同济高数(第七版)--第七章

2023年12月17日发(作者：吕梁小升初数学试卷真题)

第七章：微分方程第一类：（可分离变量型——包括一阶齐次线性微分方程）方程可以化为f(x)dxg(y)dy形式，用分离变量微分法；第二类：（非线性齐次型）方程可以化为dyyy()的形式，用u替换法；dxxxdx一种较特殊的方程dyaxbyc（*）在不同情况下可经过不同的变化来属于第一、二类a1xb1yc1微分方程1.cc10时，dyaxbydxa1xb1y2.cc10时，首先考虑ayx(y)属于第二类微分方程；yxa1b1xabba1b1（&）成不成立；构造分子、分母，来使得新形新（1）不成立：根据此时的（*）并不属于第二类，可以重成的常数都为零，为了计算简这样就确保了dxdX、dydY，故dYdyaxbycdXdx便，引入的新参数必须与x、y齐次,故设xXm、yYn，aXbYambnca1Xb1Ya1mb1nc1a1xb1yc1，为了使这个式子属于第二类微分方程，则必须像1.一样，常数都为零，即ambnca1mb1nc10（），因为（&）不成立，所以ba1ab10，故可解得ac1ca1nba1ab1，则此时就有dYdydXdxmcb1bc1ba1ab1YaxbycaXbYX(Y)，属于第二类微Xa1xb1yc1a1Xb1Ya1b1YXab分方程；（2）成立：由（1）中叙述可知，当（&）式成立时，方程组（）无解，则（2）中的方法不可行，故考虑整体替换，即设ab，dyaxbyc(a1xb1y)c，再令a1b1dxa1xb1yc1a1xb1yc1dudydxa1ucduuc1ua1xb1y，此时b1a1dxuc1dxuc1g(u)b1f(x)dxg(u)du（f(x)1），属于属于第一类微分方程；第三类：（可降阶微分型）1.yf(x,y)型[y的二阶微分方程中不含y型]，用yp替换法；2.yf(y,y)型[y的二阶微分方程中不含x型]，用yp替换法；第四类：（一阶非齐次线性微分型）方程可化为dyp(x)yQ(x)的形式，用背公式或者常数变易法；dx公式：一阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y=CQ(x)ep(x)dxdxp(x)dxe【背诵口诀：C+Q(X)积分含e的P(x)积分方，再除以e的P(x)积分方】；常数变易法：第一步：先求一阶齐次微分方程（即一阶非齐次微分方程右端为零时的方程）的通解（运用第一类微分方程的解法）；第二步：令第一步求得的通解中的常数C为u，求出y；第三步：将第二步得到的y代入一阶非齐次微分方程中得到一个关系式（只引入了一个y参数u，一个关系式足矣），消掉y、y后（第一、二步都是为这个消掉y、y做准备），解得u，再利用积分求得u；第四步：将u代入第二步替换后的通解中，即求得一阶非齐次微分方程的通解；一种较特殊的方程dyp(x)yQ(x)yn（伯努力方程）（*）在不同情况下可经过不同的变化来dx属于第一、四类微分方程1.当n=1时,dydyp(x)yQ(x)y[Q(x)p(x)]dx，属于第一类微分方程；dxydx2.当n=0时，dyp(x)yQ(x)，属于第四类微分方程；3.当n0,1时，方程变形得yndyp(x)y1nQ(x)，令(1n)yndydzdz(1n)yndyzy1nC，dxdxdx取zy1n，则有yndydxdzdx(1n)代入dynp(x)yQ(x)ydx后变形得dz(1n)p(x)z(1n)Q(x)dx，令(1n)p(x)p2(x)，(1n)Q(x)Q2(x)dzdxp2(x)zQ2(x)，属于第四类微分方程；第五类：（二阶非齐次线性微分型）方程可化为yp(x)yQ(x)yf(x)的形式，用背公式或者常数变易法(过程与第四类中的常数变易法类似)--------用【已知“齐通找非齐特”，或者“已知齐一特”法】；公式：对于二阶非齐次线性微分方程的通解（简称“非通”）y等于该非齐次方程对应的齐次方程的通解加上该非齐次方程的一个特解，即非通-非特=齐通【容易证