2024年4月18日发(作者：爸爸的手中数学试卷)
2009 高考全国一卷 文史
2009年普通高等学校夏季招生考试（全国Ⅰ卷）
数学（文史类）
(必修+选修Ⅰ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.
参考公式：
如果事件A、B互斥,那么
P(A+B)=P(A)+P(B)
如果事件A、B相互独立,那么
P(A·B)=P(A)·P(B)
如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概
念
kknk
P
n
(k)=
C
n
p(1p)
(k=0,1,2,…,n)
球的表面积公式
S=4πR
2
其中R表示球的半径
球的体积公式
V
4
3
R
3
第Ⅰ卷
其中R表示球的半径
一、选择题
1.(2009全国卷Ⅰ,文1)sin585°的值为( )
A.
233
2
B. C.
D.
222
2
答案:A
2.(2009全国卷Ⅰ,文2)设集合A=｛4,5,7,9｝,B=｛3,4,7,8,9｝,全集U=A∪B,则集合
的元素共有( )
A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
答案:A
3.(2009全国卷Ⅰ,文3)不等式|
(A∩B)中
x1
|＜1的解集为…( )
x1
A.{x|0＜x＜1}∪{x|x＞1} B.{x|0＜x＜1}
C.{x|-1＜x＜0} D.{x|x＜0}
答案:D
1
,则tan(α+β)=( )
3
7777
A. B.
C. D.
11
111313
4.(2009全国卷Ⅰ,文4)已知tanα=4,
cot
答案:B
1
2009 高考全国一卷 文史
x
2
y
2
5.(2009全国卷Ⅰ,文5)设双曲线
2
2
1
(a＞0,b＞0)的渐近线与抛物线y=x
2
+1相切,则该
ab
双曲线的离心率等于( )
A.
3
B.2 C.
5
D.
6
答案:C
6.(2009全国卷Ⅰ,文6)已知函数
f(x)
的反函数为g(x)=1+2lgx(x＞0),则f(1)+g(1)=( )
A.0 B.1 C.2 D.4
答案:C
7.(2009全国卷Ⅰ,文7)甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从
甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )
A.150种 B.180种 C.300种 D.345种
答案:D
8.(2009全国卷Ⅰ,文8)设非零向量a
、
b
、
c满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
答案:B
9.(2009全国卷Ⅰ,文9)已知三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等,A
1
在底面ABC上
的射影为BC的中点,则异面直线AB与CC
1
所成的角的余弦值为( )
A.
35
7
3
B. C. D.
44
4
4
答案:D
10.(2009全国卷Ⅰ,文10)如果函数y=3cos(2x+φ)的图像关于点(
值为( )
A.
4
,0)中心对称,那么|φ|的最小
3
B. C. D.
6432
答案:A
11.(2009全国卷Ⅰ,文11)已知二面角α-l-β为60°,动点P、Q分别在面α,β内,P到β的距离为
3
,Q到α的距离为
23
,则P、Q两点之间距离的最小值为( )
A.
2
B.2 C.
23
D.4
答案:C
2
2009 高考全国一卷 文史
x
2
y
2
1
的右焦点为F,右准线为l,点A∈l,线段AF12.(2009全国卷Ⅰ,文12)已知椭圆C:
2
交C于点B.若
FA3FB
,则|
AF
|=( )
A.
2
B.2 C.
3
D.3
答案:A
第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中横线上.(注意:在试题卷上作
．．．．．．
答无效)
．．．
13.(2009全国卷Ⅰ,文13)(x-y)
10
的展开式中,x
7
y
3
的系数与x
3
y
7
的系数之和等于__________.
答案:-240
14.(2009全国卷Ⅰ,文14)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
.若S
9
=72,则a
2
+a
4
+a
9
=__________.
答案:24
15.(2009全国卷Ⅰ,文15)已知OA为球O的半径,过OA的中点M且垂直于OA的平面截球面
得到圆M,若圆M的面积为3π,则球O的表面积等于____________.
答案:16π
16.(2009全国卷Ⅰ,文16)若直线m被两平行线l
1
:x-y+1=0与l
2
:x-y+3=0所截得的线段的长为
22
,则m的倾斜角可以是____________.
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是___________.(写出所有正确答案的序号)
答案:①⑤
三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分10分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文17)设等差数列{a
n
}的前n
．．．．．．．．
项和为S
n
,公比是正数的等比数列{b
n
}的前n项和为T
n
,
已知a
1
=1,b
1
=3,a
3
+b
3
=17,T
3
-S
3
=12,求{a
n
},{b
n
}的通项公式.
