2023年12月17日发(作者：武汉小学数学试卷)
可编辑
y
2
D2
-1
O
i T
-2
图
10 -
1
数，故
/, =
Jj( x2 + y1)
3d(j =
2jj(
x2
+ y1)
3dcr.
fh i)i
又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故 jj(
x2
+
j2 )
3dcr =
2j(
x2 +
y2
)
3
da
=
2/2.
Dy 1)：
从而得
/, = 4/2.
(2)
-f(x,y) ,PJ
利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：
如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即
fix, -y) =
jf/(x,y)da =
0；
D
如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即
/( ~x,y) = -/(太，y)，则
=
0.
D
«3.利用二重积分定义证明：
(1 ) jj da =
IJ
(其中(7为的面积)；
(2)
JJ/c/(
X ,y) drr =
Aj|y’(
A:，y)
do■(其中
A：为常数)；
o n
(3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)欢迎下载，精选文档 可编辑
2，，A 为两个
I) b lh
尤公共内点的WK域.
证(丨)由于被枳函数./U,y) = 1 ,故山二t积分定义得
n \"
jj\'ltr = Hm y^/( ,rji) A =lim cr = a. A—0 n (1) Ji/( x,j) (Ic7 = lim ^ 1 i) n =A lim y/(^( ,i7, )A(7-, =k f{x,y)Aa. A-° 台 •{! (2) 因为函数/U，y)在闭区域/)上可积，故不论把£»怎样分割，积分和的极限总 是不变的.因此在分割D时,可以使和/)2的公共边界永远是一条分割线.这样fix.y) 在A UD2上的积分和就等于&上的积分和加D2上的积分和，记为 ^/(^, ,17,) ACT, = ^/( ^, , 17,) ACT, + ^/(^, ,17,) ACT,. /)(U0, \", l)： 令所有的直径的最大值A-0,上式两端同时取极限，即得 J f(x,y)ia p,un} = jjf(x,y)da + JJ/(xfy)da. V, n； Sa4.试确定积分区域/)，使二重积分][(1 -2x2 - y2)d«ly达到最大值. I) 解由二重积分的性质可知，当积分区域/＞包含了所有使被积函数1 -2.v2 - V2 大于等于零的点，而不包含使被积函数1 -2/ -y2小于零的点，即当£»是椭圆2/ + y2 = l所围的平面闭区域时，此二重积分的值达到最大. & 5.根据二重积分的性质，比较下列积分的大小： (1) Ju+y)2山7与J[U，其中积分区域D是由x轴、^轴与直线A +.、= D I) 1所围成； (2) J(x +7)2如与■，其中积分区域0是由圆周(.r-2)2 +(.v-l)2 = t) n 2所围成； ( 3 ) I\'m A； + y) (lor与!\"[ In( X + y) ] 2(1(7，其中Z＞是三角形闭K域，三顶点分别为 l) \" (1，0)，(1，1)，(2,0); (3) Jpn(:r + y) dcr 与In(:t + y) ] 2fW，其中 /) = | (.r ,.v) | 3 ，0彡、彡 1 . i) i)欢迎下载，精选文档 可编辑 解(1)在积分K域0上，故有 (x + j) 3 ^ (x + y) 2. 根据二重积分的性质4，可得 0 J(.r + y) lrx ^ J (. + v) D 欢迎下载，精选文档 可编辑 由于积分区域0位于半平面| (A:，V) | .V + •、彡1 1内，故在/)|:& (.f + y) 2彡(A + y) 3 •从『(\"• J( v + ＞ )：drr ^ jj ( x + y) lfr.欢迎下载，精选文档 可编辑 (1) 由于积分区域D位于条形区域1 U，y) | 1彡1+7彡2丨内，故知区域/)上的 点满足0彡InU+y)彡1，从而有[lnU+y)]2彡lnU+.y).因此 jj[ ln( a: + y) ] 2(Jo- ^ (2) + y)d 由于积分区域/)位于半平面丨(x，y) | .v+y彡e|内，故在Z)上有ln(x+y)彡 1，从而：In (-v + )\') ] 2彡 In (:c + )\').因此 Jj^ 1 n(.r + y) ] 2dcr ^ Jln( x + y) da. i) 3 6.利用二重积分的性质估计下列积分的值： (1) / = |^7(文+7)心，其中/)= (x ,y) n a 1,0 1|； ( 2 ) / = j^sin^sin^do■，其中 /) = j ( A: ,y) | 0 ^ ^ ^ TT ,0 ^ y ^ TT 1 ; i) (3) / = J*(A：+y + l)d(7,其中 />= { {x,y) |0^x^l,0^j^2[； it (4) / = J(x2 + 4y2 +9)do•，其中 D = {x,y) x2 + y2 ^ 4 |. I) 解 (1)在积分区域D上，0矣;<:矣1 ,0英y矣1 ,从而0矣巧•(*+y)矣2•又£»的面 积等于1,因此 ( 2 )在积分区域/)上，0矣sin J:矣1 ,0 ^ sin 1，从而0彡sin2A：sin2y彡1，又0的 面积等于TT2,W此 (3) 在积分K域\"上有^x+y + «4,/)的而积等于2,因此 (4) W为在积分K域/>»上有0矣;t2 +y2苳4,所以有 9 ^ + 4r2 +9 ^ 4( x2 + y2) + 9矣25. 