明，对于n阶非齐次线性微分方程都有这个结论】常数变易法：第一步：已知二阶齐次微分方程（即二阶非齐次微分方程右端为零时的方程——第六类方程）的通解；第二步：令第一步求得的通解中的常数C1、C2分别为u1,u2，求出y、y；y第三步：将第二步得到的y代入二阶非齐次微分方程中得到一个关系式（两个引入参y数u1,u2，一个关系式不够，还需要得到一个关系式，而且得到的这个关系式为了求出u1,u2，故为了最简单地求解出这两个参数，就不允许在y中出现u1,u2，而又因为u1,u2均不为常数，故在y定会出现u1,u2，而要划线部分同时成立，则必须在y中将u1,u2抵消掉，而yu1y1u2y2u1y1u2y2，故令u1y1u2y20，为了更方便的求解，所以需要得到更简单的式，所以将式在第二步中就运用，这样得到的式为u1y1u2y2，再利用积分求得u1,u2；f(x)，联立就可解得u1,u2）第四步：将u1,u2代入第二步替换后的通解中，即求得二阶非齐次微分方程的通解。注：1.可以证明上述方法对于n阶非齐次微分方程都可对照着实用；2.n个引入参数，就需要得到n个关系式，并且要按照最简单的求解出这n个参数的规则（仿照上面划线部分）来列关系式；第六类：（二阶齐次线性微分型）方程可化为yp(x)yQ(x)y0的形式，用“已知特解”法（简称“齐特”）1.已知两个特解：二阶线性齐次微分方程的通解yc1y1c2y2中的y1与y2必须是“线性无关（比值不为常数）”的两个特解【即齐通=C1齐特+C2齐特，可以证明：对于n阶齐次线性微分方程，有齐通=C1齐特+C2齐特+无关”】Cn齐特，并且这些特解任意两个都“线性证明：若y1是二阶齐次微分方程yp(x)yQ(x)y0的1个特解，假设y1与y2线性相关，即y2Cy1（C为常数），故因为常数可以提公因式，故将y2Cy1代入中后就有一个结论：【设f(x,y)yp(x)yQ(x)y，故f(x,y1)y1p(x)y1Q(x)y10，则f(x,y2)y2p(x)y2Q(x)y2f(x,Cy1)(Cy1)p(x)(Cy1)Q(x)Cy1C(y1p(x)y1Q(x)y1)Cf(x,y1)0，】通过上式就可以看出，无论C为何值，只要y1与y2线性相关，那么y2就一定是的解，但是通过上式看到常数C根本未起到任何作用（即无论有没有常数C，代入的都相当于y1），那么y2之所以是的解，全因为y1是的特解，而二阶齐次微分方程的两个特解（实际上，n阶齐次微分方程有n个特解）一般是线性无关的，下面举一个例子来说明这种情况：例如：yy0，设ypypdpdpdydpdpypdxdydxdydydycy2，故pdpydyp2Cy，故2dy2pcydxdx，故解得yCsinx或者yCcosx，令C=1，得到该方程的两个特解，发现这两个特解是线性无关的，假设y1就是这两个特解中的一个，且出，代入的实际上是y1sinx，很显然y2Cy1代入方程中恒成立（因为常数被提，而显然此时y2不是方程的通解，因为这个解中并不包括y1）yCcosx那一部分，即无论C有多少个取值，它都只是在y1的基础上变化，另一个特解的那一部分永远不会被包括进去，故y1与（例如A{y1,c1y1cny1}，y2一定是来自于两部分，这两部分A中全是与B{y2,c1y2cny2}）y1线性相关的解，B中全是与y2线性相关的y1与y2一定是该方程的两个线解，但是A中的任意一个解与B中的任意一个解都呈线性无关。综合上述：二阶线性微分方程的通解yc1y1c2y2，其中性无关的特解（即来自于两部分）2.已知一个不恒为零的特解：设二阶齐次线性微分方程yp(x)yQ(x)y0的一个不恒为零的特解y1，即y1p(x)y1Q(x)y10，设yuy1，故yuy1uy1，2y1P(x))u0，yuy12uy1uy1，将代入yp(x)yQ(x)y0得u(y12令y1P(x)(x)，故变形为u(x)u0，属于第四类微分方程中的1.