解:设{a
n
}的公差为d,{b
n
}的公比为q.
由a
3
+b
3
=17得1+2d+3q
2
=17, ①
由T
3
-S
3
=12得q
2
+q-d=4. ②
3
2009 高考全国一卷 文史
由①②及q＞0解得q=2,d=2.
故所求的通项公式为a
n
=2n-1,b
n
=3×2
n-1
.
18.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文18)在△ABC中,内角A、
．．．．．．．．．
B、C的对边长分别为a、b、c.已知a
2
-c
2
=2b,且sinB=4cosAsinC,求b.
解:由余弦定理得a
2
-c
2
=b
2
-2bccosA.
又a
2
-c
2
=2b,b≠0,
所以b=2ccosA+2.①
bsinB
,
csinC
sinB
又由已知得
4cosA
,
sinC
由正弦定理得
所以b=4ccosA.②
故由①②解得b=4.
19.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文19)
．．．．．．．．．
如图,四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为矩形,SD⊥底面ABCD,
AD
侧棱SC上,∠ABM=60°.
2
,DC=SD=2,点M在
(1)证明:M是侧棱SC的中点;
(2)求二面角S-AM-B的大小.
解法一:
(1)作ME∥CD交SD于点E,则ME∥AB,ME⊥平面SAD.
连接AE,则四边形ABME为直角梯形.
作MF⊥AB,垂足为F,则AFME为矩形.
设ME=x,则SE=x,
AEED
2
AD
2
(2x)
2
2
,
MF=AE=
(2x)2
,FB=2-x.
由MF=FB·tan60°,得
2
(2x)
2
23(2x)
,
解得x=1,
4
2009 高考全国一卷 文史
即ME=1,从而
ME
1
DC
.
2
所以M为侧棱SC的中点.
(2)
MBBC
2
MC
2
2
,
又∠ABM=60°,AB=2,
所以△ABM为等边三角形.
又由(1)知M为SC中点,
SM2
,
SA6
,AM=2,
故SA
2
=SM
2
+AM
2
,∠SMA=90°.
取AM中点G,连结BG,取SA中点H,连结GH,则BG⊥AM,GH⊥AM.
由此知∠BGH为二面角S-AM-B的平面角.
连接BH.在△BGH中,
BG
312
AM3
,
GHSM
,
BH
222
AB
2
AH
2
22
,
2
BG
2
GH
2
BH
2
6
所以
cosBGH
.
2•BG•GH3
∴二面角S-AM-B的大小为arccos(
6
).
3
解法二:以D为坐标原点,射线DA为x轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系D—xyz.
设A(
2
,0,0),则B(
2
,2,0),C(0,2,0),S(0,0,2).
(1)设
SM
MC
(λ＞0),则
M(0,
2
222
),
MB
=(
2,
).
,,
1
1
1
1
又
AB
=(0,2,0),〈
MB
,
AB
〉=60°,
故
MB
·
AB
=|
MB
||
AB
|cos60°,
即
42
2
2
2
(2)
2
()()
.
1
1
1
5
2009 高考全国一卷 文史
解得λ=1,即
SMMC
.
所以M为侧棱SC的中点.
(2)由M(0,1,1),A(
2
,0,0),得AM的中点G(
211
,,
).
222
又
GB
=(
231
,,
),
MS
=(0,-1,1),
AM
=(
2
,1,1).
222
GB
·
AM
=0,
MS
·
AM
=0,
所以
GB
⊥
AM
,
MS
⊥
AM
.
因此〈
GB
,
MS
〉等于二面角S-AM-B的平面角,
cos〈
GB
,
MS
〉=
GB•MS
|GB||MS|
6
.
3
6
).
3
所以二面角S-AM-B的大小为arccos(
20.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文)甲、乙二人进行一次
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
20
．．
围棋比赛,约定先胜3局者获得这次比赛的胜利,比赛结束.假设在一局中,甲获胜的概率为0.6,
乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果相互独立.已知前2局中,甲、乙各胜1局.
(1)求再赛2局结束这次比赛的概率;
(2)求甲获得这次比赛胜利的概率.
解:记A
i
表示事件:第i局甲获胜,i=3,4,5.
B
j
表示事件:第j局乙获胜,j=3,4.
(1)记A表示事件:再赛2局结束比赛
A=A
3
·A
4
+B
3
·B
4
.