34 I)的酣枳等于4TT，W此 36 TT ^ [[(x2 +4/ + 9) (Ur ^ lOO-ir.欢迎下载，精选文档 可编辑 二重积分的计算法 .^1.计算下列二甩积分:欢迎下载，精选文档 2x232232 -x 2222 于区是域 . 4()l)可用不等dx 33xyy]l~dx = |2 线+ +2x 2 .) 围dx 2 Ddi 20 m| A(1 : COSl<3(xJC十 + 2y)) ( ;式da+xdcr 表3=4x，- 示 IyV其 为+ )中 ycosd(T \" )是.vda cos(.v由 +f =-两dxf —d坐> rus + 标(( 文Xv轴 ) 及 -h+直TT V3. (r)4 - dXv - V +、 v- 、= )x2ch听成的j 闭区域； +x y + v\"= JC 不等式表d I b TT. rTfh 卜( [0 sin (.t + y ), ] Q = J V( sin 2.v - sin .v ) ^ V ^ A： 0 (^) ^.t ^ 7T. 示为 X 3J2( 3 J jj( x + 3x + v ) da，其中 D = ( x , v) 0 ^ A: ^ 1 .0 ^ v ^ 1 ； r可编辑 <1 x x(( cos .v —丄(.<，s 2.v) ( 4 ) jjxcas( X + Y j do■，其中Z>是顶点分别为( 0 .0 j < 77 ,0 )和( 77 , 77 )的三角形闭 & 2. _出枳分ix:域，斤i卜r): v列m分:u 1X(- 欢迎下载，精选文档 可编辑 (2) J^^do■，其中/)是由两条抛物线7 = v^,y = *2所围成的闭区域； D (3) jfxy2dcr,其中D是由圆周x2 + J2 = 4及y轴所围成的右半闭区域； I) ( 3 ) JV + \'dcr，其中 /) = I (%，)•)| | A； | + | J | ^ 1 !； D x2^y^J^, 0矣x矣 1(图 10-2). (4) |\"U2 +/ -x) D是由直线y :l、y二xh : 2*所围成的闭区域. 解(1)0可用不等式表示为 于是 (4) D可用不等式表示为 0 « ^ ^ /4 - y , 10 -3), 2-2矣7矣2(图 (3)如阁 I () - 4，W = / U \"2，其中 />1 = (x,y)-x- ^y^Jc + 1,-1 ^a;^0|, I)2 = (x ,y) |*-1 因此+ 欢迎下载，精选文档 可编辑 Ea3.如果二重积分|/( .r,y)心办的被积函数/( x，v)是两个函数/] ( O及)的乘 n 积，即/(X，y) = f(x) ./“y)，积分区域/) = { (.V, y) I (1 ^ V ^ />, r ^ 这个二重积分等于两个单积分的乘枳，即 |*/|U) -/2(r) flatly = [ J/, (.v)(l.v] - [ [/：( > )^v]- ,证叫 证 Jj./1 ( x ) • .,2 ( / ) dvd V ~ J [ f J ( v) ■ ./： t ^] l^x* 在上式右端的第一次单枳分f/, (.V) • /2 (.V) d v中,./, ( A.) 1J fu 欢迎下载，精选文档 可编辑 t变招:、无关，nn见为 常数提到积分5外，W此上式“端笏T欢迎下载，精选文档 可编辑 而在这个积分中，由于f/2 (y) d y为常数，故又可提到积分号外，从而得到 • f2<,y)^xAy= [| /2(y)dj] - [ Jn/, (x)dx] 证毕. ^4.化二重积分 / = Jf(x，y)da I) 为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分)，其中积分区域£>是: (1) 由直线及抛物线y2 =4x所围成的闭区域； (2) 由x轴及半圆周/ +y2 =r2(y英0)所围成的闭区域； (3) 由直线y =x，；c = 2及双曲线：K = ^-(*>0)所围成的闭区域； X (4) 环形闭区域 IU，y) | 1 +y2^4(. 解(1)直线y=x及抛物线y2 =4;c的交点为(0,0)和(4,4)(图10-6).于是 fix f(x,y)dy, / = j[ dy^/(*，y)tk. (1) 将/)用不等式表示\'fyO^y^r2 -x2，- r ^ W /•，于是可将/化为如下的先 对y、后对*的二次积分： / = J (1文J r f(x ,y)(y； 如将0叫不等式表示为~Vr2 -y2^x^Vr2 - y2 ,0各/•，则可将/化为如卜的 先对*、后对y的二次枳分：欢迎下载，精选文档 (3)如图 10-7. x,y) dx. dr :条边界曲线两两相交，先求得3个交点为(1 ,1 )，2,y和 可编辑 (2,2).于是 | dxj[f(x,y)dy. 注本题说明，将二重积分化为二次积分时，需注意根据积分区域的边界曲线 的情dy (i_/(^,y) dx. + tlj /( x ,y) 况，选取恰当的积分次序.本题中的积分区域/)的上、下边界曲线均分别由—个 方程给出，而左边界曲线却分为两段，由两个不同的方程给出，在这种情况下采取先 对y、后对^的积分次序比较有利，这样只需做一个二次积分，而如果采用相反的枳 分次序则需计算两个二次积分. 需要指出，选择积分次序时，还需考虑被积函数/U , y)的特点.具体例子n]\'见教 材下册第144页上的例2. • 4 dx (1% Jx yy)dy + ■ y 2/(A：,y)clr + A -x /(.r,v)d> -f /T /(.v Vv) dv. /(.v,v)d.v -f -v^ W\" .4 -、 /( , > ) d.v -f 厂、/4 -、•\' •I /( v , y) (l.. (4)将D按图10 - 8( a)和图10 - 8( 1>)的两种不同方式則分为4块，分別得欢迎下载，精选文档 可编辑 x ,r) 图 10 -8 ,5.