高二期末数学试卷(含答案)

2023年12月2日发(作者：全国甲卷数学试卷答案2023)

千里之行，始于脚下。

高二期末数学试卷(含答案)

2023-2023学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、挑选题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）

A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0

2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）

A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）

3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分离为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的外形为（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

5．已知原命题“若a＞b＞0，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．4

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千里之行，始于脚下。

6．已知函数f（x）f′（x）=（）

A B D

7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分离为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）

A．50米B．C．25米D．

8．已知命题p x轴上的双曲线；命题q：若实数

a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）

A．①B．③④C．①③D．①②③

9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）

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千里之行，始于脚下。

A．（﹣3，6）B．（﹣3，C．（﹣6，6）D．（﹣6，

10．已知实数x，y z=3x﹣y的最大值为（）

A．1 B C．﹣2 D．不存在

11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）

A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4

12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）

A．0 B．7 C．14 D．21

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13的渐近线方程是．

14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为．

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千里之行，始于脚下。

15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，则椭圆的离心率为．

16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，

日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安动身到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后天天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后天天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立即返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从动身到相遇的天数为．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．

（I）求实数a，b的值；

（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分离为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；

（II）若b=2，a及△ABC的面积．

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千里之行，始于脚下。

19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x0}．（I）求集合A；

（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不须要条件，求实数a的取值范围．20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．

（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．

21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂废气排放污染是形成雾霾的主要缘由．某科研单位举行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工

产品价值为c（x）万元，其中c（x）

年利润为f（x）（万元）．

（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；

（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？

22．已知椭圆C（a＞b＞0）的左、右焦点分离为F1，F2，右顶第 5 页/共 28

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千里之行，始于脚下。

点为

E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M．（I）求椭圆C的方程；

（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．

（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证实：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．

2023-2023学年山东省潍坊市高二（上）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、挑选题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．命题p：“?x∈R，x2+2＜0”，则￢p为（）

A．?x∈R，x2+2≥0 B．?x?R，x2+2＜0 C．?x∈R，x2+2≥0 D．?x∈R，x2+2＞0

【考点】命题的否定．

【分析】按照特称命题的否定是全称命题举行推断即可．

【解答】解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，即?x∈R，x2+2≥0，故选：A

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千里之行，始于脚下。

2．抛物线x2=4y的焦点坐标为（）

A．（1，0） B．（﹣1，0）C．（0，1） D．（0，﹣1）

【考点】抛物线的容易性质．

【分析】先按照标准方程求出p值，推断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．

【解答】解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），

故选C．

3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，则S9=（）A．18 B．36 C．60 D．72

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】由等差数列的通项公式得a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，解得a5=4，从而

S9

【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3+a4+a5+a6+a7=20，

∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=20，

解得a5=4，

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千里之行，始于脚下。

∴S9．

故选：B．

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分离为a，b，c，且满足a=2bcosC，则△ABC 的外形为（）

A．等腰三角形B．直角三角形

C．等边三角形D．等腰直角三角形

【考点】三角形的外形推断．

【分析】利用正弦定理以及三角形的内角和，两角和的正弦函数化简a=2bcosC，求出B与C的关系，即可推断三角形的外形．

【解答】解：a=2bcosC，由正弦定理可知，sinA=2sinBcosC，由于A+B+C=π，

所以sin（B+C）=2sinBcosC，所以sinBcosC+cosBsinC=2sinBcosC，

sin（B﹣C）=0，B﹣C=kπ，k∈Z，

由于A、B、C是三角形内角，

所以B=C．

三角形是等腰三角形．

故选：A．

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千里之行，始于脚下。

5．已知原命题“若a＞b＞0，则原命题，逆命题，否命题，逆否命题中真命题个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．4

【考点】四种命题间的逆否关系．

【分析】按照逆否命题的等价性分离举行推断即可．

【解答】解：若a＞b＞0

命题，

a＞b＞0，为假命题，当a＜0，b＞0时，结论就不成立，则逆命题为假命题，否命题也为假命题，

故真命题的个数为2个，

故选：C

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千里之行，始于脚下。

6．已知函数f（x）f′（x）=（）

A B D

【考点】导数的运算．

【分析】利用导数除法的运算公式举行求导即可．

【解答】解：f\'（x）

故选D．

7．如图，为测量塔高AB，选取与塔底B在同一水平面内的两点C、D，在C、D 两点处测得塔顶A的仰角分离为45°，30°，又测得∠CBD=30°，CD=50米，则塔高AB=（）A．50米B．C．25米D．