由于各局比赛结果相互独立,故
P(A)=P(A
3
·A
4
+B
3
·B
4
)=P(A
3
·A
4
)+P(B
3
·B
4
)
=P(A
3
)P(A
4
)+P(B
3
)P(B
4
)
=0.6×0.6+0.4×0.4
=0.52.
(2)记B表示事件:甲获得这次比赛的胜利.
因前两局中,甲、乙各胜一局,故甲获得这次比赛的胜利当且仅当在后面的比赛中,甲先胜2局,
从而B=A
3
·A
4
+B
3
·A
4
·A
5
+A
3
·B
4
·A
5
.
由于各局比赛结果相互独立,故
P(B)=P(A
3
·A
4
)+P(B
3
·A
4
·A
5
)+P(A
3
·B
4
·A
5
)
=P(A
3
)P(A
4
)+P(B
3
)P(A
4
)P(A
5
)+P(A
3
)P(B
4
)P(A
5
)
=0.6×0.6+0.4×0.6×0.6+0.6×0.4×0.6
=0.648.
21.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文21)已知函数
．．．．．．．．．
6
2009 高考全国一卷 文史
f(x)
=x
4
-3x
2
+6.
(1)讨论
f(x)
的单调性;
(2)设点P在曲线y=
f(x)
上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
解:(1)f′(x)=4x
3
-6x=4x·(
x
66
)(
x
).
22
当x∈(-∞,
6
6
)和x∈(0,)时,f′(x)＜0;
2
2
当x∈(
6
6
,0)和x∈(
,+∞)时,f′(x)＞0.
2
2
66
66
)和(0,)上是减函数,
f(x)
在区间(
,0)和(
,+∞)上是
22
22
因此,
f(x)
在区间(-∞,
增函数.
(2)设点P的坐标为(x
0
,f(x
0
)),
由l过原点知,l的方程为y=f′(x
0
)x.
因此f(x
0
)=x
0
f′(x
0
),
即x
0
4
-3x
0
2
+6-x
0
(4x
0
3
-6x
0
)=0,
整理得(x
0
2
+1)(x
0
2
-2)=0.
解得
x
0
2
或
x
0
2
.
因此切线l的方程为
y22x
或
y22x
.
22.(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)(2009全国卷Ⅰ,文22)如图,已知抛物线
．．．．．．．．．
E:y
2
=x与圆M:(x-4)
2
+y
2
=r
2
(r＞0)相交于A、B、C、D四个点.
(1)求r的取值范围;
(2)当四边形ABCD的面积最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标.
解:(1)将y
2
=x代入(x-4)
2
+y
2
=r
2
,
并化简得x
2
-7x+16-r
2
=0.①
E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x
1
、x
2
.
(7)
2
4(16r
2
)0,
由此得
x
1
x
2
70,
2
x
1
x
2
16r0.
7
2009 高考全国一卷 文史
解得
15
2
＜r＜16.
5
15
,4).
2
又r＞0,
所以r的取值范围是(
(2)不妨设E与M的四个交点的坐标为A(x
1
,
x
1
)、B(x
1
,
则直线AC、BD的方程分别为
x
1
)、C(x
2
,
x
2
)、D(x
2
,
x
2
).
yx
1
x
2
x
1
x
2
x
1
•(xx
1
)
,
•(xx
1
)•yx
1
=
x
2
x
1
x
2
x
1
解得点P的坐标为(
x
1
x
2
,0).
设
t
7
x
1
x
2
,由
t16r
2
及(1)知0＜t＜.
2
由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积
S
1
•(2x
1
2x
2
)•|x
2
x
1
|
,
2
则S
2
=(
x
1
x
2
2x
1
x
2
)·［(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
］,
将x
1
+x
2
=7,
x
1
x
2
t
代入上式,并令f(t)=S
2
,得
f(t)=(7+2t)
2
·(7-2t)=-8t
3
-28t
2
+98t+343(0＜t＜
求导数,f′(t)=-24t
2
-56t+98=-2(2t+7)(6t-7).
令f′(t)=0,解得
t
当0＜t＜
当
t
7
).
2
77
,
t
(舍去).
62
7
时,f′(t)＞0;
6
7
时,f′(t)=0;
6
77
当
t
时,f′(t)＜0.
62
7
故当且仅当
t
时,f(t)有最大值,
6
即四边形ABCD的面积最大,
故所求的点P的坐标为(
7
,0).
6
8
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