考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)

2024年3月10日发(作者：人教版高二理科数学试卷)

考研数学三解答题专项强化真题试卷38

(题后含答案及解析)

题型有：1.

1．

正确答案：

2． 设矩阵A＝且A3＝0． (I)求a的值； (Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2

一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．

正确答案：解 (I)由于A3＝0，所以 于是a＝0 (Ⅱ)由于 X－

XA2－AX＋AXA2＝E 所以 (E－A)X(E－A2)＝E由(I)知 因为E

－A，E－A2均可逆，所以 X＝(E－A)－1(E－A2)－1

3． (13年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，

Vχ，Uy分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vχ，

求a的值．

正确答案： 由Vy＝10Vχ，即，解得a＝7 涉及知识点：微积分

4． (09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线

y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所

得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．

正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ 曲边梯形的面积

为S＝∫1tf(χ)dχ 由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ 即∫

1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ 上式两端对t求导得 f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t)

(*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝

f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知

f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝． 则所求曲线方程为2y＋－3

χ＝0． 涉及知识点：微积分

5． (88年)设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y＝

e2X的概率密度f(y)．

正确答案：X的概率密度为：fX(χ)＝ 而Y的分布函数FY(y)＝P{Y≤

y}＝P{e2X≤y}． 由X的取值范围，可见 当y≤0时，FY(y)＝0，∴f(y)

＝F′Y(y)＝0； 当y＞0时，FY(y)＝P{2X≤lny}＝P{X≤lny}＝fx(χ)dχ，

故得f(y)＝ 涉及知识点：概率论与数理统计

6． (2017年)求极限

正确答案：先对变上限积分作变量代换u=x—t，得则由洛必达法则可知

涉及知识点：微积分

7． 求曲线y=e—xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积．

正确答案：要计算S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx，首先要计算∫e—xsinxdx=e—

x(cosx+sinx)+C，当k=0，2，4，6，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，当k=1，

3，5，7，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx==．

[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球．现在有放回地从袋中取

两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数．

8． 求P(X=1|Z=0)；

正确答案：解一 P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球)，该事件包括下述几

种情况(考虑取球的次序)：{X=1，Y=1}={第一次取到一红球，第二次取到一黑

球}+{第一次取到一黑球，第二次取到一红球}，共有C11C21+C21C11=4种取法；

{X=2，Y=0}={第一次取到一红球，第二次取到一红球}，共有C11C11=1种取法；

{X=0，Y=2}={第一次取到一黑球，第二次取到一黑球}，共有C11C21=4种取

法． 由命题3．3．1．2知，两次取球有放回，每次取一个，取两次的样本

空间Ω共含有nm=62个样本点，故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)

／62=9／36=1／4，又 P(X=1，Z=0)=P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1

／9． 故 P(X=1|Z=0)=P(X=1，Z=0)／P(Z=0)=(1／9)／(1／4)=4／9． 解二

P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下，取到一次红球)，也可利用缩减样本空

间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)／32=4／9． 注：命题3．3．1．2 从

n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本

空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个

的允许重复的排列的种数为nm． 涉及知识点：概率论与数理统计

9． 求二维随机变量(X，Y)的概率分布．

正确答案：X，Y的可能取值为0，1，2，利用命题3．3．1．2得到 P(X=0，

Y=0)=P(Z=2)=C31C31／62=9／36=1／4， P(X=0，Y=1)=P(Y=1，

Z=1)=(C21C31+C31C21)／62=1／3， P(X=0，Y=2)=(C10C21+C21C10)／62=1

／9， P(X=1，Y=0)=P(X=1，Z=1)=(C11C31+C31C11)／62=1／6， P(X=1，

Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9， P(X=1，Y=2)=P(X=2，Y=1)=P(X=2，

Y=2)=0． P(X=2，Y=0)=(C11C11)／62=1／36， 故二维随机变量(X，Y)的

概率分布如下： 注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计

序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共

含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为

nm． 涉及知识点：概率论与数理统计