设/U，Y）在D上连续，其中/）是由直线;= 域，证明 dx| f(x,y)Ay = 所围成的闭区 证等式两端的二次积分均等于二重积分J/U, y） d o•，因而它们相等. I） ^6.改换下列二次积分的积分次序： 解（丨）所给二次积分等于二重积分J[/U，;K）（^，其中o =丨h，y） 1° ^ ^ ^ 广2 (2) J) dj|： f(x,y)dx； f yix -x 2(4) | 叫2 f{x,y)dy-, fix /-sin x (5) (lx f{x,y)Ay r- (6) I Ax J(x,y)Ay. JO J - siny \" ^ I | （罔 10 - 9）,于是 0 ^ j ^ I （. /> n|■改写为 | Uj） | * 矣 y 矣 1，0 ^ 原式=丄 (3) 0 所给一.次枳分等于二\'Ti积分 |/U,y)山，.K:中 /) = I |.y2 ^ ^ < 2y, 0 ^21. M I) njm为{u’y) I 音矣 j ^ 7^,0 ^ x 在4)( 1冬1 1(> - I0)，W此 原式=J, ixjy/(x,y)iy.欢迎下载，精选文档 可编辑 -y ^ .V ^ 21 (4) 所给二次积分等于二重积分.其中D = : (.v.v) | - V 1 U X ^ J1 - y2 ,0$、飞 V彡1 彡 >•彡 1 ; •又 D 可表示为：(JC，)*)丨0彡 y 彡 V 1 - .r2 , - 1 = (图f 1 f V1 -X~ 10 -11)，因此 原式=J ^ dxj /(x, v)dy. (5) 所给二次积分等于二重积分其中D = : (.v.v) \' 2 - h s/lx - x1 % 彡.r 彡2 :.又 D 可表示为：(A:,V) | 2 - 1彡.t•彡 1 + Y 1 — v2,0 : (图 10 -12)，故 原式=丄 d)j f(x %y)dx. 所给二次积分等于二重积分］|/(.10 )(1^,)1:中/)= 1(.v.v) | 0 ^ v ^ I) (6) x彡e | •又/)可表示为| ( A:，＞•) | e、彡A•彡e，0彡、彡1 i ( |劄10 - 1,故 原式=L (I.、| ,./X .、，.、) (l.v. 欢迎下载，精选文档 可编辑 m 1()-14,将积分|><:域/)丧示为 /), U/)2，其中 A), = j U，、)| arcsin > ^欢迎下载，精选文档 广0 1 rir - arcsin > TT - arcsin y，彡 y 彡 1 | 1y) 原 式 ,D2 = | (.r, 可编辑 =I y)cx f(xydy/(x,y)dx. y JO Jarcsin ) 一 2arcsin 是 , 一1 彡)\'彡0|.于 ^7.设平面薄片所占的闭区域D由直线;t /x(.t,v) = x2 +y2,求该薄片的质量. 解 D如图10-15所示.所求薄片的质 M = jJ/Lt( x 9y) dcr = ^ dyj ( x2 + y2 ) dx = 2，y = 和;r轴所围成，它的面密度 rt -x + xy dr Ay r[+(2”)3+2, 12 | 冬| 10 - 15 8. i |灯|l|四个平而A： = 0，y = 0，;t = I，v = I所闲成的柱休被平面z = 0及2.r + 3y + z 6藏得的立休的体积.Y = sin Ac) \'\'i x E | o»• 的反闲数足A = iirrs» y- -1 x M(子•中，TT TT - iin-Hin 足ih y - Hin x = sin ( TT - x) \"n!J TT - x ^ arcKin y,从ifii得反~d 闲数 ^ y. 欢迎下载，精选文档 可编辑 解 江力一 EJ .它？？芪是；c0:. S二苎泛7：省•。= -2x-3:. F 10 - ]6 . g -护不二歹 X.；, 0矣二矣 0^；. €1 .了是芒 l = |( 6 - 2J： - 3;. dxdv = dx 6 - lx - 5 •. d\'. Sa9.求由平面a: =0,y = 0,^ +:，• = ］所围成的柱体被平面z = 0及拉物面;c:，:.： =6 - : £. 得的」/.体的体积. 解此立体为一曲顶柱体，它的底是xOv面上的闭区域D= ，顶是曲面 Z=f)- 广1 . 0 «^ 1 -：，. dx^ ( 6 - x~ 广1 -戈 V - (I 6 - ^ x + y ) dx(y 222H.r1_ 6 ( 1 - x ) - x + ——f 1 6\"* 10-17 m 10 - 18 欢迎下载，精选文档 可编辑 这10.求由曲面+ 2/及z=6-2x2 _y2所围成的立体的体积. _ 2^2 = T +}解由\'\' 消去z,得;c2 +y2 = 2,故所求立体在面上的投影 U = 6 - 2x2 - j2 区域为 D = | (x,y) | x2 + 〆矣2| (图 10 - 18). 所求立体的体积等于两个曲顶柱体体积的差： V = l) ( 6 - 2x2 - y2 ) dcr — x2 + 2y2 ) dcr I) =JJ(6 - 3^r2 - 3y2 ) da = jj( 6 - 3p2 )pdpd0 /-2TT d0[ (6 - 3p2 )pdp = 6TT. 注求类似于第8,9,10题中这样的立体体积时，并不一定要画出立体的准确 图形，但一定要会求出立体在坐标面上的投影区域，并知道立体的底和顶的方程，这 就需要复习和掌握第八章中学过的空间解析几何的有关知识• y 11.