2024年3月27日发(作者：教师如何制作数学试卷分析)
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咸阳师范学院2010届本科毕业毕业论文
前 言
我们学习了级数理论，但是我们知道的仅仅是结果，对于过程确实不甚了解。
级数理论的发展经历了一个相当漫长的时期，从芝诺(Zeno of Elea，约公
元前490一约公元前425)的二分法涉及到把1分解成无穷级数，
亚里士多德(Aristotle)也认为这种公比小于1的几何级数有和，到阿基米德
(Archimedes，公元前287一公元前212)在他的《抛物线图形求积法》一书中，在
求抛物线弓形面积的方法中使用了几何级数，并且求出了它的和，这时中国对于
级数也有所发现，中国古代的《庄子·天下》中的“一尺之捶，日取其半，万世
不竭”含有极限的思想，用数学形式表达出来也是无穷级数。而级数理论的形成
和建立是在19世纪，柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广
而应当以极限为基础建立起完整理论的数学家，之后在经过了几十年，级数理论
才得以真正的完善，大致分为数项级数，函数项级数，幂级数，傅里叶级数。
级数理论的发展可以分成几个时期：级数的早期工作、函数的展开、级数的
求和、收敛与发散的初探、理论的形成、理论的建立、一致收敛、影响与发展、
渐近级数、级数的可和性。每个时期都经过很长的时间才得以发展，都是经过很
多数学家的共同努力才得出的结果。
无穷级数在18世纪的形式发展，促成了数学家在19世纪建立无穷级数理论。
无穷级数作为分析的一个有效工具，丰富了数学理论的发展。此外，发散级数在
天文、物理上的广泛应用，推动了人类发展的进步。
级数理论的发现极大的丰富了数学的内容，也使得数学史上的很多问题得以
解决，也使得我们的生活更加便捷。
1
2
级数理论及应用
一，数项级数
1，一般概念
定义1： 给定一个数列
u
n
，
对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
，其中
u
n
称
u
1
+
u
2
+„+
u
n
+„ （1）
称为数项级数或无穷级数（也常简称级数）
为数项级数（1）的通项。
数项级数（1）也常写作：
u
n
或简单写作
u
n
。
n1
定义2：在数项级数
u
n
中，每一项都是正数时，则称为正项级数。
任意项级数：①若级数的各项符号正负相间，即
u
1
u
2
u
3
u
4
(
1)
n1
u
n
(u
n
0,n
1,2,
)
称为交错级数。② 级数
（几何级数）。③ 级数
1
a
aq
aq
2
aq
n
称为等比级数
为调和级数。
111
称
23n
数项级数（1）的前
n
项之和，记为
s
n
=
u
k
=
u
1
u
2
u
n
，称它为数项
k1
n
级数（1）的第
n
个部分和，也简称部分和。
定义2：若数项级数（1）的部分和数列
{s
n
}
收敛于
s
（即
lim
s
n
s
），则称
n
数项级数（1）收，称
s
为数项级数（1）的和，记作
su
1
u
2
u
n
或
s
u
n
。
若
{s
n
}
是发散数列敛，则称数项级数（1）发散。
又若
|u
n
|
收敛，则称级数
u
n
绝对收敛；而
u
n
收敛，但
|u
n
|
发散，
则称级数
u
n
条件收敛。
2.基本性质
（1）.级数
u
n
与
ku
n
（
k
是常数）有相同的敛散性，且若
u
n
s
，则
ku
n
ks
。
（2），若
u
n
a
，，则
(u
n
b
n
)
u
n
b
n
ab
；
b
n
b
（即它们收敛）
若
u
，
b
n
n
之一发散（另一收敛），则
(u
- 2 -
n
b
n
)
发散；若
u
n
，
b
n
皆发散，则
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级数,理论,发展,建立
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