2024年3月10日发(作者：人教版十二册数学试卷)
复数的四则运算
•
复数的运算：
1、复数z
1
与z
2
的和的定义：z
1
+z
2
=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；
2、复数z
1
与z
2
的差的定义：z
1
-z
2
=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；
3、复数的乘法运算规则：设z
1
=a+bi，z
2
=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，
那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类
似两个多项式相乘，在所得的结果中把i
2
换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数
的积仍然是一个复数。
4、复数的除法运算规则：。
复数加法的几何意义：
设
边画平行四边形
应的向量。
就是复数
为邻
对
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复数减法的几何意义：
复数减法是加法的逆运算，设
，则这两个复数的差
对应，这就是复数减法的几何意义。
共轭复数：
当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。
虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。
•
复数的运算律：
1、复数的加法运算满足交换律：z
1
+z
2
=z
2
+z
1
；
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结合律：（z
1
+z
2
）+z
3
=z
1
+（z
2
+z
3
）；
2、减法同加法一样满足交换律、结合律。
3、乘法运算律：（1）z
1
（z
2
z
3
）=（z
1
z
2
）z
3
；（2）z
1
（z
2
+z
3
）=z
1
z
2
+z
1
z
3
；（3）z
1
（z
2
+z
3
）=z
1
z
2
+z
1
z
3
•
共轭复数的性质：
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我们把形如a+bi(a,b均为实数)的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为
虚数单位。当虚部等于零时，这个复数可以视为实数;当z的虚部不等于零时，实部等于零
时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总
有根。
复数的定义
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行(比如对负数开偶数次方)，为了使方程
有解，我们将数集再次扩充。
在实数域上定义二元有序对z=(a,b)，并规定有序对之间有运算\"+\"、\"×\" (记
z1=(a,b),z2=(c,d))：
z1 + z2=(a+c,b+d)
z1 × z2=(ac-bd,bc+ad)
容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复
数z，我们有
z=(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)
令f是从实数域到复数域的映射，f(a)=(a,0)，则这个映射保持了实数域上的加法和乘
法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。
记(0,1)=i,则根据我们定义的运算，(a,b)=(a,0)+(0,1) × (b,0)=a+bi，i × i=(0,1) ×
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(0,1)=(-1,0)=-1，这就只通过实数解决了虚数单位i的存在问题。
复数的运算法则
加法法则
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复数的加法法则：设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数。两者和的实部是原来两个
复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2= -1，把实部与
虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
叫复数a+bi除以复数c+di的商。运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，
再用乘法法则运算，即
开方法则
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若zn=r(cosθ+isinθ)，则
(k=0，1，2，3…n-1)
运算律
加法交换律：z1+z2=z2+z1
乘法交换律：z1×z2=z2×z1
加法结合律：(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)
乘法结合律：(z1×z2)×z3=z1×(z2×z3)
分配律：z1×(z2+z3)=z1×z2+z1×z3
i的乘方法则i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1(其中n∈Z)
棣莫佛定理对于复数z=r(cosθ+isinθ)，有z的n次幂
zn=rn[cos(nθ)+isin(nθ)] (其中n是正整数)
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题目
答案
题目
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答案
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