考研数学一(线性方程组)历年真题试卷汇编1(题后含答案及解析)

2024年3月10日发(作者：江苏大自考大学数学试卷)

考研数学一（线性方程组）历年真题试卷汇编1

(题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． (2011年试题，一)设A=(α1,α2,α3,α4)是4阶矩阵，A*为A的伴随

矩阵，若(1，0，1，0)是方程组Ac=0的一个基础解系，则A*x=0的基础解系可

为( )．

A．α1,α3

B．α1,α2

C．α1,α2，α3

D．α2,α3,α4

正确答案：D

解析：因为Ax=0基础解系含一个线性无关的解向量，所以rA=3，于是

r(A*)=1，故A*x=0基础解系含3个线性无关的解向量，又A*A=｜A｜E=0且

rA=3，所以A的列向量组中含A*x=0的基础解系，因为(1，0，1，0)T是方程

组Ax=0的基础解系，所以α1+α3=0，故α1,α2,α4或α2,α3,α4线性无关，

显然α2,α3,α4为A*x=0的一个基础解系，故选

D． 知识模块：线性方程组

2． (2003年试题，二)设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为

m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；

②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则

秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．以上命题中正确的是

( )．

A．①②

B．①③

C．②④

D．③④

正确答案：B

解析：分析①一④，不难排除掉②，④，因为从系数矩阵的秩的大小关系，

得不出它们的解的关系，而①，③的成立是因线性齐次方程组的解空间的维数与

系数矩阵的秩的关系而得以保证的．设Ax=0的一个基础解系为α1，α2……α

r，而Bx=0的一个基础解系为β1β2……βs，则r=n—rA，s=n一rB，若Ax=0

的解全是Ax=0的解，则α1，…，αr可由β1β2……βS线性表示，即r≤s，

从而rB≤rA，①成立；若Ax=0与Bx=0同解，则r=s，因而有rA=rB，综上，

选

B．齐次线性方程组Ax=0与Bx=0同解的充要条件是A，B的行向量组等

价． 知识模块：线性方程组

3． (2002年试题，二)设有三张不同的平面，其方程分别为ai1x+ai2y+ai3z=bi，

i=1，2，3，它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三

张平面可能的位置关系为( )．

A．

B．

C．

D．

正确答案：B

解析：由题设，记系数矩阵、增广矩阵分别为由于rA=rB=2，所以线性方程

组Ax=b有无穷多解，且相应的齐次方程组Ax=0的解空间维数为1，因此Ax=b

通解形如x=kα+β其中k为任意常数，α是Ax=0的基础解系，β是Ax=b的任

一特解，这说明三个平面的公共点是一直线，因此选

B．以本题为例，一般地，若rA≠rB，则三个平面无交点；若rA=rB=3。则

有唯一交点；若rA=rB=2，则相交于一条直线；若rA=rB=1，则三个平面合． 知

识模块：线性方程组

填空题

4． (2000年试题，一)已知方程组无解，则a=___________.

正确答案：将原方程组增广矩阵化为阶梯形为由于已知方程组无解，则必有

系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，因此只有a2一2a—3=0且a一3≠0才满足要

求，解得a=一1．考点2求齐次线性方程组的基础解系、通解 涉及知识

点：线性方程组

5． (1997年试题，一)设为三阶非零矩阵，且AB=0，则t=___________.

