2014上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2024年4月18日发(作者：北京小学艺考数学试卷)

2014上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4题每小题7分，后4小题每小题8分）

1．给定正实数

a,b(ab)

，两点

(a

2

b

2

,0),(a

2

b

2

,0)

到直线

距离乘积是 __ ．

2．已知线段AB、CD的长分别为

a,b(ab0)

，若线段AB、CD分别在x轴、y轴上滑

动，且使得A、B、C、D四点共圆，则这些圆的圆心轨迹方程是 ____ ．

xcos



ysin



1

的

ab

a

恒为正值，则实数

a

的取值范围是 ．

2

x

n

2

(n1,2,3,

L

)

，则

4．数列

{x

n

}

定义如下：

x

1

,x

n1



32(2n1)x

n

1

3．若

x(1,1)

时，

f(x)xax

2

x

1

x

2

Lx

2014

= ．

5．不等式

log

1

(x2x3)x2x16

的解集是 ．

12

22

6． 设

a

1

,a

2

,L,a

2014

是正整数1，2，…，2014的一个排列，记

S

k

a

1

a

2

La

k

,k1,2,L,2014

，则

S

1

,S

2

,L,S

2014

中奇数个数的最大值是 ．

7．设

S{1,2,L,11}

，对S的每一个7元子集，将其中的7个数从小到大排列，取出中间数，

则所有取出的中间数的和等于 ．

8．将90000个五位数10000，10001，……，99999打印在卡片上，每张卡片上打印一个五位

数，有些卡片上所打印的数，如19806倒过来看是90861，有两种不同的读法，会引起混淆，

则不会引起混淆的卡片共有 张．

二、解答题

9．（本题满分14分）在锐角三角形ABC中，已知

A75,ACb,ABc

，求三角形ABC

的外接正三角形面积的最大值．

10．（本题满分14分）设n是给定的大于2的整数．有n个外表上没有区别的袋子，第k个袋中

有k个红球，(n-k)个白球，k=1,2,…,n．把这些袋子混合后，任选一个袋子，并且从中连续取

出三个球（每次取出不放回），求第三次取出的是白球的概率．

11．（本题满分16分）正实数

x,y,z

满足：

2

zmin{x,y}



5



4

xz

15





yz

1

5



求

123



的最大值．（这里，

min{x,y}

表示实数中的较小者．）

xyz

12．（本题满分16分）求

1,2,L,n

的排列

a

1

,a

2

,L,a

n

的个数，使得

|a

k

k|

n1

对正整数

2

k1,2,L,n

成立．

解答参考：

a

2

b

2

4028

1.

b

2.

xy

3.

0a2

4. 5.

(5,3)(1,3)

4

4029

2

22

6. 1511 7. 1980 8. 88060 9.

3

2

(bc

2

2bc)

3

n1

n1

10. 11. 13 12. n为奇数时，共有

2

2

个；n为偶数，共有1个.

2n