両出积分区域，把积分J[/(A：，y)d;cdy表示为极坐标形式的二次积分，其中积分区 U 域D是： (1 ) (xyy) X + y ^ a2 I (a > 0)； 22| {xyy) x2 + y2 ^ 2^| ； | (x,y) | a2彡 x2 + y1 彡62 |，其中0 < a < 6; j (xyy) | 0 ^ j ^ 1 - x,0 ^ x 1 | . 解(1)如图10-19,在极坐标系中，0= |(p，0) | 0彡p彡a，0彡(9彡2TT1，故 ^jx,y)AxAy - jj/(pcos 0，psin 6)pdpd0 /-2tT (1^1 /(pcos 0，psin 0)pAp. r (2)如图10-20,在极坐标系中， l) = (p,0) 欢迎下载，精选文档 可编辑 jjy(x，y)dxdy = jj/(pcos 0,pain 0)pdpdO欢迎下载，精选文档 可编辑 i) -y* i) y.2coH 0 =J , d^j) /(pros 0,psin 6»)p (3)如图10-21，在极坐标系中，/) = (p ,6、彡p彡/),0彡0彡2TT,故 = J/(pcos 0,psin 0)pdpd0 /-2- IT (id /(pros 0 ,psin 0)pdp. (4) D如图10 - 22所示.在极坐标系中，直线x 的方 程为 sin 0 + cos 0 —于是 sin 6 + cos 6 2 J f(x ,y) dxdy = jj/(pcos 0,psin 6)pdpd0 n V ^C，in • n« /(pc os 0,psin 6) pdp. ) P=p=b ^ —b(rl—aV O jyh x 10 -22 图 10-21 12.化下列二次积分为极坐标形式的二次积分: (1 )丄心丄/(2 >/3 D\'HIV; (2) (|.v f /(/r\' + v2) 欢迎下载，精选文档 p 可编辑 解(1)如图10-23，用直线7 = *将积分区域£>分成£>1，102两部分： {(p,0) (p,e) 于是 原式=[d0[_ /(pcos 6,psin 6)pdp + L d^l /(pcos 0,psin d)pdp. l-X ,sec 6 rY rcsc 8 (2) D如图10-24所示.在极坐标系中，直线x=2,射线和;r =^x(x^0) 的方程分别是p = 2sec 6,6= •^和0 =•因此 |(pyO) 0^p^2sece,f^6^f}. 又 f(Vx2 + y2 ) =f(p),于是 f-Y y.2sec 0 原式=d0j) /(p)pdp- (3 ) D如图1() - 25所示.在极坐标系中，直线；K = 1 _ x的方程为P = ------ 1 ---- ，圆;K = -/l - x2的方程为p = 1 ,因此 sin 0 + cos 6 (P，e) sin 0 + cos 6 于是 原式 /(pcos 6 ,psin 0)pdp. /)如图10 -26所示.在极坐标系中，直线* = 1的方程是/> = sec心抛物线 y=/的方程是psin 0=p2c:os2(9,即p = tan伽e(. 0;从原点到两者的交点的射线是沒=欢迎下载，精选文档 D = < (p，6) 于是 rT rser 0 可编辑 7T Jlan O^ec 0 原式=[d沒 /(p cos 6,p sin 6)pdp. 欢迎下载，精选文档 可编辑 (3) [ dx i(x + /) -了dy .s/la2x (\"A ‘A： + y2) d j ； (4) d> rti.v； (.r + y ) CIA 22解（1）积分区域D如图10-27所示.在极坐标系中， 0= ip,6) 于是 r 2 /*2fl<\'OS f) 0^p^2aros 0,0 ^ L /• j •- *4 原式i i \'=dep2pdp = i IT i0 44aA [ c(、s 0(W = A4a 注在多元函数积分学的计算题中，常会遇到定枳分sin\'4如和j/ ,-os^,）^. |M此 i己住如下的结果是有益的： • rr // - I ^ - 3 3 I TT 、j , - /…似 n ...... ........ ...... 了 • • T\"， 匆 I[.偶数， （2） m 10-28,在极坐标系中, TT i 13.把下列积分化为极坐标形式，并计算积分值：欢迎下载，精选文档 可编辑 于是 i T d6» j) p - pAp = yj^ secJ6»d6> /-rtsec 0 =-—[sec ^tan 6 + ln( sec 6 + tan d) ] 4 6 o =~~[ o + ln( J2 + 1 )]. ( 3 )积分区域D如图10 -29所示.在极坐标系中，抛物线y =X2的方程是psin沒 p:cos2沒，即p = tan 6 sec 0;射线y=A；(:t彡0)的方程是0 =子，故 0 ^ \"=(p,0) 寸:是 ^ tan Osec 0,0 ^ f)J- x.|an Unt-r 0 j 原式= 7\'p，lp tan 沒sec. 0(& = sec* 0] 4 - y/2 - .欢迎下载，精选文档 可编辑 (4)积分区域 (p,e) (wa[; f, -p^p = f-^r - f\' 原式 114.利用极坐标计算下列各题： Ife^^da,其中£»是由圆周;c +y =4所围成的闭区域； I) 222 |ln(l +x+/)dCT,其中D是由圆周:t+y=l及坐标轴所围成的在第一 I) 象限内的闭区域； 2222( 3 ) Jarctan —da ,其中 D 是由圆周;c 4- y = 4 , .r + y = 1 及直线 y = 0，、 = D x所围成的在第一象限内的闭区域. 