考研数学二解析2016

2024年1月17日发(作者：2010安徽卷数学试卷)

2016年数学（二）真题解析一、选择题（1）【答案】（B）.[解]

因为

5

〜•

（—

—X

j

=

—

—x2

,

g

〜丘\'

Vx

=x

6

,

as

〜三工，

所以以上三个无穷小量从低阶到高阶的次序为,应选（E）.（2）【答案】（D）.【解】F（_z）=]x

(In

x

—

1)

+

C

+

I9

2彳1・取C=o得/\'（工）的一个原函数为F（^）=

（（工

一

]）2

工<]■,

\'八…

、「应选（D）.（In

jc

—

1）

+

19

工乍

1.（3）【答案】【解】(B).因为fo\'+°°J 0*01

1—e*

Ax

=

一

er

x1丄

1―eT

d:r

=

一

er

x°+°°

1

丄0=—(0

—

1)

=1，=+°°,0所以二扌山收敛，-°°

X1

丄

-vex

Ax发散9应选(B).0

X（4）【答案】（E）.【解】

如图所示,fx）的零点从左到右依次为工1（<

1）,工2，工3・

由由/■\'（工）>

0,

x

x},

得工=xx为f（工）的极大值点/（jc）

<0,

Hi

x

VI

/（^）

<0,

zi

V

工

<

1,/a）

<0,

X

x2得工=

1不是/■&）的极值点;为f（工）的极小由\'/■‘（工）<

o,、f\'（工）>

0,X

2

V

z

V H

31

<

H

V「，F得x=X

2值点；由八工）>

0,

fO

>、3\'得工=g不是y（z）的极值点,

工

>

工3

o,故f（J7）有两个极值点.f\"⑺在工=1处不存在，又切线水平对应的点为工。及工3,

即

/\"（工。）=0,7\"\"（工3）=0.由由“〃（工）

由由<

0,>

0,了

V

]\'

得（1

,/（1））为曲线y

=

f

（工）的拐点；1

<

H

<

Xq、。\'得（zo’/Qo））为曲线y

=

f

（工）的拐点；

x

q

x

x

3■To

V\"

V

3,\"）

>

0,fj

<

0,<

0,f\"⑺

得（工3，于（工3））为曲线y

=/（x

）的拐点,f）>

0,Z

Z

3即y

=/（x）有三个拐点，应选（E）.•

149

•

（5）【答案】（A）.【解】（工0）=/；（工0）=g\'（攵0），由----八\"\"°~r

>

--------了心。）一T

得

<

咒（工。）<

0

=

g\"（z

0）‘Ei

+

/l^o）2T

Li

+

/；（x0）2r

存在5〉0,当0

VI工一工。|<5时，f

（j-）〉f；〈工）>g\'（z）,

x

6

Cx

0

—

3

,x

0）,

I/\"；

（z

）

V 兀

Q

）

V

g\'（h

）,

x

G

（jt0

o

+（^）.再由/i（J?o）=

/z

<-2^0

）

=

g（Zo），得在工0的邻域内有九（工）£几（工）£g（H）,从而

/1（JC

）

£

几（2

）

Wg（z）,应选（A）.（6）【答案】（D）.r

初、

r/

_e

(x

—

y)

—

eJ

_

e

(

jt

—

3/

—

1)【解]几=

二匚二川，(鼻—j/)2e\"2\"(■X

—

yY则咒+—：「亍)+二7=三=八应选(7)【答案】（C）.【解】

由A与B相似可知，存在可逆矩阵P,使得P

AP

=B.对

P

}AP

=B

两边取转置得

P「AT（pT）T

=B「，或[（pT）T]TAT[（pT）T]

=B「,

即At与Bt相似,（A）正确；由p

lAP

得P

*A

]P=B

即与IT】相似，（E）正确；由

P

AP

=B

RP

\'A~

P=B

1，得

P

】（A

十A

jp

=B

+

B_\'

