高中数学排列组合涂色与整除问题

2024年4月7日发(作者：九年级人教版数学试卷)

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排列与组合中的涂色问题例析

北京师大燕化附中（102500） 钱月华 史树德

在排列与组合的练习、检测和高考试题中，近年来多次出现了某些涂色问题。

拨云破雾、还其本来面目，实质是用分类或分步计数原理导航，通过深入缜密分

析题意，将原题化归成熟悉的排列、组合或其综合题型、逐类分步推理求解。

一、 带状区域的涂色题

带状区域的涂色问题的解法，与推导排列数公式

A

n

m

的思想方法类似，可构

造排好顺序的

m

个空位（格），从n个不同元素中任取

m

（

mn

）个填充.此类

涂色题一般可转化成有限制条件的排列或组合问题.

例1 用红黄绿三种颜色给图1的5个带状格子涂色.要求每格涂一种颜色、

且相邻格子不能图同一种颜色，共有多少种不同的涂法？

解析

：

从满足一格一颜色、邻格不同色的限制条件入手，分成三类：

一类是左边三个邻格从红黄绿中任取3色涂法有

A

3

3

种，且右面两相邻格涂

31

1

A

2

12

种.

法有

A

2

种.共有

A

3

二类是左起

1

4格涂成红绿红绿的类似模式有

A

3

3

种，末一格涂法有

A

2

种，共

31

A

2

12

种. 有

A

3

三类是左起4格涂成红绿红黄的类似模式有

A

4

4

种，其中产生与一类重复的

有6种（如红绿红黄绿与一类的红绿红黄绿）.

31314

A

2

A

3

A

2

(A

4

6)42

（种）. 综上得：

A

3

点评：本例由03年全国高考试题改稿而成，形异质同，也可先排在左起2

格，再排第3格、4格、5格、采用逐类相加的解法。

例2 用4种不同颜色给图1的5个格子涂色，要求每个格涂一种颜色，若

涂完后同颜色的格子恰有3个，则有多少种不同涂色方法？

解析：首先考虑同色的三个格子排列法有

C

5

3

种，且任选4种颜色之一涂色，

共有

C

5

3

4种。第二步，将已涂色的三格视为一个整体与未涂色两格作全排列有

A

3

3

种，共有(

C

5

3

•

4)

•

A

3

3

=240种。

点评：注意到题中没有相邻两格不同色的约束条件，放宽要求后使问题解法

3

简化，某同学列出算式

C

5

3

A

4

时否？为什么？

.

.

例3 用6种不同的颜色给图2的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要

求最多使用3种颜色且相邻的两个格子不同色，不同的涂色方法共有多少种？

（07天津市理科高考16题）

图2

解析：题中最多使用3种颜色的言外之意是最少使用2种颜色（用1种颜色

不合题意），启示我们把解法分成两类：

一类是用2种颜色涂有

C

6

2

种选法，满足相邻格异色、一个一色的4个格子

涂法有

A

2

2

种，共有

C

6

2

A

2

2

=30种。

3

二类是用3种颜色涂法有

C

6

种选法，满足题意的3个格子涂法有

A

3

3

种，且

131

A

3

3

A

3

另一格可用余下3种颜色之一， 有

A

3

种法，共有

C

6

=360种。

综上，所求涂色方法总共有390种。

点评：选定颜色后，也可按格涂色分步，根据计数原理解答，请你试解07

天津市文科高考16题：……（表示理科题两逗号前内容），要求相邻两个格子颜

色不同，且两端格子的颜色也不同，则不同的涂色方法共有多少种？（答题630，

参考算式

A

6

2

（

A

4

2

+9））

二、分割四边形后区域涂色题

四边形的对角线或平行于一边与另两条邻边相交的战线都解把常见的四边

形分割成有公共顶点和公共边的几个三角形或四边形，可从一对共顶点、无公共

边的上述图形可涂同或异色着手突破，在解决类似的一对图形的涂色。

例4 用4种不同的颜色给4个格子组成的图3各区域涂色。要求每个格子

涂一种颜色，有公共边的两格子不同色，共有多少种不同的涂法？

2

1

3

4

图3

解析：根据图3的结构特点，可以从1、3区域的涂色探求，一类是这时有

2

11

一公共顶点的格子同颜色有

A

4

种涂法，且2、4区域格子涂法有

A

4

（

A

1

3

+

A

3

）

12

=36种，二类是1、3区域涂异色有

A

2

4

种涂法，且2、4区域有（

A

2

+

A

2

）种。

12

有

A

2

4

（

A

2

+

A

2

）=48种。综上总共有84种涂法。

2

点评：本例特色是各类中分步计数推算，应弄懂两类中

A

3

、

A

2

2

的含义。若

.

