六年级初一竞赛培训:数论综合

2024年4月18日发(作者：天津初一数学试卷题)

深圳市教育培训中心 5年级奥数培训

数论综合篇（4.18） 姓名：

一、数的整除性

【数的整除性性质】

性质1：如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

（也就是说：如果a和b都是c的倍数，那么a+b与a-b也是c的倍数。）

性质2：如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。

性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。

【数的整除特征】

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：

一方面，个位数字是偶数（包括0）的整数，必能被2整除；另一方面，能被2整除的数，其

个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：

末两位

数能被4（或25）整除。

⑤能被8（或125）整除的数的特征：

末三位

数能被8（或125）整除。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差

（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4

＋2＝20.因为25—20＝5，又因为115，所以。

再例如：判断13574是否是11的倍数？

解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0.因

为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。

⑦能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成

的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。

例如：判断1059282是否是7的倍数？

解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.

因此1059282是7的倍数。

再例如：判断3546725能否被13整除？

解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再把2821分为2和821两

个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.

1、六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是 。

（2003年 全国“希望杯”数学邀请赛）

1

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2、下面这个199位整数：

1001001001…1001

199位

被13除，余数是多少？（1999年 香港圣公会小学数学邀请赛）

3、三个连续自然数的和能被13整除，且三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的最小

的三个数是 、 、 。

（2003年 “祖冲之杯”小学数学邀请赛）

4、如果20052005…200501能被11整除，那么n的最小值是 。

n个2005

（2005年 全国小学数学奥林匹克）

5、包含0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数字的十位数称为“十全数”，如果某个“十全

数”同时满足下列要求：

（1）它能分别被1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12整除；

（2）它与2004的和能被13整除。

那么这样的“十全数”中最小的是 。

（2004年 北京市“迎春杯”数学邀请赛）

二、质数与合数

1、将2008写成三个质数之和，其中最大的质数的最大可能值是多少？

（2003年 香港圣公会小学数学邀请赛）

2、九个连续自然数中，最多有 个质数。（2001年 全国小学数学奥林匹克）

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