22 解(1)在极坐标系中，积分区域I (p,0) | 0矣p彡2,0<0矣2TT;，于是 fT〆”\'-, d(j ^ p dp (0 ■ - r2^ „ r2 ^ p 9AO I e p dp = 2TT ， re〆1 TT TT( e - 1 ). (2)在极坐标系中，积分区域 22j- I 2[ln( 1 + x + j) do* = jj l n ( 1 + p ) • pdpdd = d0 f ln( 1 + p) • pdp 2n 2ln ( 1 + p )d( 1 + p ) y TJ 2子[(1 +p)ln(l +P) | \' - j^pdp] 22TT (21n 2 - 1 ). (3)在极坐标系中，积分区域0 = (p,0) 1 arrlan —— l, 于是 TT TT • 欢迎下载，精选文档 可编辑 iil5.选用适当的坐标计算下列各题： 其中0是由直线1=2,7=文及曲线邛=1所围成的闭区域； D y |^/| ~ ，其中/＞是由圆周;c2 +/ =】及坐标轴所围成的在第一 象限内的闭区域； ( 3 ) J (x2 +)2)如，其中/)是由直线7 = ：1，7 = 1 + 61，7 = 61，7=30(^1＞0)所围成 D 的闭区域； (4) | yx2 + y2d(r，其中£＞是圆环形闭区域丨Uj)丨a2矣/ +y2^b2. 解 (1 ) Z)如图1 0 - 30所示•根据/)的形状，选用直角坐标较宜. D = (xyy) ^da =丄 d^: ^jdy = | ( - x + x3 ) dx = (2)根据积分区域的形状和被积函数的特点，选用极坐标为宜. r2 I)二 (p,0)原式 TT pp (|=f“7^rlp— 欢迎下载，精选文档 可编辑 7T (77-2). （3） D如图10-31所示.选用直角坐标为宜.又根据/）的边界曲线的情况，宜 采用先对^后对y的积分次序.于是 jj( x2 + j2 ) dcr = J dy ( x2 r2 ) d. lay2 - a2y -f- —Idy = 14o4. b、- cr ). x2 + y2 da = ||p • pdpdO = 2[ dO pJp /-2TT 2TT m — ( b\' - a Sal6.设平面薄片所占的闭区域由螺线上一段弧（0矣0莓j）与直线0 =;所 围成，它的面密度为M（x，y） =x2+y2.求这薄片的质量. 解薄片的质量为它的面密度在薄片所占区域/）上的二車:积分（[?] 10-32）.即 m K) -3： 欢迎下载，精选文档 可编辑 欢迎下载，精选文档 可编辑 Jj]u(x，;y)da^ x2 + j2 ) da[、OP T pdpdO 二4[ \' = ^r. Jo 40 /： >0 ) ,z = 0以及球心在原点、半径为尺的上半 cM 17.求由平面y = 0，)• = 球面所围 TT 积. 成的在第一卦限内的立体的体22yda = | yw - ppdpd0 =a •(- 2(ippp arctan k. d 18.计算以.rOy面上的圆周:t 顶2 ■ y2 = ax围成的闭区域为底，而以曲面2 =*2 + /为 :arctan h, 2- I (x,y) | 0 ^ j ^ / ax -A: ,0 ^ A: ^ a | = |(p,0)|O^p^ acos 9,0 0 ^ 由于曲顶柱体关于面对称，故 2V = 2 ff ( x2 + y ) (lid) ^ facoa 0 22 J]p • P^P^O二2丄 丄 pp |冬MO -33 的曲顶柱体的体积. 解如图10-34,设 2 4-Tin 2 2 32 f?-| 1() -34 欢迎下载，精选文档 可编辑 注在计算立体体积时，要注意充分利用图形的对称性，这样既能简化运算，也 能减少错误• ^1*19.作适当的变换，计算下列二重积分： （1 ） J（x - y）2sin2（x + y）dx（Iy,其中/J是平行四边形闭区域，它的四个顶点是 /） （7T，0） , （2TT,7T），（7T，27T）和（0，TT）; （ 2 ） ，其中是由两条双曲线w = 1和X） = 2 ,直线）=.r和y = 4A•所 1） 围成的在第一象限内的闭区域； （3） （，其中£»是由.v轴、）■轴和直线.r + .r = l所围成的闭区域； 解 （1）令^=欠-/，1；=无+ 7，贝|】：1： = - ~2~\'在这变换下，的边界I - ，，，y = - IT ,x y = IT ,x - y = TT ,x + y = 3ir 依次与 u = 一 TTr = TTu = TT？； = 3TT 对应.后者 构成aOi；平面上与D对应的闭区域/）\'的边界.于是 D\' = { U ,v） | 一71\'$“$77,77<\"$311:（图10-35）. V 371 D\' 71 一 -71 O (b) n 14 欢迎下载，精选文档 可编辑 *) ^ si ir ( v + > ) <1 vd、 3 (.\'，，V) imi欢迎下载，精选文档 可编辑 IT24 dw sin2f；dy (2)令 W = A：y，=上，贝Ij A： 1 卜］ IT JL T .y. L 2 sin 2v\' 4^- YLU uv-在这变换下，D的边界xy = 1，y =^，叮=2, )= 4x依次与u = Jv = ,u=2,v=4对应，后者构成平面上与D对应的闭区域 \" d(x,y) d(u,v) 1 2 y~uv fv ■Ju 2 ■Ju v{ 2v 2 Ju 2 Jv 因此 D. —dv v fj^y dxdy -h- 2. 222-—dudv = 2v 1 一0 (b) 2 的边界.于是D1 = (u,v) | 1彡a彡2，1彡i;彡4丨(图10 -36)•又 阁 10-36 (3) ^ u = x + y ,v = y x = = 则在这变换下，/)的边界7=0，％=0, % y - 依次与r = ()，a = ^，w = 1对应.