycosxdxdy
，
1
D
k
则
max
D
1
D
4
1k4
I
k
（）
-1
D
2
D
1
3
A
I
1
.
B
I
2
.
C
I
3
.
D
I
4
.
-1
【解析】本题利用二重积分区域的对称性及被积函数的奇偶性。
D
2
,D
4
两区域关于
x
轴对称，而
f(x,y)ycosxf(x,y)
，即被积函数是关于
y
的
奇函数，所以
I
2
I
4
0
;
D
1
,D
3
两区域关于
y
轴对称，而
f(x,y)ycos(x)ycosxf(x,y)
，即被积函数是
关于
x
的偶函数，所以
I
1
2ycosxdxdy0
；
(x,y)yx,0x1
I
3
2ycosxdxdy0
.所以正确答案为A.
(x,y)yx,0x1
第7 页共24 页
x
（3）设函数
yfx
在区间
1,3
上的图形为：
f(x)
O
0
-1
x
0
-2 1 2 3
x
）则函数
Fxftdt
的图形为（
f(x)f(x)
1
0
-1
1
0
-1
-2 1 2 3
x
B
.
-2 1 2 3
x
A
.
f(x)f(x)
1
0
1
0
-1
-1 1 2 3
x
D
.
-2 1 2 3
x
C
.
【答案】
D
yf(x)
的图形可见，其图像与
x
轴及
y
轴、【解析】此题为定积分的应用知识考核，由
x
①
②
③
x
0
所围的图形的代数面积为所求函数
0
，且单调递减。
F(x)
，从而可得出几个方面的特征：
x
x
x
0,1
时，
F(x)
1,2
时，
F(x)
单调递增。
2,3
时，
F(x)
为常函数。
第8 页共24 页
④
x1,0
时，
F(x)0
为线性函数，单调递增。
⑤由于F(x)为连续函数
结合这些特点，可见正确选项为
D
。
0
，则（）
（4）设有两个数列
a
n
,
b
n
，若
lima
n
n
A
当
n1
b
n
收敛时，
n1
a
n
b
n
收敛.
B
当
n1
b
n
发散时，
n1
a
n
b
n
发散.
C
当
n1
b
n
收敛时，
n1
ab
收敛.
22
nn
D
当
n1
b
n
发散时，
n1
ab
发散.
22
nn
【解析】
方法一：
举反例A取
a
n
b
n
(1)
n
1
n
B取
D取
故答案为（C）
方法二：
因为
a
n
a
n
b
n
b
n
1
n
1
n
lim
a
n
n
0,
则由定义可知
N
1
,
使得
nN
1
时，有
a
n
1
N
2
时，有
b
n
又因为
n1
b
n
收敛，可得
lim
b
n
n
0,
则由定义可知
N
2
,
使得
n
1
从而，当
nN
1
N
2
时，有
ab
22
nn
b
n
，则由正项级数的比较判别法可知
n1
ab
收敛。
22
nn
（5）设
1
,
2
2
,
2
3
是3维向量空间
R
的一组基，则由基
）
3
1
1
,
2
1
2
,
3
3
到基
1
,
3
,
31
的过渡矩阵为（
10
2
3
1
0
.
3
12
2
0
0
3
.
3
A
2
0
B
0
1
第9 页共24 页
C
1
2
1
2
1
2
1
1
4
1
4
1
4
,
2
1
6
1
6
1
6
,
n
.
D
1
2
1
4
1
6
1
2
1
4
1
6
1
2
1
4
1
6
1
.
【解析】因为
,
1
,
2
,,
n
A
，则
A
称为基
,
2
,,
n
到
1
,
2
,,
n
的过渡矩阵。
则由基
1
1
,
1
2
2
,
3
3
到
12
,
23
,
31
的过渡矩阵
M
满足
1
12
,
23
,
311
,
1
2
2
,
3
3
M
101
1
1
,
1
2
2
,
3
3
220
033
所以此题选
A
。
（6）设
A,
B
均为2阶矩阵，
A
*
,B
*
分别为
A,
B
的伴随矩阵，若
A2,B3
，则分块
矩阵
OA
BO
的伴随矩阵为（）
A
O3B
*
O2B
*
2A
*
O
.
B
3A
*
O
.
O
*
C
3A
*
2B
*
.
D
O2A
O3B
*
O
.
【解析】根据
CCCE
，若
CCC
1
,C
1
1
C
C
分块矩阵
0A0A
B0
的行列式
B0
（1）
22
AB236
，即分块矩阵可逆
1
0A0A0A
1
0
B
B
B0B0B0
6
0B
1
A
1
0
6
1
A
A0
第10 页共24 页
0
6
1
2
A
1
3
B
0
0
3A
2B
0
故答案为（B）
（7）设随机变量
X
的分布函数为
EX
（
Fx
）
0.3x0.7
x1
2
，其中
x
为标准正
态分布函数，则
A0
.
【答案】
B0.3
.
C0.7
.
D1
.
C
Fx0.3x0.7
x1
2
，
，【解析】因为
所以
Fx0.3x
0.7
2
x1
2
所以
EXxFxdxx0.3x0.35
x1
dx
2
0.3xxdx0.35x
x1
2
dx
而
所以
xxdx0
，
x
0.7
。
x1x1
dxu2
22
2u1udu2
EX00.352
（8）设随机变量
X
与
Y
相互独立，且
PY1
）
X
服从标准正态分布
N0,1
，
Y
的概率分布为
PY0
1
，记
F
Z
z
为随机变量
Z
2
C
2.
XY
的分布函数，则函数
F
Z
z
的间断点个数为（
A
0.
【答案】
【解析】
B
B
1.
D
3.
第11 页共24 页
F
Z
(z)P(XYz)P(XYzY0)P(Y0)P(XYzY1)P(Y1)
1
2
[P(XYzY0)P(XYzY1)]
1
2
[P(X0zY0)P(XzY1)]
X,Y
独立
F
1
Z
(z)
2
[P(X0z)P(Xz)]
（1）若
z0
，则
F
1
Z
(z)
2
(z)
（2）当
z0
，则
F
1
Z
(z)
2
(1(z))
z0
为间断点，故选（B）
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
2
（9）设函数
fu,v
具有二阶连续偏导数，
zfx,xy
，则
z
xy
。
【答案】
xf
\"
12
f
\'\"
2
xyf
22
【解析】
xf
\"
f
\'
xyf
\"
12222
z
\'\'
x
f
1
f
2
y
，
2
z
xf
\"\"
xy
12
f
\'
2
yxf
22
xf
\"
12
f
\'\"
2
xyf
22
（10）若二阶常系数线性齐次微分方程
yayby0
的通解为
yC
1
C
2
xe
x
，则非
齐次方程
yaybyx
满足条件
y02,y00
的解为
y
。
【答案】
yxe
x
x
2
【解析】由
y(c
x
1
c
2
x)e
，得
12
1
，故
a2,b1
微分方程为
y\'\'2y\'yx
设特解
y
*
AxB
代入，
y\'A,A1
第12 页共24 页
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