【考点】解三角形的实际应用．

【分析】设AB=am，则BC=am，，按照∠CBD=30°，CD=50米，利用余弦定理建立方程，即可得出结论．

【解答】解：设AB=am，则BC=am，，

∵∠CBD=30°，CD=50米，

∴2500=a2+3a2﹣

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千里之行，始于脚下。

∴a=50m．

故选A．

8．已知命题p x轴上的双曲线；命题q：若实数

a，b满足a＞b，则a2＞b2．则下列命题中：①p∨q②p∧q③（￢p）∨q④（￢p）∧（￢q）真命题的序号为（）

A．①B．③④C．①③D．①②③

【考点】命题的真假推断与应用；双曲线的容易性质．

【分析】先分离判定命题p、命题q的真假，在按照复合命题的真值表判定．

【解答】解：对于命题p x轴上的双曲线，则

3﹣a＞0，a﹣5＞0，a不存在，故命题p是假命题；

对于命题q：若实数a，b满足a＞b，则a2＞b2或a2=b2或a2＜b2，命题q为假命题；

①p∨q为假，②p∧q为假，③（￢p）∨q为真，④（￢p）∧（￢q）为真；故选：B．

9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），C上一点P到焦点F的距离为9，则点P的一个坐标为（）

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千里之行，始于脚下。

A．（﹣3，6）B．（﹣3，C．（﹣6，6）D．（﹣6，

【考点】抛物线的容易性质．

【分析】利用抛物线的容易性质，列出方程求出P的横坐标，即可推出结果．【解答】解：抛物线C的顶点在原点，焦点为F（﹣3，0），准线方程为：x=3，C上一点P到焦点F的距离为9，

设P（x，y）可得﹣x+3=9，解得x=﹣6，可得

故选：D．

10．已知实数x，y z=3x﹣y的最大值为（）

A．1 B C．﹣2 D．不存在

【考点】容易线性规划．

【分析】首先画出平面区域，利用目标函数的几何意义求最大值．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图：目标函数z=3x﹣y变形为y=3x﹣z，此直线在y轴截距最小时，z最大，

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千里之行，始于脚下。

由区域可知，直线经过图中A（0，2）时，z取最大值为﹣2；

故选C

11．已知函数f（x）=x+a，g（x）=x?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a的取值范围为（）

A．a≥1 B．a≥2 C．a≥3 D．a≥4

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），可得f（x）=x+a

在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）=x x2∈[1，4]的最小值，构造关于a

的不等式组，可得结论．

【解答】解：当x1∈[1，3]时，由f（x）=x+a递增，

f（1）=1+a是函数的最小值，

当x2∈[1，4]时，g（x）=x[1，2）为减函数，在（2，4]为增函数，

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千里之行，始于脚下。

∴g（2）=4是函数的最小值，

若?x1∈[1，3]，?x2∈[1，4]，使得f（x1）≥g（x2），

可得f（x）在x1∈[1，3]的最小值不小于g（x）在x2∈[1，4]的最小值，

即1+a≥4，

解得：a∈[3，+∞），

故选：C．

12．已知双曲线C的两焦点为F1，F2y2=16x的准线过双曲线C的一个焦点，若以线段F1F2为直径的圆与双曲线交于四个点P i（i=1，2，3，4），|P i F1|?|P i F2|=（）

A．0 B．7 C．14 D．21

【考点】双曲线的容易性质．

【分析】求出双曲线、圆的方程，联立求出|y|

论．

【解答】解：由题意，c=4，a=3，，

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千里之行，始于脚下。

与圆x2+y2=16，可得|y|

∴|P i F1|?|P i F2|=14，

故选C．

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13

【考点】双曲线的容易性质．

【分析】把双曲线的标准方程中的1换成0即得渐近线方程，化简即可得到所求．

【解答】，即

y=

故答案为y=

14．“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数a的最大值为1．

【考点】命题的真假推断与应用．

【分析】按照全称命题的含义：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min

【解答】解：“?x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题?x∈[1，2]第 15 页/共 28

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千里之行，始于脚下。

时，x2﹣a≥0恒成立?a≤（x2）min，又∵x∈[1，2]时（x2）min=1，∴a≤1，则实数a的最大值为1

故答案为：1．

15．已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的

【考点】椭圆的容易性质．

【分析】利用已知条件列出不等式，然后求解椭圆的离心率即可．

【解答】解：椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点构成顶角为120°的等腰三角形，

16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中给出了如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐，齐去长安一千一百二十五里．良马初日行一百零三里，日增一十三里．驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问