后者构成wO?;平面上与D对应的剛K域/J的 边界，于是 D\' = (uyv) 0 ^ V ^ u,0 ^ u ^ . 又 y = f|^|=\'—丨 因此 ^ef^(xAy = JJe7du dv = ^ (Jw丄 eTdf’ =丄 u( e - 1 ) CJM i) o\' = +(e-\".欢迎下载，精选文档 可编辑 {x = apcos 0, y - bp sin ❹ 下，与D对应的闭区域为“二丨（p，0） | 0彡p彡1彡2TT1 .又 j d（x,y）= \" \'. ((2>0，/>>0,/)彡0,0彡沒彡211).在此变换 acos 0 bs\'m 0 — apsin a bp. d（P，e） 6 bpcos 8 % ^ rr ~ TX r 1 \'—Z + ^- dxdy =〆• abpdpdd = ab I I p ’dp = —abir.1*20.求由下列曲线所围成的闭区域D的面积： （1 ） 0是由曲线xy = 4，xy = 8，xy = 5 , A;J =15所围成的第一象限部分的闭 区域； (2) Z)是由曲线 y=?，y = 4/ ,x = y ,x - 4y 所 解(1 ) u = xy ,v = xy ( a:彡0，y 彡0 )，贝lj x 对应的3J:33围成的第一象限部分的闭区域. ^,7 = 在这变换下，与D ； . uOi;平面上的闭区域为D\' = | (u,v) | 4 ^ ^ 8 ,515 !/ -心，y) _ d(u,v) 于是所求面积为 JJdxdy rr 1 —(hid?；= JJ 2v :丄心 2 j4 If 8i 115 1 —dv - 2In 3. V （2）令 与 ■（:r>0，y>0），贝lj x = u~Tv~T,y = u~Tv~r.在这变换下，xJ y\' (l/vdr j = d(x,y)= d(u ,v) -u v ■T 8~T 于是所求面积为 u \' ill /I = || dxdy D对应的aOr平面上的闭区域为D\'=丨（《.，/，）| 1彡w彡4，丨彡r$4 | •又 Ea*21.设闭K域《是I h直线i + y = l, .r = 0, v = 0所闱成，求证 欢迎下载，精选文档 可编辑 I.欢迎下载，精选文档 可编辑 证令 u 二:c -y，r = A: + y，贝lj x -dad 7； 在此变换下，D 的边界x +y = 1 , dv D\'= d(x，y) d(u,v) 因此有 ^ - y) x + y) 2 dxAy TI Av I cos—da J-v v i va=0,y=0依次与v = 1，u+y=0和v - u = 0对应.后者构成aOt;平面上与Z）对应的 闭区域Z）\'的边界（图10-37） •于是 v sin 1 dv = —sin h 2 证毕. ^ • 22.选取适当的变换，证明下列等式： (1 ) jj/(x + y) J t/(u)du,其中闭区域O = | (x,y) | | a： | + | 7 I ^ I I ; I) ( 2 ) jj/( ax + by + c) dxdy = 2J ^ -J 1 - w2/( u sj n2 + If2 + c)iu,其中 ’)= (x ,y) | i> 2 +b2^0. X2 + y2 ^ 1 | , R «证(丨)闭 IX 域\"的边界为 x + y = - ,x +y = ,x -y^ - 1- y = 欢迎下载，精选文档 可编辑 1，故令〃= z + y，《；=文-y，即* = +，:K = Y •在此变换下，\"变为》汍平血丄的闭1只:域欢迎下载，精选文档 3“，y) 可编辑 d(u,v) ——dwell； 2 于是 J/O + y)dxdy = Jf(u) f—/■㈤ d“/_ dr /( u) du. 证毕. i) o\' (2)比较等式的两端可知需作变换 u ya2 + b2 = ax + by, 即 u =似 + j_ • Va2 + b2 再考虑到0的边界曲线为x2 +y2 =1,故令这样就有u2 + v2 =1，即D 的边界曲线/ +/ = 1变为uOv平面上的圆u2 +v2 =1.于是与D对应的闭区域为 D\' - ) (u ,v) a2 + y2 ^ 1 | . 又由的表达式可解得 x au + bv bu - av = . y/a2 4- b2 a1 + b2 因此雅可比式 d(u yv) b2 sj a2 + b2 v/a2 + I)2 于是 jj/( ax + by + c)dxdy = u /a2 + b2 + r) | - 1 | du dv 、/ 1 - ii!j{ u + /广 + c) ih/. (I// , ./r -/rv /( u n + /〆 + <•) dr 2证毕欢迎下载，精选文档 可编辑 三重积分 w 1.化三重积分/ = j|y(.t，y，z)ckdydz为三次积分，其中积分区域/2分别是: n 由双曲抛物面及平面x+y-l = 0，z=0所围成的闭区域; 由曲面z = +72及平面z = i所围成的闭区域； 由曲面-n2 + 2y2及z=2-x2所围成的闭区域； (4)由曲面 cz=xy(c>0),~ + ,z = 0所围成的在第一卦限内的闭 区域• 解(1) 的顶和底面z=0的交线为x轴和y轴，故在面上的投 影区域由.r轴、y轴和直线x +y - =0所围成.于是/2可用不等式表示为 因此 d.r Ay I f(x,yyz) dz. (2)由z = x2 + y2和z = 1得x2 + y2 =丨，所以/2在xOy面上的投影区域为x2 + )\'2矣丨(图10-38)./2可用不等式表示为 ;t2 + y2矣 z 矣 1 , - s/ - X1 矣 >.