2024年4月18日发(作者：考研数学试卷由谁阅卷)
2009年全国统一高考数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知
A．﹣1+3i
=2+i，则复数z=（
B．1﹣3i
）
C．3+i
（全国卷Ⅰ）
D．3﹣i
2．（5分）设集合
A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集合?
U
（A∩B）中的
元素共有（
A．3个
3．（5分）不等式
）
B．4个
＜1的解集为（
C．5个
）
B．{x|0＜x＜1}
D．{x|x＜0}
﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x
+1相切，
）
C．D．
2
D．6个
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}
C．{x|﹣1＜x＜0}
4．（5分）已知双曲线
则该双曲线的离心率为（
A．B．2
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若
从甲、乙两组中各选出
法共有（
A．150种
）
B．180种C．300种
，则
C．﹣1
?
D．345种
的最小值为（
D．1﹣
）
2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选
6．（5分）设、、是单位向量，且
A．﹣2B．﹣2
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，A
1
在底面ABC上
的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC
1
所成的角的余弦值为（）
第1页（共24页）
A．B．C．D．
，0）中心对称，那么|φ|8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
的最小值为（
A．
）
B．C．D．
）9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的
距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1B．2C．D．4
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则
（）
B．f（x）是奇函数
D．f（x+3）是奇函数
+y=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF
，则||=（）
C．D．3
2
A．f（x）是偶函数
C．f（x）=f（x+2）
12．（5分）已知椭圆C：
交C于点B，若
A．
=3
B．2
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）
10
的展开式中，x
y
的系数与x
y
的系数之和等于
7337
．
．14．（5分）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
9
=81，则a
2
+a
5
+a
8
=
15．（5分）直三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的各顶点都在同一球面上，若
∠BAC=120°，则此球的表面积等于．
AB=AC=AA
1
=2，
第2页（共24页）
16．（5分）若，则函数y=tan2xtanx的最大值为
3
．
三、解答题（共6小题，满分70分）
22
17．（10分）在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知a
﹣c
=2b，
且sinAcosC=3cosAsinC，求b．
18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SD⊥底面ABCD，
AD=，DC=SD=2，点M在侧棱SC上，∠ABM=60°
（I）证明：M是侧棱SC的中点；
（Ⅱ）求二面角S﹣AM﹣B的大小．
19．（12分）甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜
利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为
各局比赛结果相互独立，已知前
（I）求甲获得这次比赛胜利的概率；
3局者获得这次比赛的胜
0.6，乙获胜的概率为0.4，
2局中，甲、乙各胜1局．
（Ⅱ）设ξ表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数，求
望．
ξ的分布列及数学期
第3页（共24页）
20．（12分）在数列{a
n
}中，a
1
=1，a
n
+
1
=（1+）a
n
+
（1）设b
n
=，求数列{b
n
}的通项公式；
．
（2）求数列{a
n
}的前n项和S
n
．
21．（12分）如图，已知抛物线E：y=x与圆M：（x﹣4）
+y
=r
（r＞0）相交于
A、B、C、D四个点．
（Ⅰ）求r的取值范围；
（Ⅱ）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标．
2222
22．（12分）设函数f（x）=x
+3bx+3cx有两个极值点x
1
、x
2
，且x
1
∈[﹣1，0]，
x
2
∈[1，2]．
（1）求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点
（b，c）的区域；
（2）证明：．
32
第4页（共24页）
2009年全国统一高考数学试卷（理科）（全国卷Ⅰ）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．（5分）已知
A．﹣1+3i
=2+i，则复数z=（
B．1﹣3i
）
C．3+iD．3﹣i
【考点】A1：虚数单位i、复数．
【分析】化简复数直接求解，利用共轭复数可求
【解答】解：
故选：B．
【点评】求复数，需要对复数化简，本题也可以用待定系数方法求解．
，∴z=1﹣3i
z．
2．（5分）设集合A={4，5，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集U=A∪B，则集
合?
U
（A∩B）中的元素共有（
A．3个B．4个
）
C．5个D．6个
【考点】1H：交、并、补集的混合运算．
【分析】根据交集含义取A、B的公共元素写出A∩B，再根据补集的含义求解．
【解答】解：A∪B={3，4，5，7，8，9}，
A∩B={4，7，9}∴?
