2009年全国统一高考数学试卷(理科)(全国卷一)及答案

2024年4月18日发(作者：2019襄阳中考数学试卷)

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合

∁

U

（A∩B）中的元素共有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

2．（5分）已知=2+i，则复数z=（ ）

A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i

3．（5分）不等式＜1的解集为（ ）

A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}

4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x

2

+1相切，

则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．

5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从

甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有（ ）

A．150种 B．180种 C．300种 D．345种

6．（5分）设、、是单位向量，且，则•的最小值为（ ）

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣

7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长都相等，A

1

在底面ABC上的

射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC

1

所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（

的最小值为（ ）

，0）中心对称，那么|φ|

A． B． C． D．

9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（ ）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距

离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）

A．1 B．2 C． D．4

11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则（ ）

A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）=f（x+2）

函数

D．f（x+3）是奇

12．（5分）已知椭圆C：+y

2

=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF交

C于点B，若=3，则||=（ ）

A． B．2 C． D．3

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（x﹣y）

10

的展开式中，x

7

y

3

的系数与x

3

y

7

的系数之和等于 ．

14．（5分）设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

9

=81，则a

2

+a

5

+a

8

= ．

15．（5分）直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA

1

=2，

∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ．

16．（5分）若，则函数y=tan2xtan

3

x的最大值为 ．

三、解答题（共6小题，满分70分）

17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a

2

﹣c

2

=2b，

且sinAcosC=3cosAsinC，求b．

18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，

AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．

19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，

比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互

独立，已知前2局中，甲、乙各胜1局．

（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；

（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求ξ的分布列及数学期望．

20．（12分）在数列{a

n

}中，a

1

=1，a

n+1

=（1+）a

n

+．

（1）设b

n

=，求数列{b

n

}的通项公式；

（2）求数列{a

n

}的前n项和S

n

．

21．（12分）如图，已知抛物线E：y

2

=x与圆M：（x﹣4）

2

+y

2

=r

2

（r＞0）相交于A、

B、C、D四个点．

（Ⅰ）求r的取值范围；

（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．

22．（12分）设函数f（x）=x

3

+3bx

2

+3cx在两个极值点x

1

、x

2

，且x

1

∈[﹣1，0]，

x

2

∈[1，2]．

（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点（b，

c）的区域；

（2）证明：．

2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）

1．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集

U=A∪B，则集合∁

U

（A∩B）中的元素共有（ ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．

【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，

A∩B={4，7，9}∴∁

U

（A∩B）={3，5，8}故选A．

也可用摩根律：∁

U

（A∩B）=（∁

U

A）∪（∁

U

B）

故选A

2．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知=2+i，则复数z=（ ）

A．﹣1+3i B．1﹣3i C．3+i D．3﹣i

【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求z．

【解答】解：，∴

故选B

3．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）不等式＜1的解集为（ ）

A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B．{x|0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0} D．{x|x＜0}