.

用4种不同颜色给图3的1、2、3区域格子涂色（4格不涂），要求同例4，共有

多少种不同涂法？（提示：1、3格只需与2格区域不同色，答题：36）

例5 用5种不同的颜色给图4中4个三角形区域涂色，要求每个区域涂一

种颜色、且有公共边的区域不同色，则共有多少种不同涂法？

1

2

3

4

图4

解析：根据标有序号的三角形区域涂色种数研思，可分成三类。

（1） 四个区域都涂不同颜色，有

A

5

4

=120种涂法。

1

（2） 共顶点的三角形1、3区域涂同色有

A

5

种，且2、4区域不同色的涂

12

A

4

法有

A

4

2

种，共有

A

5

种。同理可求2、4区域同色，1、3区域异色

12

A

4

的涂法种数，共有2

A

5

=120种.

（3） 当1、3区域，2、4区域各任染不同的颜色时，有涂法

A

5

2

=20种。

综上，总共有涂法260种。

点评：分类的标准是用几种颜色，除去各区域异色，允许何条件下同区域同

色？请看与本例殊途同归的问题：直线y=



x把图-x

2

+y

2

=9分成四个区域，

要求（以下同例5，略）.

三、曲线或空间图形的涂色题

圆或椭圆时曲线内分区域涂色题，应想方设法将其化归成带状或四边形分割

后区域涂色问题解决，空间图形表面或点涂色题，可化成各侧面或底面的平

面图形探索，再采用通性通法处理.

例6 某市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图5-1），现要

栽种4种不同颜色的花，要求每部分栽种一种、且相邻部分不能栽种同颜色

4

5

3

1

6

2

的花，则不同的栽种方法有多少种？

.

.

图5-1

1

解析：先排中心的1区，有

A

4

种方法.把其余5个区视为一个圆环，沿其一

个边界剪开拉直，得图5-2在5个格子中

图5-2

放入三种异色的花，要求邻格花异色且两段花色不同，共有15种方法，然后将

此图粘成圆环，为解决两端花色相同情况，设想图5-3有6个格子，要求邻格花

异色且两端花色相同也有15放法，后将此图粘成圆环，且把两端两格重合在一

1

起，综上共有

A

4

(15+15)=120种.

图5-3

3

点评：有人解此题列出算式

A

4

*5，你能给出合理地解释吗？本题由03年全国高

考题改编而成，变换图5-1，你能将例6重写成地图的区域涂色问题吗？

例7 用5种不同颜色给四棱锥S-ABCD的每一个顶点涂色，要求同一条冷的两端

S

D

A

点颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？

图6

BC

解：先从一个侧面地剖析起步，设点S、A、B异色（如图6），有

A

5

3

种涂法，第

二步确认点C、D的涂法，不妨设点S、A、B涂色为红、黄、蓝，若点C涂绿色，

则点D涂蓝、灰色，有2种涂法，若点C涂灰色，同理点D有2种涂法，累计有

7种涂法，根据分布计数原理，共有涂法

A

5

3



7=420种.

点评：以上几例，各具特色.研讨和分析这类涂色问题的关键是细心审核和识别

诸元素如位置（区域或点），颜色种类等的依存关系，或按问题中元素的互斥（异

色）分类，或根据事件发生的前因后果、连续过程分布，结合排列与组合应用问

题的特点，有理有据、全面妥善地敲定解题思路和方法.

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排列组合中的整除问题

整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。

整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

整除规则第四条（4）：最后两位能被4整除的数，这个数就能被4整除。

整除规则第五条（5）：个位上是0或5的数都能被5整除。

整除规则第六条（6）：一个数只要能同时被2和3整除，那么这个数就能被6整除。

整除规则第七条（7）：把个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，差是7的

倍数，则原数能被7整除。

整除规则第八条（8）：最后三位能被8整除的数，这个数就能被8整除。

整除规则第九条（9）：每一位上数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除。

整除规则第十条（10）： 若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除

整除规则第十一条（11）：若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，

则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不

同的是：倍数不是2而是1！

整除规则第十二条（12）：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

整除规则第十三条（13）：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4

倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，

就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

整除规则第十四条（14）：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数

的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的

倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若

一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。

整除规则第十五条（15)：a 若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的

2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍

数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。b 若一

个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。

整除规则第十六条（16）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23整除，则

这个数能被23整除

整除规则第十七条（17）：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被2)整除，则

这个数能被29整除

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