U
（A∩B）={3，5，8}故选A．
也可用摩根律：?
U
（A∩B）=（?
U
A）∪（?
U
B）
故选：A．
【点评】本题考查集合的基本运算，较简单．
3．（5分）不等式＜1的解集为（）
第5页（共24页）
A．{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1}
D．{x|x＜0}
B．{x|0＜x＜1}C．{x|﹣1＜x＜0}
【考点】7E：其他不等式的解法．
【分析】本题为绝对值不等式，去绝对值是关键，可利用绝对值意义去绝对值，
也可两边平方去绝对值．
【解答】解：∵
∴|x+1|＜|x﹣1|，
∴x+2x+1＜x﹣2x+1．
∴x＜0．
∴不等式的解集为{x|x＜0}．
故选：D．
【点评】本题主要考查解绝对值不等式，属基本题．解绝对值不等式的关键是去
绝对值，去绝对值的方法主要有：利用绝对值的意义、讨论和平方．
22
＜1，
4．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x
+1相切，
）
C．D．
2
则该双曲线的离心率为（
A．B．2
【考点】KC：双曲线的性质；KH：直线与圆锥曲线的综合．
【专题】11：计算题．
【分析】先求出渐近线方程，代入抛物线方程，根据判别式等于
的关系，从而推断出a和c的关系，答案可得．
【解答】解：由题双曲线
代入抛物线方程整理得ax﹣bx+a=0，
b﹣4a
=0，
22
2
0，找到a和b
的一条渐近线方程为，
因渐近线与抛物线相切，所以
即，
第6页（共24页）
故选：C．
【点评】本小题考查双曲线的渐近线方程直线与圆锥曲线的位置关系、
离心率，基础题．
双曲线的
5．（5分）甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若
从甲、乙两组中各选出
法共有（
A．150种
）
B．180种C．300种D．345种
2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选
【考点】D1：分类加法计数原理；D2：分步乘法计数原理．
【专题】5O：排列组合．
【分析】选出的4人中恰有1名女同学的不同选法，1名女同学来自甲组和乙组
两类型．
【解答】解：分两类（1）甲组中选出一名女生有
（2）乙组中选出一名女生有
故选：D．
【点评】分类加法计数原理和分类乘法计数原理，
后分步！
最关键做到不重不漏，先分类，
112
C
5
?C
3
?C
6
=225种选法；
211
C
5
?C
6
?C
2
=120种选法．故共有345种选法．
6．（5分）设、、是单位向量，且
A．﹣2B．﹣2
，则
C．﹣1
?的最小值为（
D．1﹣
）
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】16：压轴题．
【分析】由题意可得
cos
数的值域求出它的最小值．
【解答】解：∵、、是单位向量，
第7页（共24页）
=，故要求的式子即
=1﹣cos
﹣（）?+=1﹣
，再由余弦函
，∴，=．
∴
cos
=1﹣
?=﹣（）?+=0﹣（）?+1=1﹣
cos≥．
故选：D．
【点评】考查向量的运算法则；交换律、分配律但注意不满足结合律．
7．（5分）已知三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，A
1
在底面ABC上
的射影D为BC的中点，则异面直线AB与CC
1
所成的角的余弦值为（）
A．B．C．D．
【考点】LO：空间中直线与直线之间的位置关系．
【分析】首先找到异面直线AB与CC
）；而欲求其余弦值可
1
所成的角（如∠A
1
AB
考虑余弦定理，则只要表示出A
1
B的长度即可；不妨设三棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长为1，利用勾股定理即可求之．
【解答】解：设BC的中点为D，连接A
1
D、AD、A
1
B，易知θ＝∠A
1
AB即为异面
直线AB与CC
1
所成的角；
并设三棱柱
|A
1
B|=
ABC﹣A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长为
，
1，则|AD|=，|A
1
D|=，
由余弦定理，得cosθ＝
故选：D．
=．
【点评】本题主要考查异面直线的夹角与余弦定理．
第8页（共24页）
8．（5分）如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（
的最小值为（
A．
）
B．C．
，0）中心对称，那么|φ|
D．
【考点】HB：余弦函数的对称性．
【专题】11：计算题．
【分析】先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=
代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得|φ|的最小值．
【解答】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点
∴
故选：A．