正确答案：由于曰为三阶非零矩阵，且AB=0，设B=(β1，β2，β3)，其

中βi=(i=1，2，3)是列向量，且不全为0，因此AB=0必有非零解，所以｜A｜

=0，即求得t=一3．解析二由AB=0→rA+rB≤3，又rB>0→rA≤2→｜A｜=0→

t=一3 涉及知识点：线性方程组

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

6． (2004年试题，三)设有齐次线性方程组试问a取何值时该方程组有非零

解，并求出其通解．

正确答案：对系数矩阵A进行初等行变换可得当a=0时，rA=1所以原方程

组通解为x=C1ξ1+C2ξ2+…+Cn-1ξn-1，其中C1，C2，…，Cn-1是任意常数．当

a≠0时，系数矩阵A可由初等行变换化为由已知原方程组有非零解，则此时rA=n

一1可求得相应的基础解系为ξ=(1，2，…，n)T，从而原方程组通解为x=Cξ，

其中C为任意常数．解析二由已知原方程组有非零解，则系数行列式｜A｜=0，

即从而a=0或以下分别采用与解析一中相同的初等行变换，可求得相应基础解

系，从而得出通解．

解析：矩阵A的行列式｜A｜可以用特征值之积得到，即因为矩阵B的特

征值为故而矩阵A的特征值为a，a，…，a，a+从而行列式 知识模块：线性方

程组

(2012年试题，三)已知

7． 计算行列式｜A｜；

正确答案： 涉及知识点：线性方程组

8． 当实数a为何值时，方程组Ax=β有无穷多解，并求其通解．

正确答案：设矩阵A的增广矩阵为。则要使方程组Ax=β有无穷多解，必

须有1一a4=0且一a一a2=0，得a=一1．代入得Ax=β的一个特解为x=0的通

解为因此Ax=β的通解为为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

(2010年试题，20)设．已知线性方程组Ax=b存在两个不同解

9． 求λ，α；

正确答案：已知线性方程组Ax=b存在两个不同的解，则rA=r(A，b)=2，则

λ=1或一1．当λ=1时，rA=1≠r(A，b)=2，此时线性方程组Ax=b无解，排除．当

λ=一1时,因为rA=r(A，b)=2，所以a+2=0，即a=一2．综上知，λ=一1，a=

一2． 涉及知识点：线性方程组

10． 求Ax=b的通解．

正确答案：因故原方程组等价为令x3=0时,，则所以线性方程组Ax=b的通

解为其中k为任意常数． 涉及知识点：线性方程组

(2009年试题。20)设

11． 求满足Aξ2=ξ3，A2ξ3=ξ1的所有向量ξ2，ξ3；

正确答案：因为所以rA=2．故方程组Aξ2=ξ1有一个自由变量，令x3=2，

由Ax=0可解得x2=一1，x1=1．求特解：令x1=x2=0，得x3=1．故有其中k1

为任意常数．又则r(A2)=1．故方程组A2ξ3=ξ1有两个自由变量．令x=一1，

由A2x=0得x=1，x3=0；令x2=0，则有x1=0，x3=1．求特解：令x2=x3=0，得

x1=．故最终得到其中k2，k3为任意常数 涉及知识点：线性方程组

12． 对(I)中的任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3，线性无关．

正确答案：证明：由(I)可得又ξ1=(一1，1，一2)T，则故可知ξ1，ξ2，

ξ3线性无关，命题得证． 涉及知识点：线性方程组

(2008年试题,21)设n元线性方程组Ax=b，其中

13． 证明行列式｜A｜=(n+1)an；

正确答案：利用行列式性质，有 涉及知识点：线性方程组

14． a为何值，方程组有唯一解?求x1；

正确答案：若使方程组Ax=b有唯一解，则｜A｜=(n+1)an≠0，即a≠0．则

由克莱姆法则得 涉及知识点：线性方程组

15． a为何值，方程组有无穷多解?求通解．

正确答案：若使方程组Ax=b有无穷多解，则｜A｜=(n+1)an=0，即a=0．把

a=0代入到矩阵A中，显然有r(A｜B)=rA=n—1，方程组有一个基础解向量．取

自由未知量x1=1，得到它的基础解系为k(1，0，0，…，0)T(k为任意常数)；代

入a=0后方程组化为特解取为(0，1，0，…，0)T，则方程组Ax=b的通解为k(1，

0，0，…，0)T+(0，1，0，…，0)T其中k为任意常数．

解析：本题的第(I)问亦可采用数学归纳法来证明：当n=1时，｜A｜=｜2a｜

=2a，结论成立；当n=2时,结论也成立；假设n=k一1时，命题亦成立，即有｜

A｜k-2=(k一1)ak-2，｜A｜k-1=kak-1，当n=k时，将｜A｜k按第一行展开得：｜

A｜k=2a｜A｜k-1一a2｜A｜一2=-1一a2.(k一1)ak-2=(k+1)ak即结论仍

成立．故而知原命正确，即有｜A｜=(n+1)an． 知识模块：线性方程组

(2006年试题，20)已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．

16． 证明方程组系数矩阵A的秩rA=2；

正确答案：用线性相关性判断秩的方法．设α1，α2，α3，是非齐次方程

组的3个线性无关的解，则a1一a2，a1—a3是Ax=0线性无关的解，所以n—

rA≥2，即rA≤2．显然矩阵A中有2阶子式不为0．又因为rA≥2，所以秩

rA=2． 涉及知识点：线性方程组

17． 求a，b的值及方程组的通解．

正确答案：对增广矩阵作初等行交换，有由rA==2推出s=2，b=一3．又因

为a=(2，一3，0，0)T是Ax=b的解η1=(一2，1，1，0)T，η2=(4，一5，0，