华东师范大学数学分析电子教案

2024年1月10日发(作者：瓯海区2023二模数学试卷)

华东师范大学数学分析电子教案

§２数集?确界原理

【教学目的】1．使学生知道区间与邻域的表示方法；

2．使学生深刻理解确界的与确界原理，并在有关命题的证明中正确地加以运用.

【教学重点】确界的概念及其有关性质（确界原理）.

【教学难点】确界的定义及其应用.

引言

为了以后表述的方便，本节课我们先定义实数集Ｒ中的两类重要的数集——区间与邻域；并讨论有界集与无界集；最后再由有界集的界引出确界定义及确界存在性定理（确界原理）.后者是我们以后关于实数理论研究的基础，应给予充分重视.

一 区间与邻域

１．区间（用来表示变量的变化范围）

设,a b R ∈且a b <.

{}{}{}{}{}{}{}{}{}|(,).|[,].|[,)|(,]|[,).|(,].|(,).|(,).|.x R a x b a b x R a x b a

b x R a x b a b x R a x b a b x R x a a x R x a a x R x a a x R x a a x

R x

R ∈<<=∈≤≤=??∈≤<=?∈<≤=?∈≥=+∞?∈≤=-∞??∈>=+∞??∈<=-∞??∈-∞<<+∞=?开区间: 有限区间闭区间: 闭开区间:半开半闭区间开闭区间:区间无限区间

注：∞+读作正无穷大；∞-读作负无穷大。

２．邻域

联想字面意思：“邻近的区域”.

设a 为任一给定实数，δ（Delta----德耳塔）为一给定正实数.

(1) 点a 的δ邻域：{}(;)||(,)U a x x a a a δδδδ=-<=-+

(2)点a 的空心δ邻域：{}),(),(||0)(δδδδ+?-=<-

(3)点a 的δ右邻域和点a 的空心δ右邻域：

{}),[)(δδδ+=+<≤+a a a x a x a U ＝； {}),()(δδδ+=+<<+a a a

x a x a U

＝；ο (4)点a 的δ左邻域和点a 的空心δ左邻域：

{}],()(a a a x a x a U δδδ-=≤<--＝； {}),()(a a a x a x a U δδδ-=<<--

＝；ο 注：以后在没有必要指出邻域半径δ的大小时，以上邻域我们可以分别简记为：

)(),(),(),(),(U ),(a U a U a U a U a a U --++οοο

(5)∞邻域，+∞邻域，-∞邻域：（其中Ｍ为充分大的正数）

{}()||,U x x M ∞=>{}(),U x x M +∞=> {}()U x x M -∞=<-

二 有界集与无界集

什么是“界”？――范围.

定义１（上、下界） 设S 为R 中的一个数集.若存在数()M L ，使得对一切x S ∈都有()x M x L ≤≥则称S 为有上（下）界的数集，数()M L 称为S 的上界（下界）.若数集S 既有上界，又有下界，则称S

为有界集.若数集S 不是有界集，则称S 为无界集.

[问题]：（１）上（下）界若存在，唯一吗？（２）上（下）界与S 的关系如何？看下例：

例1 讨论数集{}|N n n +=为正整数的有界性。

分析：有界或无界←上界、下界？下界显然有，如取1L =；上界似乎无，但需要证明。

解：任取0n N +∈，显然有01n ≥，所以N +有下界１；但N +无上界。证明如下：假设N +有上界M,则M>0，按定义，对任意0n

N +∈，都有0n M ≤，这是不可能的，如取0[]1,n M =+则0n N +∈，且0n M >.

综上所述知：N +是有下界无上界的数集，因而是无界集。

这里[x ]表示不超过x 的最大整数，如：.5]5[,3]5.2[,5]5[,2]5.2[-=--=-==

[可以看到]： （1）若数集有（上、下）界，则它不唯一，且有无限多个；

（2）同一数集的上界必大于等于其下界.

三 确界与确界原理

1、确界的定义

定义２（上确界） 设S 是R 中的一个数集，若数η满足：

(1) 对一切,x S ∈有x η≤,即η是S 的上界;

(2) 对任何αη<，存在0x S ∈，使得0x α>,即η是S 的上界中最小的一个，

则称数η为数集S 的上确界，记作 sup .S η=

定义３（下确界）设S 是R 中的一个数集，若数ξ满足：

（１） 对一切,x S ∈有x ξ≥,即ξ是的下界；

（２） 对任何βξ>，存在0x S ∈，使得0x β<,即ξ是S 的下界中最大的一个，

则称数ξ为数集S 的下确界，记作inf S ξ=.

上确界与下确界统称为确界。

克西）－艾塔，---Ksai Yita ξη(

例2 讨论数集{}

S x x =为区间(0,1)中的有(无)理数的确界.