【点评】本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．
∴由此易得
中心对称．
．
9．（5分）已知直线y=x+1与曲线y=ln（x+a）相切，则a的值为（
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
）
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】切点在切线上也在曲线上得到切点坐标满足两方程；
数值是切线斜率得第三个方程．
【解答】解：设切点P（x
0
，y
0
），则y
0
=x
0
+1，y
0
=ln（x
0
+a），
又∵
∴x
0
+a=1
∴y
0
=0，x
0
=﹣1
∴a=2．
故选：B．
【点评】本题考查导数的几何意义，常利用它求曲线的切线
又曲线切点处的导
第9页（共24页）
10．（5分）已知二面角α﹣l﹣β为60°，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的
距离为，Q到α的距离为，则P、Q两点之间距离的最小值为（）
A．1B．2C．D．4
【考点】LQ：平面与平面之间的位置关系．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，连CQ，BD
则∠ACQ=∠PBD=60°，在三角形APQ中将PQ表示出来，再研究其最值即可．
【解答】解：如图
分别作QA⊥α于A，AC⊥l于C，PB⊥β于B，PD⊥l于D，
连CQ，BD则∠ACQ=∠PDB=60°，
又∵
当且仅当AP=0，即点A与点P重合时取最小值．
故选：C．
，
【点评】本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及空间中直线与平面之
间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
第10页（共24页）
11．（5分）函数f（x）的定义域为R，若f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，则
（）
B．f（x）是奇函数
D．f（x+3）是奇函数
A．f（x）是偶函数
C．f（x）=f（x+2）
【考点】3I：奇函数、偶函数．
【专题】16：压轴题．
【分析】首先由奇函数性质求f（x）的周期，然后利用此周期推导选择项．
【解答】解：∵f（x+1）与f（x﹣1）都是奇函数，
∴函数f（x）关于点（1，0）及点（﹣1，0）对称，
∴f（x）+f（2﹣x）=0，f（x）+f（﹣2﹣x）=0，
故有f（2﹣x）=f（﹣2﹣x），
函数f（x）是周期T=[2﹣（﹣2）]=4的周期函数．
∴f（﹣x﹣1+4）=﹣f（x﹣1+4），
f（﹣x+3）=﹣f（x+3），
f（x+3）是奇函数．
故选：D．
【点评】本题主要考查奇函数性质的灵活运用，并考查函数周期的求法．
12．（5分）已知椭圆C：
交C于点B，若
A．
=3
+y=1的右焦点为F，右准线为l，点A∈l，线段AF
，则||=（）
C．D．3
2
B．2
【考点】K4：椭圆的性质．
【专题】11：计算题；16：压轴题．
【分析】过点B作BM⊥x轴于M，设右准线l与x轴的交点为N，根据椭圆的性
质可知FN=1，进而根据，求出BM，AN，进而可得|AF|．
【解答】解：过点B作BM⊥x轴于M，
第11页（共24页）
并设右准线l与x轴的交点为N，易知FN=1．
由题意，
，纵坐标为±故FM=，故B点的横坐标为
即BM=，
故AN=1，
∴
故选：A．
．
【点评】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义，属基础题．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（5分）（x﹣y）
的展开式中，x
y
的系数与x
y
的系数之和等于
107337
﹣240 ．
【考点】DA：二项式定理．
【专题】11：计算题．
【分析】首先要了解二项式定理：（a+b）
rrn0n
n0n01n
﹣
112n
﹣
22rn
﹣
=C
n
ab
+C
n
ab
+C
n
ab
++C
n
a
b
++C
n
ab
，各项的通项公式为：T
r
+
1
=C
n
a
1073
rn
﹣
rr
b
．然后根据题目已知求解即可．
310
﹣
33373
y
（﹣1）
=﹣C
10
xy
，
3
【解答】解：因为（x﹣y）的展开式中含x
y
的项为C
10
x
含x
y
的项为
由
37710
﹣
777737
C
10
xy
（﹣1）
=﹣C
10
xy
．
3773
C
10
=C
10
=120知，xy
与x
y
的系数之和为﹣240．
37
故答案为﹣240．
【点评】此题主要考查二项式定理的应用问题，
第12页（共24页）
对于公式：（a+b）
=C
n
ab
+C
n
a
n0n01n
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考查,直线,方程,利用,本题,分析
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