高中数学涂色问题常用技巧

2024年4月7日发(作者：初二陕西期末数学试卷)

实用标准

高中数学涂色问题常用技巧

王忠全

涂色问题是一个复杂而有趣的问题，高考中不时出现，处理涂色问题

常用的方法是两个计数原理——分类计数和分步计数原理；常用的数

学思想是等价转换，即化归思想；常见问题有：区域涂色、点涂色和

线段涂色、面涂色；常考虑的问题是颜色是否要用完。

例1、 用四种颜色给如下区域涂色，要求一空涂一色，邻空不同色，

有多少种涂法？

解析：按题意，颜色要用完，1有4种涂法；2有3种涂法；3有2

种涂法；涂1，2，3只用了三种颜色，4必须涂第四种颜色，有1种

涂法，共有

A

4

4

=24种涂法。

例2、给如下区域涂色，有四种颜色供选择，要求一空涂一色，邻

空不同色，有多少种涂法？

解析：颜色可供选择，可理解为颜色可用完和不用完两种，分类处理，

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1

3 4

2

1

3 4

2

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至少要用三色涂空，才能满足要求。

法1：

3

1） 恰用三色：

C

4

3212

=48种涂法；

2） 恰用四色：同例1，有24种涂法。

共有24+48=72种涂法。

法2：1有4种涂法；2有3种涂法；3有2种涂法；4有3种涂法；

共72种涂法。

评析：由上述解法知，颜色用完和可供选择是两回事，做题时一定要

区分。

一、 区域涂色问题

（一）、圆形区域涂色：处理圆形区域涂色大致有三种方法：间空涂

色法；公式法。

例3、用四种颜色给如下区域涂色，用四种颜色给如下区域涂色，要

求一空涂一色，邻空不同色，有多少种涂法？

一、 间空涂色法；

法1、用空分类

选择1，3

1

2

4

3

5

1

1

1）1，3同色，则1，3有

C

4

种方法，2有

C

3

种方法，4不

可能与1，3同色，但可与2同色，分两类：4与2

同色，只用了两种颜色，5有2种方法；4与2不同色，则4有2种

方法，5有2种涂法，此时，共有

43(222)72

种方法。

1

2）1，3不同色，则1，3有

A

4

2

种方法，2有

C

2

种方法，4与1

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