；y1【注意：若用yuy1来表示二阶齐次线性微分方程的通解，则yuy1C1y1C2y2（其中，变形得y(uC1)y，因为y1与y2一定是y1与y2一定是该方程的两个线性无关的特解）21C2两个线性无关的特解，故y2必定不为常数，故u一定不为常数，而且因为y1不恒为零，所y1以y2也不恒为零，这样两个特解也就来自不同的两部分，即线性无关】**********【注意：将yp(x)yQ(x)y0的右端换成f(x)，即写成该齐次方程对应的非齐次方程，得到的式就为u(2y1y1P(x))uf(x)，令2y1P(x)(x)，故变形为y1u(x)u0，仍然属于第四类微分方程中的1.；但是这样得到的yuy就表示为该非齐1次线性方程的通解】第七类：（常系数齐次线性微分型）方程可化为ypyqy0的形式（p,q均为常数），用“特征方程求根”法【分析：因为指数函数就有一个各阶导数之间只相差一个常数因子，故可以设该方程的为指数函数形式，即yerx，r为常数】解：设ypyqy0对应的根为yerx，将根代入方程得r2prq0，设方程的两根分别为r1,r21.当0时，r1r2,此时方程的两个特解y2e(r2r1)x，因为r1r2，故y2C这样得到的y1y1y1，y2就为两个线性无关的特解，这样就满足已知两个线性无关特解的情况；2.而当0时，有r1r2，故y1C，这样的两个特解线性相关，即属于同一部y2分，故不能满足该常系数齐次线性微分方程的“已知两个线性无关特解的情况”通解公式，故可以运用“已知一个特解”的方法，即设yuy1，（u不能为常数）代入该方程中化简得u0，故uC1uC1xC，故满足u不为常数的条件，故yuy1C1xy1Cy1(CC1x)y1，就能表示该方程的通解；3.而当0时，这两个根都为复数，设r111ir222i，故r1r2(12)(12)ip[常数]，故(12)0，即12，r1r2(1212)(1212)iq[常数]，故(1212)0，代入得12r111，故两个根为共轭复数，设1，联立得，故(0)i1r211ip122，r1r2(1212)2qq2p24，故ye(i)xex(cosxisinx)1，易得两个特解线性无关，故代入yC1y1C2y2得(i)xx(cosxisinx)ey2eyex[(C1C2)cosx(C1C2)isinx]，故式子中的C1C2C1（后一个C1表示一个新常数），而且注意(C1-C2)i中为常数与一个与X无关的虚数（i21，因为它的值与X无关，故也可以看作常数）的乘积，故可以等价为一个新常数，即(C1C2)iC2，故yex(C1cosxC2sinx)可以证明上面的结论对于n阶常系数齐次线性微分方程都实用，并且注意到n阶方程对应n个根，这样的表达式中就会出现n项。注意：对于n阶方程的n重实根，则列出n项，即yer1(C1C2xCnxn1)；但是对于出现n阶方程的n重复数根，则列出2n项，例如：r1,2i,r3,4i，出现了两个重复根，故需要列出4项，任取两个共轭复根，列出的通解y1C1cosxC2sinx，但是若剩下的两个复根也列出通解，则会得到两个的通解线性相关，这就相当于只列出了一部分，而且因为线性相关，故可以合并成两项，与需要列出4项矛盾，所以这样得到的结果明显是错误的，此时就需要令yuy1，通过上面2.的分析，得到该方程的通解为4项任意两项的关yuy1(C1xC)y1(C1xC2)cosx(C3xC4)sinx，这样得到的系都为线性无关第八类：（常系数非齐次线性微分型）方程可化为ypyqyf(x)的形式（p,q均为常数），用“已知齐通求非特”法1.f(x)expm(x)型pm(x)为最高为m次方的多项式，这个方程的特解y*xkRm(x)ex，Rm(x)与pm(x)同为最高为m次方的多项式，k等于在“该方程对应的齐次方程的特征方程的根”中出现的次数，根重复也要重复计入次数。2.f(x)ex[pl(x)cosxQn(x)sinx]型pl(x)、Qn(x)分别为最高次方为l,n的多项式,运用欧拉公式将f(x)ex[pl(x)cosxQn(x)sinx]变形为f(x)G(x)e(i)xGe(i)x，（G(x)plQn22i，G(x)plQn22i）