几何日相逢？”其大意为：“现有良马和驽马同时从长安动身到齐去，已知长安和齐的距离是1125里．良马第一天行103里，之后天天比前一天多行13里．驽马第一天行97里，之后天天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立即返回去迎驽马，多少天后两马相遇？”在这个问题中两马从动身到相遇的天数为9．【考点】函数模型的挑选与应用．

【分析】利用等差数列的求和公式与不等式的解法即可得出．

【解答】解：由题意知，良马每日行的距离成等差数列，

记为{a n}，其中a1=103，d=13；

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千里之行，始于脚下。

驽马每日行的距离成等差数列，

记为{b n}，其中b1=97，d=﹣0.5；

设第m天相逢，则a1+a2+…+a m+b1+b2+…+b m

=103m13+97m0.5）

=200m12.5≥2×1125，

化为m2+31m﹣360≥0，

解得m=9．

故答案为：9

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．已知曲线f（x）=x3﹣ax+b在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1=0．

（I）求实数a，b的值；

（II）求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．

【考点】利用导数讨论曲线上某点切线方程．

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千里之行，始于脚下。

【分析】（I）求出原函数的导函数，由曲线在x=1处的切线的斜率求得a，再由曲线和直线在x=1处的函数值相等求得b；

（II）求出曲线y=f（x）在x=2处的切线方程，即可求曲线y=f（x）在x=2处的切线与两坐标轴围成的三角形面积．

【解答】解：（I）由f（x）=x3﹣ax+b，得y′=3x2﹣a，

由题意可知y′|x=1=3﹣a=1，即a=2．

又当x=1时，y=0，

∴13﹣1×2+b=0，即b=1．

（II）f（x）=x3﹣2x+1，f′（x）=3x2﹣2，

x=2时，f（2）=5，f′（2）=10，

∴曲线y=f（x）在x=2处的切线方程为y﹣5=10（x﹣2），即10x﹣y﹣15=0，

与两坐标轴的交点为（1.5，0），（0，﹣15），

∴切线与两坐标轴围成的三角形面积=

18．在△ABC中，角A，B，C的对边分离为a，b，c，已知2bcosC=acosC+ccosA．（I）求角C的大小；

（II）若b=2，a及△ABC的面积．

【考点】正弦定理．

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千里之行，始于脚下。

【分析】（I）由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知

等式可得2sinBcosC=sinB，结合sinB＞0，可得C∈（0，C），可求C的值．

（II）由已知利用余弦定理可得：a2﹣2a﹣3=0，解得a的值，进而利用三角形的面积公式即可计算得解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（I）∵2bcosC=acosC+ccosA，

∴由正弦定理可得：2sinBcosC=sinAcosC+cosAsinC，可得：2sinBcosC=sin（A+C）=sinB，

∵sinB＞0，

∴

∵C∈（0，C），

∴分

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（II）∵b=2，

∴由余弦定理可得：7=a2+4﹣2a2﹣2a﹣3=0，

∴解得：a=3或﹣1（舍去），∴△ABC的面积分

19．设p：集合A={x|x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0}，q：集合B={x0}．（I）求集合A；

（II）当a＜1时，￢q是￢p的充分不须要条件，求实数a的取值范围．

【考点】须要条件、充分条件与充要条件的推断．

【分析】（Ⅰ）按照一元二次不等式的解法，研究a的取值范围举行求解即可．（Ⅱ）按照逆否命题之间的关系将条件举行转化，结合充分不须要条件的定义建立不等式关系举行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）由x2﹣（3a+1）x+2a（a+1）＜0得（x﹣2a）[x﹣（a+1）]＜0，

①若2a＜a+1，即a＜1时，2a＜x＜a+1，

此时A=（2a，a+1），

②若2a=a+1，即a=1时，不等式无解，

此时A=?，

③若2a＞a+1，即a＞1时，a+1＜x＜2a，

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千里之行，始于脚下。

此时A=（a+1，2a）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a＜1时，A=（2a，a+1），

