2019年上海市高中数学竞赛(新知杯)试题(附解答)

2024年4月18日发(作者：苏州中学冬令营数学试卷)

2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷

（2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30）

【说明】解答本试卷不得使用计算器

一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）

1. 设

a

1

,a

2

,,a

10

(1,)

，则

2009

log

2009

a

1

log

a

2



2009

log

a

10

log

2009

a

1

a

2

a

10

x1

的最小值是 。

2. 已知

x,yN*

，且

12y199

2



析式是

y

。

2

9

，则将

y

表示成

x

的函数，其解

3. 已知函数

f(x)|x2|

，若

f(a)f(b)

，且

0ab

，则

ab

的取值范围是 。

13

2

]yy

的所有实数对

(x,y)

。

2

2cos(xy)4

2

5. 若

[a]

表示不超过实数

a

的最大整数，则方程

[tanx]2sinx

的解是 。

4. 满足方程

log

2

[2cos(xy)

2

6. 不等式

2

2x

32

xx

42

2x

的解集是 。

7. 设

A

是由不超过

2009

的所有正整数构成的集合，即

A{1,2,,2009}

，集合

LA

，

且

L

中任意两个不同元素之差都不等于

4

，则集合

L

元素个数的最大可能值

是 。

8. 给出一个凸

10

边形及其所有对角线，在以该凸

10

边形的顶点及所有对角线的交点为顶点

的三角形中，至少有两个顶点是该凸

10

边形顶点的三角形有 个。

二、解答题

9.（本题满分14分）设函数

f(x)

定义于闭区间

[0,1]

，满足

f(0)0,f(1)1

，且对任意

x,y[0,1],xy

，都有

f(

求

a

的值。

xy

)(1a

2

)f(x)a

2

f(y)

，其中常数

a

满足

0a1

，

2

x

2

y

2

1

的右顶点，过点

A

的两条互相垂直的10. （本题满分14分）如图，

A

是双曲线

4

直线分别与双曲线的右支交于点

M,N

，问直线

MN

是否一定过

x

轴上一定点？如果不存在

这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点

P

试求出这个定点

P

的坐标。

y

M

OA

x

N

11. （本题满分16分）设

A,B

是集合

{a

1

,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

}

的两个不同子集，使得

A

不是

B

的

子集，

B

也不是

A

的子集，求不同的有序集合对

(A,B)

的组数。

12. （本题满分16分）设正整数构成的数列

{a

n

}

使得

a

10k9

a

10k8

a

10k

19

对一切

j

kN*

恒成立。记该数列若干连续项的和

证：所有

S(i,j)

构成的集合等于

N*

。

答案：一、

pi1



a

p

为

S(i,j)

，其中

i,jN*

，且

ij

。求

3

x

1



1

1、

100

； 2、； 3、

(0,2)

； 4、

（k



+,）(kZ)

2

22

5、

xk



或

xl







4

(k,lZ)

； 6、

[0,4]

； 7、

1005

； 8、

960

。

1

101

1

2

)a

2

f(

1

)a

2

二、9、解：因为

f()f()a

2

，

f()f(

22

422

1

1

31

2

f()f()(1a

2

)f()a

2

f(1)2a

2

a

4

422

13



1

44

)(1a

2

)f(

1

)a

2

f(

3

)2a

6

3a

4

8分 所以

f()f(

2244

2

264

由此得

a2a3a

，而

0a1

，所以

a

14分

2

10、解法一：

A(2,0)

，将

y

轴向右平移

2

个单位，使点

A

成为新直角坐标系的原点，

(x\'2)

2

y

2

1

，即

4y

2

x\'

2

4x\'0

(*) 在新坐标系下，双曲线的方程为

4

4444

若

MNx

轴，则

k

AM

1

，即

l

AM

:yx\'

，代入（*）式可得

M(,)

，进而

N(,)

。

3333

410

所以

P(,0)

，则点

P

在原坐标系中的坐标为

(,0)

。 5分

33

ykx\'

若

MN

不垂直

x

轴，设

l

MN

:ykx\'t(t0)

，则

1

，

t

ykx\'yy

22

于是（*）可以改写成

4yx\'4x\'0

，即

4t()

2

4()4kt0

tx\'x\'

该方程的两个根

k

1

,k

2

既是

AM,AN

的斜率。

4kt

因为

AMAN

，所以

k

1

k

2

1

， 10分

4t

444

所以

tk

，故

l

MN

:ykx\'kk(x\')

333

410

所以过定点

P(,0)

，则点

P

在原坐标系中的坐标为

(,0)

。

33

10

综上所述，直线

MN

过

x

轴上的定点

P(,0)

14分

3

1

解法二：设直线

AM

的斜率为

k(k0,k,k2)

2



x

2

4y

2

4

2k

2

84k

8k

2

24k

,)

M(

2

,

2

)

，同理得

N(

由



22

4k4k

4k14k1



yk(x2)

0