这 y/ l - X2 , - 1 矣；C 备 1， 因此 + 2.f(x,y,z)cz. (3) +[z=2 -x2 \'，消去2,得丨+y2 = 1•故/2在面上的投影区域为.t2 + /霉1(图10-39) •于是/2可用不等式表示为 A:2 + 2y2 ^ z € 2 - X2,-」 - x1 ^ j ^ J - x2 , - I ^ A: « 1 , 因此 r1 r /• -x2 f2 ~*2 ，y，2>、， / = /-.dX/-/rr7r^/^2/(jC欢迎下载，精选文档 z=2-x1 可编辑 图 10-38 图 10-39 显然在;面上的投影区域由椭圆~ + ~ = 1 (.r彡0o\'彡0)和.v轴，v轴 U b 所围成，的顶为cZ = A：y，底为Z二0(图10 -40).故/2可用不等式表示为 因此 图 10-40 注本题中的4个小题，除寒2小題外，的图形都不易|明出.flJ.是，为确定 次枳分的枳分限，并非必须画出i7的准确图形.重耍的是要会求出作坐标曲I..的 投影区域，以及会定出的璃和底面，而做到这点，只需掌抿常见曲而的；;•稈和m if; 特点，并具备一定的空间想象能力即可.木草题解中:配了较多插阁，沾汝m观 察，这对培釋牵间想象能\"是存好处的. 2a 2.设有一物体，占有空间闭K域= 1 (\'v，：) | (.)矣.》•矣I .0莓)琴1.() n 1 ; , (x,y,z)处的密取为 f)( x,y,z) = + +;, ||^：该物休的吨 1|1:. 解 M - (b = | (|. | (I t | ( v + +欢迎下载，精选文档 可编辑 dx X + T + Yr 3.如果三重积分|[/( x,y,z) dxdydz的被积函数/( x，y〆)是三个函数/, (*)，/2 ( y )， n /3U)的乘积，即/(x，y，z) =/丨(x)f2(y)f3(z)，积分区域I (x,y,z) a^x^b ,c^ )矣dzm :,证明这个三重积分等于三个单积分的乘积，即 fff/i (x)f2( y )/3(2) dardrdz = [ f^x) Ax [/2(j)cly f f3(z)dz. Uf/i (x)f2 (y)h(z) dxdydz n d.r =HI (I /1 (*)/2(3^)/3(2)^)^]\' j dx =JJi (f,(^)/2(y) - jf/3“)心卜]1 =I [ (|73(^)^)* (l/,(^)/2(7)^)]\' =({ ,3(z)d2). {, [/々)-lr/2(y)dy]dx lck ptn rd rlf =I /3 (2) dz • J /2(r)dr • juf(x)dx =右端. . 4.计算jjjx}.2z3 dxdydz,其中/2是由曲面dy，平面y = :t，x = l和z=0所围成的闭 K域. 解如图]0 _41 可用不等式表示为 0 ^ z ^ xj, 0 ^ y ^ x, 0 ^ 2^ 2 z^1 ilxdydz = ^ xdx jf y(ly 丄 dz i5.计算 四面体. djjdydz .,其屮 /2为平而.t =o，y = o，z =()，* + r + ^ Jjj ( I + x + y + z) 42所闹成的 解 n = I (x,y,z) I I - AT - 7,0^7^ i -*，()《“ 1 I (阁 1(> _) ’十坫 rrm 广1 dx I (y ( 31 + .T + y + 2) lz欢迎下载，精选文档 可编辑 8 2( 1 + x + y)2 - dr [- 112 / ------------ 4 图 10 -42 iii 6.计算HxyzAxdyilz.其中为球面/ +.V2 + z2 - 1及二个坐标面所围成的在第 n 卦限内的闭区域. 解法一利用直角坐标计算.由于 fi = I (x,y,z) | 0 ^ z ^ /1 - x2 - y2 ,0矣 y 矣-J1 - .r2 ,0 ^ .v ^ I | , 故 :(1: xdx vr y( > - v( 1 一 .\'•*■)、l v = YJ- 4o (1A 解法二利用球面光标计算，「ii于 \"=| ( I 0 ^ r $ I ,0 « ^ ^ ^,0 ^ ^ ^ ^欢迎下载，精选文档 可编辑 jjjxyzAxdyAz = jjj(r3sin2屮cos r2sin (pArA sin2sin 0cos 8d6 I sin3^>cos (pd(p I r5 dr ~2~ ITr 汐 • 4 . sin cp Y\" \' T \" ~6~ =2 0 4 0 U J 48 注比较本题的两种解法，显然用球面坐标计算要简便得多，这是由本题的积 分区域的形状所决定的.一般说来，凡是由球面、圆锥面等曲面围成时，用球面 坐标计算三重积分较为方便. \"cji 7.计算jjjxzdxdydz,其中是由平面z =0,z =y,y - 1以及抛物柱面y = x2所围成的闭 n 区域. 解法一容易看出，的顶为平面z = 7,底为平面^=0,在Wy面上的投影区 域0„由y=l和7=/所围成.故可用不等式表示为 0备 z 莓 y,x2 :Sy 矣 1,-1 筅 x 矣 1. 因此 jjj xzdxdyd2 解法二由于积xdx xdx 分区域关于yOz面对称(即若点UJJ) £/2，则(-tyj)也 属于/2)，且被积函数*2关于*是奇函数(SP( -x)z= -(a))，因此 j^xzdxdydz = 0. la ».计算 jjjzdxdydz，其中 /2是由锥面 Z = ~^A2 +y2与平面 z = /i(/? >0，/i >0)所_成 的闭K域. 