函数项级数一致收敛的判定开题报告

2024年3月27日发(作者：武汉数学试卷用什么)

一、本课题研究现状及可行性分析

目前通用的数学分析教材（如华东师范大学，复旦大学，吉林大学，北

京师范大学等）其介绍的主要内容如下：M判别法，狄利克雷判别法，阿贝

尔判别法，柯西收敛准则等，用来判别一些级数的一致收敛性问题，其他一

些数学方面的工作者对某些特殊级数的收敛性进行了讨论。当前对级数的收

敛性的讨论研究已经到达比较高级阶段，分枝也比较细，发展也相对较完善。

但在许多实际解题过程中，往往不是特定的级数，用特殊的方法不能解决。

故需对特殊级数情况要总结和发展。

函数项级数的一致收敛性的判定是数学分析中的一个重要知识点，函数

项级数既可以被看作是对数项级数的推广，同时数项级数也可以看作是函数

项级数的一个特例。它们在研究内容上有许多相似之处，如研究其收敛性及

和等问题，并且它们很多问题都是借助数列和函数极限来解决，同时它们敛

散性的判别方法也具有相似之处，如Cauchy判别法，阿贝尔判别法，狄利克

雷判别法等。教材中给出了对于



u

n

(x)

一致收敛性的判别法，如Cauchy判

别法，阿贝尔判别法，狄利克雷判别法等，但在具体进行一致收敛的判别时，

往往会有一定的困难，这就需要我们有效地运用函数项级数一致收敛的判别

法。而此课题除了叙述以上判别法外，还对这些判别方法进行了一些推广，

从而进一步丰富了判别函数项级数一致收敛的方法。

二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路

关键问题：对函数项级数一致收敛性判别法总结和推广。

基本思路：首先从定义出发，让读者了解函数项级数及一致收敛的定义，对函数

项级数一致收敛有一个大致的认识，并对其进行一定的说明，且将收敛与一致收

敛做一个比较，使读者对其有一个更深刻的认识。随后给出一些常见的一致收敛

的判别法，并附上例题加以说明。当熟悉了一般的判别法后，我将其加以推广，

得到一些特殊的判别法，如比式判别法，根式判别法，对数判别法等。

三、论文纲要

1、引言

2、定义

函数项级数定义

函数项级数一致收敛的定义

3、函数项级数一致收敛的判别方法

柯西一致收敛准则

余项判别法

魏尔斯特拉斯判别法

狄利克雷判别法

阿贝尔判别法

4、函数项级数一致收敛判别方法的推广

比式判别法

根式判别法

对数判别法

积分判别法

确界判别法

5、结束语

阐明总结函数项级数一致收敛判别方法的重要性及必要性。

四、主要参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析（下册）[M].高等教育出版社.1991

[2] 王振乾，彭建奎，王立萍.关于函数项级数一致收敛性判定的讨论[J].甘肃联合大学学报.2010

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[4] 谢惠民，恽自求，易发槐，钱定边等.数学分析习题课讲义[M].北京：高等教育出版社，2004.1：

[5] 赵显曾，黄安才等.数学分析的方法与解题[M].陕西：师范大学出版社，2005.8

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[7] 裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[M]．北京：高等教育出版社．1993．

[8]毛一波.函数项级数一致收敛性的判别[J].重庆文理学院学报(自然科学版). 2006.10

[9] 陈传章．金福临，宋学炎，等．数学分析(下册)[M]. 高等教育出版社.1983