【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，也可

两边平方去绝对值．

【解答】解：∵＜1，

∴|x+1|＜|x﹣1|，

∴x

2

+2x+1＜x

2

﹣2x+1．

∴x＜0．

∴不等式的解集为{x|x＜0}．

故选D

4．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物

线y=x

2

+1相切，则该双曲线的离心率为（ ）

A． B．2 C． D．

【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于0，找到a和b的关

系，从而推断出a和c的关系，答案可得．

【解答】解：由题双曲线

的一条渐近线方程为，

代入抛物线方程整理得ax

2

﹣bx+a=0，

因渐近线与抛物线相切，所以b

2

﹣4a

2

=0，

即，

故选择C．

5．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、

2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同

选法共有（ ）

A．150种 B．180种 C．300种 D．345种

【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组两类

型．

【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有C

5

1

•C

3

1

•C

6

2

=225种选法；

（2）乙组中选出一名女生有C

5

2

•C

6

1

•C

2

1

=120种选法．故共有345种选法．

故选D

6．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设、、是单位向量，且

最小值为（ ）

，则•的

A．﹣2 B．﹣2 C．﹣1 D．1﹣

【分析】由题意可得

cos

最小值．

=

=1﹣

，故要求的式子即

cos

﹣（）•+=1﹣

，再由余弦函数的值域求出它的

【解答】解：∵、、 是单位向量，，∴，=．

∴

cos

•

=﹣（）•+=0﹣（）•+1=1﹣

=1﹣cos≥．

故选项为D

7．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长都相等，

A

1

在底面ABC上的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC

1

所成的角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】首先找到异面直线AB与CC

1

所成的角（如∠A

1

AB）；而欲求其余弦值可考虑

余弦定理，则只要表示出A

1

B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边

长为1，利用勾股定理即可求之．

【解答】解：设BC的中点为D，连接A

1

D、AD、A

1

B，易知θ=∠A

1

AB即为异面直

线AB与CC

1

所成的角；

并设三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长为1，则|AD|=，|A

1

D|=，|A

1

B|=，

由余弦定理，得cosθ==．

故选D．

8．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（

中心对称，那么|φ|的最小值为（ ）

，0）

A． B． C． D．

【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点

入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．

中心对称，令x=代

【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．

∴∴由此易得．

故选A

9．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值

为（ ）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；又曲线切点处的导数值

是切线斜率得第三个方程．

【解答】解：设切点P（x

0

，y

0

），则y

0

=x

0

+1，y

0

=ln（x

0

+a），

又∵

∴x

0

+a=1

∴y

0

=0，x

0

=﹣1

∴a=2．

故选项为B

10．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、

β内，P到β的距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（ ）

A．1 B．2 C． D．4

【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD则

∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．

【解答】解：如图

分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，

连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，，

∴AC=PD=2

又∵

当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．

故答案选C．

11．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）

都是奇函数，则（ ）

A．f（x）是偶函数 B．f（x）是奇函数 C．f（x）=f（x+2） D．f（x+3）是奇

函数

【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．

【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，

∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，

∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，

故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），

函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．

∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），

f（﹣x+3）=﹣f（x+3），

f（x+3）是奇函数．

故选D

12．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）已知椭圆C：+y

2

=1的右焦点为F，右准线为l，点

A∈l，线段AF交C于点B，若=3，则||=（ ）

A． B．2 C． D．3

【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性质

可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．

【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，

并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．

由题意，

故FM=，故B点的横坐标为，纵坐标为±

即BM=，

故AN=1，

∴．

故选A

二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）（x﹣y）

10

的展开式中，x

7

y

3

的系数与x

3

y

7

的系数之和

等于 ﹣240 ．

【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）

n

=C

n

0

a

n

b

0

+C

n

1

a

n﹣1

b

1

+C

n

2

a

n﹣2

b

2

++C

n

r

a

n

﹣r

b

r

++C

n

a

0

b

n

，各项的通项公式为：T

rn﹣r

b

r

．然后根据题目已知求解即可．

nr+1

=C

n

a

10

的展开式中含x

7

y

3

的项为C

3

x

10﹣3

y

33

=﹣C

3

x

7

y

3

，【解答】解：因为（x﹣y）（﹣1）

1010

含x

3

y

7

的项为C

10

7

x

10﹣7

y

7

（﹣1）

7

=﹣C

10

7

x

3

y

7

．

由C

10

3

=C

10

7

=120知，x

7

y

3

与x

3

y

7

的系数之和为﹣240．

故答案为﹣240．

14．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）设等差数列{a

n

}的前n项和为S

n

，若S

9

=81，则a

2

+a

5

+a

8

=

27 ．

【分析】由s

9

解得a

5

即可．

【解答】解：∵

∴a

5

=9

∴a

2

+a

5

+a

8

=3a

5

=27

故答案是27

15．（5分）（2009•全国卷Ⅰ）直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA

1

=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 20π ．

【分析】通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O\'，球心为O，在RT△

OBO\'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．

【解答】解：在△ABC中AB=AC=2，∠BAC=120°，

可得

由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r=2，

设此圆圆心为O\'，球心为O，在RT△OBO\'中，

易得球半径，