B={x0}={x|﹣1＜x＜3}=（﹣1，3），

若￢q是￢p的充分不须要条件，

即p是q的充分不须要条件，

即A?B，a≤2，

∵a＜1a＜1，

则实数a的取值范围是[1）．

20．已知数列{a n}的前n项和S n=n2﹣n（n∈N*）．正项等比数列{b n}的首项b1=1，且3a2是b2，b3的等差中项．

（I）求数列{a n}，{b n}的通项公式；

（II）若c n=a n?b n，求数列{c n}的前n项和T n．

【考点】数列的求和．

【分析】（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1；当n≥2时，a n=s n ﹣s n

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千里之行，始于脚下。

．可得a n．利用等比数列的通项公式可得b n．

﹣1

（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

【解答】解：（I）数列{a n}的前n项和s n=n2﹣n，当n=1时，a1=s1=0；

当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．

当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．

设正项等比数列{b n}的公比为q，则，b2=q，b3=q2，3a2=6，

∵3a2是b2，b3的等差中项，∴2×6=q+q2，得q=3或q=﹣4（舍去），

∴b n=3n﹣1

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c n=a n?b n=（2n﹣2）3n﹣1=2（n﹣1）3n﹣1，

∴数列{c n}的前n项和T n=2×0×30+2×1×31+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣2+2（n ﹣1）3n﹣1，…①

3T n=2×0×31+2×1×32+2×2×32+…+2（n﹣2）3n﹣1，+2（n﹣1）3n，…②

①﹣②得：﹣2T n=2×31+2×32+…+2×3n﹣1﹣2（n﹣1）3n

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千里之行，始于脚下。

=2

=3n﹣3﹣2（n﹣1）3n

=（3﹣2n）3n﹣3

∴T n

21．近年来，某地雾霾污染指数达到重度污染级别．经环保部门调查，该地工厂

废气排放污染是形成雾霾的主要缘由．某科研单位举行了科技攻关，将工业废气中的某些成分转化为一中可利用的化工产品．已知该项目每年投入资金3000万元，设每年处理工厂废气量为x万升，每万升工厂废气处理后得到可利用的化工

产品价值为c（x）万元，其中c（x）

年利润为f（x）（万元）．

（I）求年利润f（x）（万元）关于处理量x（万升）的函数表达式；

（II）该单位年处理工厂废气量为多少万升时，所获得的利润最大，并求出最大利润？

【考点】函数模型的挑选与应用．

【分析】（I）利用f（x）=xc（x）﹣3000，即可得出结论；

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千里之行，始于脚下。

（II）分段研究，0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32

时，（x）fmax=f（32）=92；x＞50时，（x）f=xc（x）﹣3000=2x+640=640

﹣（2x，利用基本不等式，可得结论．

【解答】解：（I）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，

x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=2x+640，

∴f（x）

（II）0＜x≤50时，f（x）=xc（x）﹣3000=﹣3x2+192x﹣2980，x=32时，f（x）

=f（32）=92；

max

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千里之行，始于脚下。

x＞50时，f（x）=xc（x）﹣3000=2x+640=640﹣（2x400，

当且仅当x=60时，f（x）max=f（60）=400，

∵400＞92，

∴该单位年处理工厂废气量为60万升时，所获得的利润最大，最大利润为400万元．

22．已知椭圆C（a＞b＞0）的左、右焦点分离为F1，F2，右顶点为

E，过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点为M．（I）求椭圆C的方程；

（II）经过点P（1，0）的直线l与椭圆交于A，B两点．

（i）若直线AE，BE的斜率为k1，k2（k1≠0，k2≠0），证实：k1?k2为定值；（ii）若O为坐标原点，求△OAB面积的最大值．

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．

【分析】（I）由已知中椭圆通径的端点坐标，构造方程组，可得a，b的值，进而可得椭圆C的方程；

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千里之行，始于脚下。

（II）经过点P（1，0）的直线l可设为x=my+1，

（i）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理，可得

y1+y2=，y1y2=，由椭圆的右顶点为E（2，0），可得：

k1?k2

到答案；

（ii）由题意得：△OAB面积1×|y1﹣y2|，结合对勾函数的图象和性质，可得△OAB面积的最大值．

【解答】解：（I）由已知中过F1于x轴垂直的直线与椭圆C相交，其中一个交点

为M．可得：a2﹣b2=c2，

解得：a=2，b=1，

∴椭圆C…3分

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千里之行，始于脚下。

（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）

证实：（i）∵直线l过定点（1，0），设x=my+1，

（m2+4）y2+2my﹣3=0，…5分

∴y1+y2y1y2

∵右顶点为E（2，0），

∴

k1?k2=?===

∴k1?k2为定值；…8分

（ii）由题意得：

△OAB面积1×|y1﹣y2|

令t

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千里之行，始于脚下。

则=

故△OAB分

20XX年1月30日

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