故在；cW面上的投影fx:域o R 解法一fh z =去+y2与z = h消去z，得 x2 +r2 = 、= ( x ,y) x2 + y2 ^ R2 (1^1 10-43)， 去 y/x2 + y2 ^ z ^ h,{x,y) e OXJ J- fl = I (x,y,z) J二是欢迎下载，精选文档 可编辑 TTR 2 = dxdy -j：dz 2 [ l PP ^h. 60=;(x2 + y1) dxdy R2 (H zx2 + y2 ) dxd) /ijda：dj h^_ 2R2 解法二用过点（0,0,2）、平行于.rOy面的平面截得平面圆域0:，其半径为 ，面积为(图10-43). O - | (xyy,z) | (x,y) e Dz,0 ^ z ^ h . }d22h2 于是 jjjzdxdydz = n zdzjjdxdy i), h 24/-7T R2k2. 注解法二通俗地称为“先重后单”法.即先在D: I：作关于.V、、的二氓积分.然 后再对^作定积分.如果在02上关于.t和v的二重枳分易于计算，特別地.如來被枳 函数与x，y无关，且R的面积容易表达为r 2的闲数，则采HJ这种//法比较尚使. *解法三用球而坐标进行计算.在球而坐你系中，N锥面：=7 力 A =arclan 了 j，平而：的力• ft! A r = /，ser 妒，闪此 17 \"j & \'h + 7的为 0 ^ 0 2 TT ,0 ip 于足a , 0 ^ r ^ //ser if. 欢迎下载，精选文档 可编辑 jjjzdxdydz = Jjjr cos (p • r2 sin cpdrdcpdO irh4 / R2 + h2 CTT fa d01 cos (p sin (p r /isin (p 4cos\' ip ft4rdr 3d(p irh ra d( cos COS (p 4irh4 , I-\' cos a h2 UM9.利用柱面坐标计算下列三重积分： 代入 Q： = arctan (1 ) jjzdv，其中/2是由曲面z -s/l- x1 -y2及z-x1 + y2所围成的闭区域； n (2) jjj(x2 + y2)dr,其中/2是由曲面x2 +y2 =2z及平面2 = 2所围成的闭区域. n 解(1)由 -X1 - y2和 z=x2 +y2消去 z,% (x2 + y2) 2 = 2 - (x2 + y2 ),即;r2 + y2 = 1. 从而知在.rOy面上的投影区域为IU,y) h2 +y2彡1丨(图10-44).利用柱 面坐标，/2可表示为 p2彡 Z - p2 ,0彡 p 彡 1 ,0矣 0 矣2-n, 60 p(2 -p2 -〆) 2TT于[ 是- cos 2u P1_P! 2222(2)由x +y =22及2 =2消去z得JC +y =4,从而知在;面上的投影 22区 域为\'、.=I (x,y) | x + j ^4| .利用柱面坐标，可表示为 dd^[p\'p 222jjj( x + y)dv = jjjp • pdpdddz = n n 4 6 J0 12 IT. 16 p32=2IT -7T. 2 12 =r⑽ f( -誓)知 £a* 10.利用球面坐标计算下列三重积分： 22222jjj(x +y +2)如，其中/2是由球面彡+7+2 =丨所围成的闭区域； n 222222瓜zdv，其中闭区域/2由不等式^ +y + (^-a) ^a,^ +y彡；:所确定. n el P! 解(1 ) jjl(x2 + y + 2) dv = jjTr • r2 sin cpdrdcpdd n 2n =I dffl sin ipiip rdr /-2 TT /* TT 41 -TT. (2)在球面坐标系中，不等式.t + j + (z - a)2 ^ a2，即.r 2222222^ 2az 2 1 亦即 0 $ r < 2ac*os (p ,0 ^ 0彡沒彡2ir(图 10 — 45). 变为 r < 2arcos cp，即 r < 2acos 屮；x + y $ 2变为 r2sn2(p ^ r cos、，即 lan ip ^ TT 欢迎下载，精选文档 可编辑 于是 f如JH (p • r2sin (fdrd(pc6 n n In cos i 5dr =丄 cos (psn dO丄 cos (psin (p • —( 2acos (p)4d 2TT I 4a4cos5<^sin (pd(p 8ua cos cp Tra . ^11.选用适当的坐标计算下列三重积分： (1 ) jjlxydv，其中 为柱面.v2 + y2 = 1 及平面 z = 1，z = 0,x = 0,y = 0所围成 的在第一卦限内的闭区域； * (2) J -Jx1 + y2 + z2 dv，其中是由球面x2 + y2 + z2 = z所围成的闭区域； {! |[(*2 +72)心，其中是由曲面闭K域； 4z2 = 25(*2 +/)及平面z = 5所围成的 11 * (4) Jlu2 + y2 )dw ,其中闭区域 由不等式0 < a x1 + y2 + z2 ^ A ,z ^ 0 PJ 确定. 解(1)利用柱面坐标计算.可表示为 TT 于是 Ky(v = jjjp2 sin 6cos 6 • p(p(0tz \" | | =^ sin Or on 0^0 ^ pMp 丄 flz — sin2 ^1 2 f)A • (2)在球面坐标系中，球面？ 表示为■z2 - z 的方程为 r = r(.os 屮，即 r = (.(，s 妒./i nf 2欢迎下载，精选文档 可编辑 0 ^ r 5^ cos ^ 2TT( I冬MO - 46).欢迎下载，精选文档 可编辑 于是 (2) 利用柱面坐标计算.可表示为 —p ^ ^ 5 ,0 ^ p ^ 2,0^ 0 £： 2TT(图 10 _ 47). 于是 _ 9 [ 5 4 1 5 1 \' _ 0 - 27T -JP -可f) - ^ * (4)在球而坐标系中，\"f表示为 rt ^ r ^ /1,0 « ^ ^ ,0 ^ ^ « 2 TT. 欢迎下载，精选文档
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