2024年3月10日发(作者：高考语文数学试卷讲解教案)

复数的基本概念及其运算

一、目标要求：

(1) 复数的概念的发展和有关概念（实数、虚数、纯虚数、复数相等、共轭复数）；复数

的代数表示与向量表示。

(2) 掌握复数的表示方法。

（3掌握复数的运算法则，能正确地进行复数的运算（复数代数形式的加法与减法，乘法与

除法）

二、思想方法

(1)化归思想—将复数问题实数化。

(2)方程思想—利用复数及其相等的有关充要条件，建立相应的方程，转化复数问题。

三、教学进程

1。引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根

吗？

2．复数的有关概念和性质：

(1)i称为虚数单位，规定

i

2

1

，形如a+bi的数称为复数，其中a，b∈R．

(2)复数的分类(下面的a，b均为实数)

(3)复数的相等设复数

z

1

a

1

bi

1

,z

2

a

2

b

2

i(a

1

,b

1

,a

2

,b

2

R)

，那么

z

1

z

2

的充要条件

是：

a

1

b

1

且a

2

b

2

．

(4)复数的几何表示复数z=a+bi（a，b∈R）可用平面直角坐标系内点Z(a，b)来表示．这

时称此平面为复平面，x轴称为实轴，y轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C与复平面

上全体点集是一一对应的．

复数z=a+bi

a,bR

．在复平面内还可以用以原点O为起点，以点Z(a，b)

向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O，看成零向量)．

(6)复数与实数不同处:

①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大

小．

②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运

算和开方均通行无阻．

3．复数的代数运算

（1）i

4n

=1，i

4n1

=i，i

4n2

=

1，i

4n3

=

i；

（2）i

n

· i

n1

· i

n2

·i

n3

=

1， i

n

＋i

n1

＋i

n2

＋i

n3

=0；

；

5

z

1

abi，z

2

cdi

a，b，c，dR

，

z

1

z

2

ac

bd

i；

z

1

•z

2

acbd

bcad

i；特别，若zabi

a，bR

，则

z•zza

2

b

2

；

z

1

abi

abi



cdi

acbdbcad



2

2

i

z

2

0

22

z

2

cdi

cdi



cdi

cdcd

四、典型例题分析

2

①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?

①复数z是实数的充要条件是：

∴当m＝

2时复数z为实数．

②复数z是虚数的充要条件：

∴当m≠

3且m≠

2时复数z为虚数

③复数z是纯虚数的充要条件是：

∴ 当m＝1时复数z为纯虚数．

【说明】 要注意复数z实部的定义域是m≠

3，它是考虑复数z是实数，虚数纯虚数

的必要条件．

要特别注意复数z＝a+bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是a＝0且b≠0．

x3i

例2 (1).若

xR，R，则x__________

27i

(2).复数a+bi与c+di（a，b，c，d

R）的积是纯虚数的充要条件是（ ）

A．

acbd0

Ｂ．

adbc0

Ｃ．

acbd0且adbc0

Ｄ．

acbd0且adbc0

m3

（3）已知

zm333i，其中mC，且

为纯虚数

m3

求m的对应点的轨迹.

2

1i

（31i）

，若z

2

azb1i

,求实数例3.设复数

z

2i

a，b

的值.

例4:计算:

23i

1i

2i

15



123i

2

22

(2 )1+i+3

i

2

+…+1000

i

999

【说明】 计算时要注意提取公因式，要注意利用i的幂的周期性，

(2 ) 法 1：原式=(1+2i

3

4i)+(5+6i

7

8i)+…+(997+998i

999

1000i)

=250(

2

2i)=

500

500i

法2：设 S＝1+2i+3

i

2

+…+1000

i

999

，则iS＝i+2

i

2

+3

i

3

+…+999

i

999

+1000

i

1000

，

∴(1

i)S＝1+i+

i

2

+…+

i

999

1000

i

1000

【说明】 充分利用i的幂的周期性进行组合，注意利用等比数列求和的方法．

例5 （2004上海市普通高校春季高考数学试卷18）

已知实数

p

满足不等式

2x1

0

，试判断方程

z

2

2z5p

2

0

有无实根，并给出证明.

x2

p

1

2

【解】由

2

x

x

2

1

0

，解得

2x

1

，

2

2

. 方程

z

2

2z5p

2

0

的判别式

4(p

2

4)

.

2p

1

2

，

1

4

p

2

4

，

0

，由此得方程

z

2

2z5p

2

0

无实根.

课后训练

1、下列说法正确的是 ( )

A．0i是纯虚数 B．原点是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点

C．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数 D．

i

2

是虚数

2、下列命题中，假命题是 ( )

A．两个复数不可以比较大小 B．两个实数可以比较大小

C．两个虚数不可以比较大小 D．一虚数和一实数不可以比较大小

3、复数1+i+

i

2

+…+

i

10

等于 ( )

A．i B．

C．2i D．

2i

4、下列命题中: (1) 两个复数不能比较大小;

(2) 若z=a+bi, 则当且仅当a＝0且b≠0时,z为纯虚数;

(3) (z

2

1

-z

2)

+(z

2

-z

3

)

2

=0 则z

1

=z

2

=z

3

;

(4)x+yi=1+i

xy1

I


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