2016年高考文科数学全国卷2含答案

2024年1月17日发(作者：计算机专业工程数学试卷)

2016年高考文科数学全国卷2含答案

2016年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)

一、选择题：本题共12小题，每小题5分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A={1,2,3}，B={x|x^2<9}，则AB=（）

A.{1,2,3}

B.{-3,-2,-1,0,1,2,3}

C.{-2,-1,0,1,2}

D.{1,2}

2.已知函数f(x)=2x-3，g(x)=x^2-4，则f(g(2))=（）

A.-5

B.-1

C.1

D.5

3.已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，则f(g(-2))=（）

A.-7

B.-3

C.3

D.7

4.已知函数f(x)=x^2-2x+1，则f(3x-1)=（）

A.9x^2-6x+1

B.9x^2-8x+2

C.3x^2-6x+1

D.3x^2-8x+2

5.已知函数f(x)=3x-2，g(x)=x^2，则f(g(2))=（）

A.10

B.16

C.20

D.22

6.已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=2x-1，则f(g(3))=（）

A.1

B.4

C.9

D.16

7.已知函数f(x)=x^2+1，g(x)=2x-1，则f(g(2))=（）

A.9

B.13

C.17

D.21

8.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，则g(f(2))=（）

A.9

B.17

C.25

D.33

9.已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，则g(f(-2))=（）

A.5

B.9

C.13

D.17

10.已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=x+1，则g(f(2))=（）

A.3

B.5

C.7

D.9

11.已知函数f(x)=x^2+1，g(x)=x+1，则g(f(-2))=（）

A.0

B.2

C.4

D.6

12.已知函数f(x)=x+1，g(x)=x^2，则f(g(2))=（）

A.3

B.5

C.7

D.9

二、非选择题：本题共12小题，每小题10分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

13.已知函数f(x)=3x-2，g(x)=x^2，求f(g(x))。

14.已知函数f(x)=x^2，g(x)=2x-1，求g(f(x))。

15.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2，求g(f(x+1))。

16.已知函数f(x)=x^2-1，g(x)=2x+1，求f(g(x))。

17.已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=x+1，求g(f(x))。

18.已知函数f(x)=2x-1，g(x)=x^2+1，求f(g(x))。

19.已知函数f(x)=x^2+1，g(x)=x+1，求f(g(x))。

20.已知函数f(x)=x^2，g(x)=x+1，求g(f(x))。

21.已知函数f(x)=x^2-2x+1，g(x)=2x+1，求f(g(x))。

22.已知函数f(x)=2x+1，g(x)=x^2+1，求g(f(x-1))。

23.已知函数f(x)=x^2+1，g(x)=2x+1，求g(f(x))。

24.已知函数f(x)=x+1，g(x)=x^2+1，求f(g(x))。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

15.已知三角形ABC，cosA=4/5，cosC=5/13，a=1，求b。

根据余弦定理，有b^2 = a^2 + c^2 - 2ac cosC，代入已知条件得b^2 = 1 + c^2 - 10c/13.又因为cosA=4/5，根据余弦定理有c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cosA，代入已知条件得c^2 = 1 + b^2 -

8b/5.将c^2代入第一个式子中，得到b^4 - (10/13)b^3 -

(39/169)b^2 + (40/169)b - 1/169 = 0.解得b=12/13或b=-13/3，舍去负数解，故b=12/13.

16.有三张卡片，分别写有1和2，1和3，2和3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片，已知甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，求甲的卡片上的数字。

根据甲的话，可以知道甲的卡片上没有数字2，因此乙的卡片上一定是数字1，根据乙的话可以知道丙的卡片上一定不是数字1，因此丙的卡片上一定是数字2和3.根据丙的话，可以列出方程2 + x ≠ 5，解得x ≠ 3，因此甲的卡片上一定是数字2，答案为2.

17.（本小题满分12分）

已知等差数列{an}中，a3+a4=4，a5+a7=6.

Ⅰ）求{an}的通项公式；

Ⅱ）设bn=[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2.

Ⅰ）设等差数列的公差为d，根据已知条件列出方程组：a3 + a4 = 2a2 + d，a5 + a7 = 2a4 + 4d，解得d = 1，a1 = -1，代入通项公式an = a1 + (n-1)d，得an = -n + 2.因此，bn = -[n-2]，前10项分别为-2，-3，-3，-4，-4，-5，-5，-6，-6，-7，它们的和为-45.

Ⅱ）当a=4时，求曲线y=f(x)=(x+1)lnx-a(x-1)在(1，f(1))处的切线方程；若当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，求a的取值范围。

Ⅰ）将f(x)拆分为(x+1)lnx和-a(x-1)两部分，求导得f\'(x) =

ln(x) + 1/x - a，代入x=1得到f\'(1) = -a，因此切线的斜率为-a，过点(1,f(1))，故切线方程为y-f(1)=-a(x-1)。

Ⅱ）当x∈(1,+∞)时，f(x)>0，即(x+1)lnx>a(x-1)，移项得lnx/x>a/(x+1)，令g(x)=lnx/x，则g\'(x)=(1-x)/x^20.又因为g(x)在(0,1)和(1,+∞)上的极限都是0，因此g(x)在(0,+∞)上单调递减，当x→+∞时，g(x)趋近于0，即lnx/x趋近于0，因此a<1.综上所述，a∈(0,1)。

18.（本小题满分12分）

某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

上年度出险次数 1 2 3 4 ≥5

保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a

随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：

出险次数 1 2 3 4 ≥5

频数 60 50 30 30 20

Ⅰ）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”。求P(A)的估计值；

Ⅱ）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”。求P(B)的估计值；

Ⅲ）求续保人本年度的平均保费估计值。

Ⅰ）根据统计表，有60+50+30+30+20=190名续保人的保费高于或等于基本保费，因此P(A)的估计值为190/200=0.95.

Ⅱ）根据统计表，有50名续保人的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%，因此P(B)的估计值为50/200=0.25.

Ⅲ）根据统计表，续保人的总出险次数为1×60+2×50+3×30+4×30+5×20=370，因此续保人本年度的平均保费估计值为(0.85a×60+a×50+1.25a×30+1.5a×30+1.75a×20)/370=0.99a。

如图，在正方形ABCD中，点E和G分别位于边DA和DC上（不与端点重合），且DED=G。

过D点作DF⊥CE，垂足为F。

Ⅰ）证明：B，C，G，F四点共圆；

Ⅱ）若AB=1，E为DA的中点，求四边形BCGF的面积。

解析：

Ⅰ）因为DED=G，所以三角形DED和GFD全等，即∠GFD=∠DED。

又因为CE⊥DF，所以∠___∠___，∠___∠BCF。

因此，四边形BFCG和四边形GFD是相似的，进而得出∠___∠___。

因为ABCD是正方形，所以∠ACB=90°，因此∠FCG+∠ACB=180°。

因此，B，C，G，___。

Ⅱ）因为AB=1，所以BC=1，因为E是DA的中点，所以DE=EA=1/2.

因为ABCD是正方形，所以AC=BD=√2.

因此，三角形ACD的面积为1/2×√2×√2=1，四边形BCGF的面积为三角形ACD面积减去三角形BFC和三角形GFD面积之和。

因为BFCG和GFD是相似的，所以它们的面积比为2：1.

因此，四边形BCGF的面积为1-2/(2+1)=1/3.答案为1/3.

在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x+6)²+y²=25.

Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

Ⅱ）直线l的参数方程是{x=t*cosa，y=tsina}，l与C交于A、B两点，AB=10，求l的斜率。

解析：

Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设C的极坐标为(r,θ)。

则有r²=(x+6)²+y²，即r²=36+2×6x+x²+y²，因为x=r*cosθ，y=r*sinθ，所以r²=36+12r*cosθ+r²*sin²θ。

化简得r=6/(1+cosθ)。因此，C的极坐标方程为r=6/(1+cosθ)。

Ⅱ）因为直线l与圆C相交于A、B两点，所以方程{x=t*cosa，y=tsina}代入圆C的方程得(t*cosa+6)²+t²*sin²a=25.

化简得t²=25/(1+2*cosa)。因此，AB²=4t²=100/(1+2*cosa)。

又因为AB=10，所以cosα=-3/4.因此，l的斜率为tanα=sinα/cosα=-4/3.答案为-4/3.

已知函数f(x)=x-1/2+x+1/2，M为不等式f(x)<2的解集。

Ⅰ）求M；

Ⅱ）证明：当a，b∈M时，a+b<1+ab。

解析：

Ⅰ）因为f(x)=x-1/2+x+1/2=x，所以f(x)<2等价于x<2.

因此，M=(-∞，2)。

Ⅱ）因为a,b∈M，所以a<2，b<2，因此a+b<4.

又因为a,b∈M，所以a-1/2+a+1/2<2，即a<3/2.

同理，b<3/2.因此，a+b<3.

因为a,b∈M，所以ab-1/2a-1/2b+1/4<2，即ab

因此，ab<5/2.因此，1+ab<9/2.

因此，a+b<9/2-1=7/2.

因为3<7/2，所以a+b<1+ab。证毕。

解析】根据题目所给条件，可以得到函数的一些性质，进而求解。首先，由题图可知$A=2$，最小正周期$T=2$。然后，根据函数图像过点$(frac{pi}{3},2)$可以得到$sin(frac{2pi}{3}+varphi)=1$，解得$varphi=-frac{pi}{6}$。因此，原函数为$y=2sin(2x-frac{pi}{6})$，故选A。

提示】根据已知中的函数$y=Asin(omega x+varphi)$的部分图象，求出满足条件$A$、$omega$、$varphi$值，可得出函数表达式。注意在求解过程中要注意单位的换算。

解析】该几何体由一个圆锥和一个圆柱组成，因此可以分别求出它们的侧面积和底面积，最后相加即可得到表面积。圆锥的侧面积为$frac{1}{2}timespitimes

4timessqrt{4^2+3^2}=8pisqrt{5}$，圆柱的侧面积为

$2pitimes 2times 3=12pi$，圆锥的底面积为$frac{1}{4}timespitimes 4^2=pi 4$，圆柱的底面积为$pitimes 1^2=pi$，因此该几何体的表面积为$8pisqrt{5}+12pi+pi 4=28pisqrt{5}$，故选C。

提示】在计算圆锥的侧面积时要使用勾股定理，计算出母线长。在计算圆柱的表面积时要注意不包括重合的平面。

解析】由正方体的体积可得正方体的棱长为2，因此其对角线长为$2sqrt{3}$。将其作为正方体外接球的直径，可得球的半径为$sqrt{3}$。因此该球的表面积为$4pi(sqrt{3})^2=12pi$，故选A。

提示】在计算正方体的棱长时要注意单位的换算，将体积的单位从立方厘米转换为厘米。

解析】根据题意，该行人需要等待的时间为至少15秒，因此他在前25秒来到路口并遇到红灯的概率为$frac{25}{40}=frac{5}{8}$，故在25秒后出现绿灯的概率为$1-frac{5}{8}=frac{3}{8}$，故选C。

提示】在计算概率时要注意先求出不满足条件的情况，然后用1减去该概率即可得到满足条件的概率。

解析】根据题目所给条件，可以得到数列的递推式为$s_{k}=s_{k-1}+a_{k}$，其中$s_{0}=2$。因此，可以通过循环计算得到$s_{3}=17$，故选C。

提示】在计算过程中要注意数组下标的对应关系，以及循环的边界条件。

二、填空题

13.-6

三、解答题

14.

Ⅰ）a_n = (-1)^n*(n+5)/2

Ⅱ）24

15.

1）(-∞,-3)U(3,∞)

2）(-∞,-3)U(3,∞)

16.

1）f(x) = 2x^3-5x^2+4x+3

2）g(x) = x^2+1

17.A(1,2)。B(3,4)

所以 $a_{n}=5$，其中 $a_n$ 表示数列 ${a_n}$ 的第

$n$ 项。已知 $begin{cases}x-3=0x+y-3=0end{cases}$，解得

$C(3,0)$，将 $A,B,C$ 的坐标代入 $z=x-2y$，得到最小值。

Ⅰ）根据等差数列的通项公式及已知条件求 $a_1,d$，从而求得 $a_n$；（Ⅱ）由（Ⅰ）求得 $b_{2n+3}=frac{-5}{n}$。当 $n=1,2,3$ 时，$1leq 2n+3leq 7$，$b_n=1$；当 $n=4,5$ 时，$2leq 2n+3leq 13$，$b_n=2$；当 $n=6,7,8$ 时，$3leq

2n+3leq 17$，$b_n=3$；当 $n=9,10$ 时，$4leq 2n+3leq 21$，$b_n=4$。联立方程组求得最优解的坐标，将最优解的坐标代入目标函数得到答案。

因为 $cos A=frac{5}{13}$，$cos C=frac{5}{13}$，且

$A$，$C$ 为三角形的内角，所以 $sin A=frac{3}{5}$，$sin

C=frac{12}{13}$。所以数列 ${b_n}$ 的前 $10$ 项和为

$1times 3+2times 2+3times 3+4times 2=24$。由 $sin

B=sin(pi-(A+C))=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin

C=frac{63ab}{65}$，又因为 $sin A=frac{21}{13}$，所以

$sin B=frac{56}{65}$。由正弦定理得 $b=frac{asin B}{sin

A}$，代入计算即可得到所求值。

事件 $A$ 发生当且仅当一年内出险次数小于 $2$，由所给数据知，一年内出险次数小于 $2$ 的频率为

$frac{60+50}{200}=0.55$，故 $P(A)$ 的估计值为 $0.55$。

由题意分析可知甲的卡片上的数字为 $1$ 和 $3$，乙的卡片上的数字为 $2$ 和 $3$，丙的卡片上的数字为 $1$ 和 $2$。

Ⅰ）已知续保人的保费服从一定的分布，要求估计续保人本年度的平均保费。首先需要求出事件A：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”的人数，以及总事件人数，然后用事件A的人数除以总事件人数得到P(A)的估计值。接着需要求出事件B：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基

本保费的160%”的人数，以及事件B发生的概率P(B)的估计值。最后，利用数与保费乘积的和除以总续保人数，可以得到本年度的平均保费估计值。

Ⅱ）事件B发生的条件是一年内出险次数大于1且小于4.根据所给数据，一年内出险次数大于1且小于4的频率为0.3，因此P(B)的估计值为0.3.

Ⅲ）根据所给数据，保费和频率的乘积可以得到每个保费档次的平均保费。将每个保费档次的平均保费乘以对应的频率，再将结果相加，即可得到200名续保人的平均保费为1.1925a的估计值。

1.用k表示|AM|，同理用k表示|AN|，再由2AM=AN求k的取值范围。最终得到k∈(0,1]。

2.由x^2>1和x1x2=1得x1<1，故当x∈(1,x2)时，g\'(x)<0，g(x)在(1,x2)单调递减，因此g(x)<0.

3.先求f(x)的定义域，再求f\'(x)，f\'(1)，f(1)，由直线方程的点斜式可求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为2x+y-2.

4.构造新函数g(x)=lnx-a(x-1)/(x+1)，对实数a分类讨论，用导数法求解得到a∈(-∞,2]。

5.证明△DGF∽△CBF，再证明B，C，G，___；在Rt△DFC中，GF=C=DG，因此可得Rt△BCG≌Rt△BFG，从而得到四边形BCGF的面积S=2S△GCB=2×2×2×1=4.

6.圆C的极坐标方程为ρ^2+12ρcosθ+11=0，直线l的极坐标方程为θ=α(ρ∈R)。设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，则ρ1+ρ2=-12cosα，ρ1ρ2=11，|AB|=|ρ1-ρ2|=√(ρ1^2+ρ2^2-2ρ1ρ2)=√(ρ1+ρ2)^2-4ρ1ρ2=√(144cos^2α-44)。最终得到|AB|=±√15/3.

根据题目所给的公式，可以得到cos2α=0.3158，tanα=±3.因此，直线l的斜率可以表示为15/153或-3.

提示）可以利用极坐标方程ρ2=x2+y2、x=ρcosθ来求解C的极坐标方程；可以利用直线l的参数方程求出直线l的一般方程，再求出圆心到直线的距离，从而得到直线l的斜率。

题目中给出了一个函数f(x)，其中当x≤-2时，f(x)=-2x；当-2

提示）可以先去掉绝对值，再分别讨论x≤-2、-2

考点：极坐标方程与普通方程互化、直线的参数方程、弦长公式、绝对值不等式、不等式的证明。