,即A+AT与B

+

B

1相似，（D）正确，应选（C）.(8)【答案】（C）.【解】方法一/a

1

1

二次型的矩阵为A

=1

6Z

1

,1

la\'A

一

a

-

1

A

一

a

一

-

1一

1

1

1由丨XE-A

=—1

一

1=(A

—

a

—

2

)—1

A

一

a

—1

一

1

1一

11

1

A

一

a1A

一

a1(A

—

a

—

2)0―a

+

100A

—

q

+

1=(A—a

—

2)(入

一

a

+1)2

=

0

?0得A

]a

+

2

? A

2

= A

3

=

a

一

1.因为正、负惯性指数分别为】2所以解得-2G<1,应选（C）.方法二 取a

=

0,二次型/

（工1 ,乂2,工3）=2厂工2

+2工]工3

+

2工2久3，/0

1

1二次型的矩阵为A

=

1

0

1\'1

1

0•

150

•

A

-

1

-

1由

I

AE-A

|=

-

1

A -

1

=(A

-2)(A

+

l)2

=

0

得入】=2

,入 2

=入

3

=

—

1，此时二次-1

-

1

A型的正惯性指数为1,负惯性指数为2,满足题设的条件，故a

=0时成立，应选(C).二、填空题(9)

【答案】y

=x

+

y7T•r

3【解】

由

*•r-lim00

—X

=

1

,

lim

(y

一

工)=lim

1—

+—

—Xq

一

x

+

arctanC

1

+

2

)7TV得y

=

7-7_23

+

arctan(

1

+

z

$)的斜渐近线为夕=工+

£.(10)

【答案】sin

1

—

cos

1.【解】limW

(sin

—

+

2sin

—

+

…+

n

sin

z? \'

n

n=”lim—8

一

i

.

i

f1

.

fi

1

fin

l

=

x

—n

sin

—n

=

Jo

x

sin

x

dx

=

一

J

o

x

d(cos

x)

—

一x

cos

x

Io

+

Jocos

x

dz

=—cos

1

+

sin

1

=

sin

1

一

cos

1.(11)

【答案】yf

—

y

^=2jc

—

j:2.【解】

方法一

设所求方程为夕‘+

〃(工)y

=q

(_z

),将yx

=x2

—

eJ

,y2

= x2代入所设方程得12

j： 一

e\"

+

(jr

2

一

eJ

)/>

(j：

)

=q(jc),2x

+工？力(工)=

q(z).解得pO

=

—l,q(_z)

=

2jt

—

x2，故所求的微分方程为y\'

—

y

—

—

X2.方法二

设所求的微分方程为夕\'+

p

(攵)y

=q(_z

).令

$1

=g2

_

eJ

,夕2

=工2

,由线性微分方程解的结构得y

2

— yi

=

eJ为_y\'

+

p(x)y

=

0的解，代入得〃(工)=一1,将加二工？代入;V’一)=<7(工)得

q(z)=2jr

—

x2

,故所求的微分方程为yf

—

y

—

x2.(12)

【答案】5・2”t.【解】方法一由

f\'

(x

)

=

2(工

+

1)

+

2/(jc

)

=2_x

+

/(x

)]

+

2

得

/(0)

=

1

,/z

(0)

=

4,由

//z(x

)

=

2口

+

/z

(jr

,得/\'\"(0)

=

2

•

5

,由

fO=2f\"y

得

/〃(0)

=22

• 5,依次类推，由十\"〉(工)=2f

\"TQ),得广(0)

=5

•

2—.方法二

由于(工)=(工+1严+2「/(/)dr,得/\'(工)一2/(工)=2Q

+

1),解得J

0心)=卩2(工+l)e卜皿山

+c]

J」一込=Ce2j

—工—\'由

/(0)

=

1

得

C

=—5

,故

f(x

)

=

—5

e2r

—

x

—2当

/?

>

2

时，/(n)(a：)

=5

•

2\"TJ工，故

/(n)(0)

=

5

•

2•

151

•

(13)【答案】2麗％【解】

设

t

时刻

P

点的坐标为(工=丿工2(/)

+，？(/)

=

/；

2

(^

)

+

J：

6

(i

),aj由题意得atd/ (Z)+

5(Z)

djcdt

2

丿工2&)

+工6&) &取\")=1,將〜则汾島®=2g.(14)【答案】2.【解】令」1-1a11

—1

\'101-1a-10

1因为A与B等价，所以r(A)

=r(B),/I

1由

B

=

0

-

1\'1

0°J1/I

101得r(B)

=

2,从而r (A

)

=

2,于是

|A

1

=

0.o\'0

-

1\'o

01

1a

一

一

1

11=(a_2)0

a

+

10

010Q

+

1由

|

A

|

=

(a

—

2)-1=(a

—

2)(a

+

l)2

=

0,—1得a=2或a=—1,1 a而当a

=

—

1时9厂(A)=1=

—1舍去，故a=2.三、解答题(15)【解】

方法一

lim(cos

2jc

+

2x

sin

x

V

= eJ_*°

0*x~4

11111

\"

4?h、.

In

(cos

2

+

sin

x

)

v

ln[l

+

(cos

2jc

+

sin

x

一1)]nulim-------------------------------=

lim-------------------------4-----------------------------------------------------工->0

X

HfO

Xcos

2x

+

2工

sin

x

—

1

..

一

2sin

2z

+

2sin

jc

2jc

coslim-------------------------------=

lim------------------------o

*-X

LO=lim•Zf0—2cos

2工

+

2cos

x

一

x

sin

jc

..

4sin

一

3sin

jc

一

x

cos

x=忸-------12^----------------6工21

sin

X

cos

工

_

1

T

12-)~~3/

1

sin

2x=liml

—

•---------•zf

0

\'3

3C-故

lim

(cos

2x

+

sin

jc}x

=

e3

・

x->0_1方法二

lim(cos

2«z

+

2jc

sin

工)°0*x-=lim

[1

+

(

cos

2jc

+

2jc

sin

x

0

I*x-..

cos

2x+2xsin

x

—

hm

----------------7--------------1D]

cos

2x-|-2x

sin x—1由

Wl-/

+

〒

+

2)=]-2

八〒+

(\"),•

152

•

x

sm

x

=

x

---------o

)

9J

!•

42

力

I

/ 4

得

cos

2工

+

2工

sin

x

-

1

〜-^x4

,〒曰

cos

2x

+

2jc

sin

x

一1

1

,,

-十是lim-------------------------------=

—

,i5xlim(cos

2x

十

2jt

sin

x

VHfO

X 3

jr->0(16)【解】当0

<工V

1时，f

G)=(jc

2

—

t

2

)

dt

+0\"

门(十

2 2

1 3

1

3

1

一

X

3t

一x

)at

=x----x

H--------------3

3一

jc 2

(

1

—

x

)3

3丄

J

0当工

$1

时,f(x)

=

[

(jc

2

一

t2

)dt

=

x2I则

_/(z)

=v£

iX

2X

+

----------X3

|

1

20

V

工

V

1,■Z

2

1.;_丄当 0

V

jc

V

1

时

9/z(J?)

= 4jc2

当e

>

1时9厂(z

)

=

2工.由lim心)T⑴X

一

1■I

f

1_limr

—1_£

x3

+

-^----x2Ix

一

1£=2,即

fl=2；\" 3

3心「⑴flim------------------=2,艮卩几(1)

=2,

力—1

L1+工一1Hf

i+2_1_

£得厂(1)

=2,于是fj)

=4工2

一

2jc

90

V

z

<

1,2工9•z

$

1.令厂(工)=0得工=,*当

OVz

＜+

时，/\'\'（工）＜0；当工〉+

时，/\'\'（z）＞0,故工=

y为fG）的最小值点,最小值为（17）【解】（，+

y2）z

+

lnN

+

2Q

+夕+

1）=

0两边分别对x

9y求偏导得2咖+

S+0字+丄聖+

2=0

djc

Z

djc切+

2+小J

+丄字+

2=0,

d y

Z

dy令二=0，字=°得-=-丄，》=

—丄，OX

dy

z Z代入Q2

+

j/2

)z

+

In

z

+

2(工

+

y

+

1)

=

0

中得•

153

•

2

,

[x

=

一

19In

n--------2=0,解得 n

=1_9从而N$

=

—

1.上面方程组中的两式分别对z，夕求偏导得2z

+

4工

---F（工

2

+

）2

）

-~-—dx

dx2+-f4=o,z

djc护N

c------------=

0Z

3y2

.d2z

1

3z

3z

1

32z3z丿2工-^-

+

2y

—

+

(x2

+y2)3x

dy

z2dx

3y

Z^JC

3y9

I

A

3z

i

/

2

2)带之

1Zn

十

4y

十夕)—y------------2dy

dy

z2

I

]将工=

—

l,y

=

—

l,z

=

1,

r—-

=

0

=

0

代入得dx

dyA32z0工22

R

32

z(-1,-1)(-1,-1)=o，c32z^y2(-1,-1)£J由

AC

—

Bi

>0

且

A

<0

得

z

=

z

(jt

,y)的极大值为

z

(—

1,

—

1)=1.

（18）【解】由奇偶性得2

2rr

2

2工—夕吐曲=2

I

2JJ

x

y

D

丿A

x

=

rcos

6

9于苧，0£

Ycsc0）,则令

^方法一y

=

rsin

0,3ncsc

0rr

z2

—夕2:曲厂(cos\'O

一

sin2^)drdr

dj/

=2工―2o,3nITTcos2

(9

—

sin2i9

1sin\'。,3:(csc20

一

2)d0Te方法二TT3nn

—

7T)—T2rr

2

d-心=+

^22怦d2

dr

dj/2

X+夕

DDdz1-4卜伽\'y2

|

_202十』=i_4£(\'o=1

—

7t0j/arctan

—yoydy—7(19)【解】

将

y2

=u(j：)ex代入原方程得*

一

3)

/

=

0

9

或况〃

+ (1

—(2工-1)u

+

(2a解得

/（工）=GeT\"占）\"=C］（2工

一

l）e2U

= 0

92x

一

1•

154

•

从而\"(_z)

=

Cj

(2j?

—

1)

d_z

+

C2

=

一

Ci(2jc

+

1)

+

C2,由

u

(—

1)

=

e,\"(0)

=

—

1

得I(Ci—

Cie

+

+

C

C2

2=

=

e,—1.解得

Ci

=1

,C2

=

0,于是

u

(a:

)

—

—

(2j:

+

l)e_J

,故原方程的通解为y

=Cie「+C2(2_z

+1)(G

,C2为任意常数).(20)【解】

区域D绕工轴旋转所得旋转体的体积为V

=

—2

f1

2 2

r°

.

6

2

.3

7T

一

兀|Jo

y

dj?

=

—3

ti

—

7T

J

sint

•

(一

3cos

rsin

t)dt今=—3

tt

一

3tc

JoI

sin71 •

(1

—

sin2

t)dt

=

—3it

一

3tc(

/7

一

19

)

2

16

18=—3

7T-----------------105

7T =—35TV.区域D绕工轴旋转所得旋转体的表面积为S

=

2托+

2托2兀+

2兀sin3^

A/9sinsin4Zcos2^

+

9cos4^sin2Z

dt02兀

+

6tc2

sin4

cos

tdt02兀+瞥16kb（2i）（

i）t解】方法一由题意，得z（^）=rJ

0

—

O7T于（工）在八3兀上的平均值为7=|-fT/（^）ci^,OTCJ

0r~

I

竺

r

—由

J

0

/(j：)djr

=jc/(jc)

Io

一

Jox兀.3

7~COS3

X

r3n~2

ZS

」

X

COS

Xo杰匸討「JT

。亦二真山IJo1

Ct

—(3兀

石弓一

)cos—

x

也方法二

由题意，得/■&）

=「&,J

0

Zt

—

0

71/■（•z）在「0,y

37tl

上的平均值为•=贏2

1fl。

亦二真cos

t

•/3（yrtt

丿&

,

=—真1

待

cos/山二,

殆.1•

155

・

（n）［证明】/U）COS

X一

3兀当o ＜工＜

牛时,八工）＜

0』（工）在o,y

上单调递减，u

_

u _再由/（0）

=

0得/（2）＜0（0＜工£守），特别地,_/

（守）V

0.由积分中值定理，存在C C

0,甞，使得/（c）

=

f

=-^- ＞

0,显然c

G

4,警

由零点定理，存在W

C

（守,C）U

,

—

，使得/（^）

=0.因为守Vh

V苧时，f\'

O

＞0,所以f

Cjc）在（㊁，丁）内最多只有一个零点，故心）在（0,罗）内存在唯一的零点.1

1

1(22)【解】（I

）（4

“）=1

0\'a

+

1

11

—

a

a

01a

+

1

2a-2—A0\'oZ11-11

一

a

2a

-

1

0

10—a

$

+

2(i

a

—

2因为AX

=0无解，所以r

(A

)

#

r(A),从而一a?

+2a

=

0,于是a

=

0或a

=

2./I

1

--l：03

1当

a

=2

时

9(A【0)f

O

—

1\'o

0o

i

o2

22

22

2/9•此时

r (A

)

=

r

(A

)=2

V

3

,所以a=2时，方程组有无数个解，矛盾，故a

=0./I

1

1、([I

)A

=

1

0

0h

1

I1I39

A

1A

= 2/3 2 2

:

—

1A\'P01/T=-2-29I1由

Wa

A7P)=2

2

2

-2-

0\'2

2

2

1

-

2丿\'00得方程组atax

0

011-2•/0

0/1

的通解为X=k--11+-2（k为任意常数）.0

/1A1-1(23)【解】(I

)由

|

XE-A

|

=—2

A+

30A=A

（A

+1）（入+

2）=0,得矩阵A的特征00值为入1

=一1,入2

=

—

2,入3

=

0.

将入

1

=

—1

代入(AE

-A)X

=

0,-1由

_E

_A

=-201-101-14o\'200000-1•

156

入1

=

—1对应的特征向量为学10将入2

=

—2代入QE0,丄由—…厂1_

110102\'

00-2001得[000入2

=

—2对应的特征向量为S110将A

3

=

0代入QE—A)X

=0,1-110由—A

=

1°I —

2

30\'

00001—1得1000入3=0对应的特征向量为S2Z令413

-1022，由

p

AP0-2\'o02\'00Q\'(-1)\"00A990(-2)\"0P

1Z113(-I)9902000)-12\'002/0(-2)\"002\"

—

21—2\"2

--2莓2100

—

21—21002

--2\"•

000(U

)由

=BA

得

3“°

=B98B2

=B\"A=

...

=BA\"/2\"

—

21

-

2\"2

—

298即(01,02,03)=(a!

,a2

,a3)

2100

-21

-

21002

—

2\"000I0i=

(2\"

—

2)a

i

+

(2100

—

2)a2

+

Oct3,

故丿02

=(

1

—

2\"

)a

]

+

(1

—

2100

)a

2

+

Oa3,[jj3

—

(2

—

298

)ct

i

+

(2

—

2\")

Oa3.•

157

•2-100-11000-2\'丄兀,