分析：通过数轴看有无上、下界，进一步讨论上、下确界。

提示：利用有理数集在实数集中的稠密性。sup 1,inf 0.S S ==

解 先证1sup =S

（ⅰ）对一切S x ∈，显然有1≤x ，即1是x 的S 上界。

(ⅱ) 对任何1<α，若0≤α，则任取S x ∈0都有α>0x ；若0>α，则由有理数集在实数集中的稠密性，在)1,(α中必有有理数0x ，即存在S x ∈0，使得α>0x 。

类似可以验证.0inf =S

例3 （１） [0,1],sup 1,inf 0.S S S === （２） (1)11,2,,sup ,inf

1.2n

S n S S n ??-====-

L （３） ,sup ,inf 1.N N N +++=不存在

２、确界的性质

● 唯一性：若数集S 存在上（下）确界，则一定是唯一的；

● 若数集S 存在上、下确界，则有inf sup S S ≤；

● 数集S 的确界可能属于S ，也可能不属于S .

定理１.1（确界原理）设S 为非空数集，若S 有上界，则S 必有上确界；若S 有下界，则S 必有下确界. 证 这里只证明定理的前半部分，后半部分可类似的证之。

为叙述方便起见，不妨设S 含有非负数，由于S 有上界，故可以找到非负整数n ，使得：

(1) 对任何S x ∈，有1+<=\"\">

(2) 存在S a ∈0，使n a ≥0.

对区间)1,[+n n 作10等分,分点为：9.,,2.,1.n n n Λ，则存在9,,2,1,0Λ中的一个数1n ，使得：

(1) 对任何S x ∈，有101.1+

<=\"\" 存在s=\"\" ；=\"\">

对区间)101.,.[11+

n n n n 作10等分,分点为：9.,,2.,1.111n n n n n n Λ，则存在9,,2,1,0Λ中的一个数2n 使得：

（1）对任何S x ∈，有22110

1.+

<=\"\" （2）存在s=\"\" ；=\"\">

如此不断10等分前一步骤所得区间，可知对任何Λ,2,1=k 存在9,,2,1,0Λ中的一个数k n ，使得：

（1）对任何S x ∈，有k k n n n n x 10

1.21+

<Λ； （2）存在S a k ∈，使k k n n n n a Λ21.≥.

将以上步骤无限进行下去，得到实数ΛΛk n n n n 21.=η，以下证明S sup =η，即证：（ⅰ）对一切

S x ∈，有η≤x ；

（ⅱ）对任何ηα<,存在S x ∈0使得S x >0. 先证(ⅰ): (反证)假设存在S x ∈,使η>x ,则可找到非负整数k ,使k k x η>,而k x x >且k

k k n n n n 101.21+=Λη,故k k n n n n x 101.21+>Λ与(1)矛盾,

故对一切S x ∈，有η≤x . 再证(ⅱ): 由ηα<知存在非负整数k ,使k k

αη>,而k k n n n n Λ21.=η,αα>k ,故α>k n n n n Λ21., 由(2)便知存在S x ∈0使α>≥k n n n n x Λ210.

确界原理是数学分析极限理论的基础,因此具有极其重要的地位，应对定理的内容充分理解，给予充分重视.

例4 设数集S 有上界，证明：sup max .S S S ηη=∈?=

分析：由确界原理，sup S 意义，按确界定义证明。

证 （必要性）因为S sup =η ， 所以对一切S x ∈有η≤x ，又S

∈η，故S max =η.

（充分性）设S max =η，则：对一切S x ∈，有η≤x ；对任何ηα<，只需取S x ∈=η0，则α>0x ，

故S sup =η。

例5 设Ａ、Ｂ为非空数集，满足：对一切x A ∈和y B ∈有x y ≤.

证明：数集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界，且sup inf .A B ≤

分析：首先，证明sup ,inf .A B 有意义，用确界原理.其次，证明sup inf .A B ≤

证 由假设，数集Ｂ中任一数y 都是数集Ａ的上界，Ａ中任一数x

都是Ｂ的下界，故由确界原理推知数

集Ａ有上确界，数集Ｂ有下确界.

对任何B y ∈,y 是数集Ａ的一个上界,而由上确界的定义知,A sup

是数集Ａ的最小上界,故有

y A ≤sup .而此式又表明A sup 是数集Ｂ的一个下界,故由下确界定义证得sup inf .A B ≤

例6 设Ａ、Ｂ为非空有界数集，S A B =?，证明：（１）{}sup

max sup ,sup S A B =；（２）{}inf min inf ,inf S A B =。

分析：首先，由S A B =?及Ａ、Ｂ的性质知，Ｓ也是非空有界集。其次，证明（１）、（２）。

证 由于B A S ?=显然也是非空有界数集，因此S 的上、下确界都存在.

(ⅰ) 对任何S x ∈，有A x ∈或B x ∈?A x sup ≤或B x sup ≤，

从而有{}B A x sup ,sup m ax ≤，故

得{}B A S sup ,sup m ax sup ≤.另一方面，对任何A x ∈，有S x

∈?S x sup ≤?A sup S sup ≤；同理又有B sup S sup ≤.所以{}B A S

sup ,sup m ax sup ≥.综上,即得{}sup max sup ,sup S A B =. (ⅱ) 可类似于(ⅰ)证之.

推广的确界原理 任一非空数集必有上、下确界（正常的或非正常的）.(p9)

[作业] P9: