2023年12月27日发(作者：侨光中学自主招生数学试卷)

高等数学A（下）课程考试试题参考解答

一、单项选择题(满分15分，每小题3分，共5道小题),请将合适选项填在括号内．

1.函数zxe的全微分dz【C】．

(A)

2xdxedy； (B)3xdxedy；

(C)

3xdxedy； (D)edx3xdy．

2222yy22y2y3y2.球面xyz1在点P(22,,0)处的切平面方程是【D】．

22(A)

xy20；(B)xy20；

(C)

xy20； (D)xy20．

3.设区域D(x,y)1x1,x2y1.，二重积分(A)

1；(B)0；

(C)

1； (D)xxD2．

cosxydxdy【B】1．

2(1)n4.级数的敛散性为【A】．

nn1(A) 条件收敛；(B)绝对收敛；

(C) 发散； (D)其它选项都不对．

122z(xy)5.曲线在点(2,4,5)处的切线对于x轴的倾角为【C】．

4y4；(B)；

33(C) ； (D)．

44二、填空题(满分15分，每小题3分，共5道小题)，请将答案填在横线上．

(A)

1.I51dy5y1dx=4.

ylnx2222.设L是圆周xyR，曲线积分xL2y2ds=2R3.

10x2可以展开为正弦级数，此正弦级数在x处收敛于1. 3.设f(x)40x2解由于x4是f(x)的连续点，则f(x)的正弦级数在x4收敛于f()1．

4x4.微分方程y2yy0的通解为y(c1c2x)e.

5.函数f(x,y,z)z3xyzy在点(1,2,3)处的梯度为(18,3,21).

332zz三．（满分10分）设zfxy,xyln2，求和（其中f具有二阶连续偏导数）.

xxy22解zf1y2f22xy

x四.（满分10分）计算曲线积分解

Lxy2dyx2ydx，其中L为圆周x2y2a2的正向.

Px2y,Qxy2，PQx2,y2，由格林公式，得

yx.

20drdr0a3a42五．（满分10分）试将函数fx解：

x0（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛域）。

etdt展成x的幂级数，2tnt 因为en0n!tt2nt， 则en!n0t2将上式两端逐项积分，得

六．（满分12分）计算曲面积分I(x3z2)dydz(y3x2)dzdx(z3y2)dxdy，

222xyz2其中是上半球面z1xy的上侧.

解添加辅助曲面：z0取下侧，使,构成封闭曲面，记所围成的空间闭区域为，由高斯公式,得，

**2PQR323232xzdydzyxdzdxzydxdydxdydz*xyz163xyzdxdydz3d2dr4sindr，

00052222

七.（满分12分）设y(x)是一个连续函数，且满足y(x)cos2x解由已知条件得微分方程初值问题

方程yysinx2sin2x的通解是

由初值条件y(0)1得ce

所以ye1cosxx0y(t)sintdt，求y(x)。

4cosx4

八.（满分10分）某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R（万元）与电台广告费用x（万元）及报纸广告费用y（万元）有如下关系：

Rx,y1514x32y8xy2x210y2，

（1）在广告费用不限的情况下，求最佳广告策略；

（2）如果提供的广告费用为1.5万元，求相应的广告策略。

解（1）设

Fx,yRx,yxy1513x31y8xy2x210y2，

（或F(x,y)Rx,y1514x32y8xy2x210y2）

FF138y4x0,148y4x0,xx令（或）

FF318x20y0,328x20y0,yy解得x3,45353y,,为Fx,y唯一的驻点。（或x,444235F,39.25（万元）。

443y1,,1）

2当电台广告费用与报纸广告费用分别为0.75万元和1.25万元时，最大利润为39.25（万元），此时为最佳广告策略。

（2）求广告费用为1.5万元的条件下的最佳广告策略，即为在条件xy1.5下，Fx,y的最大值。

令Gx,yFx,yx,y

1513x31y8xy2x210y2xy1.5，

Gx138y4x0,G由318x20y0,

yxy1.50,解得，x0,y1.5这是唯一的驻点，又由题意Gx,y一定存在最大值，故

F0,1.539（万元）为最大值。

1,内有连续二阶导数，f(1)0,f(1)1，且二元函数 九.（满分6分）设ft在2z2zz(xy)f(xy)满足220,求ft.

xy2222解（1）设rx2y2，由复合函数求导法则

2z1y2y2同理23z(r)2z(r).

yrrr代入方程有z(r)1z(r)0.又z(1)f(1)0,

rz(r)2rf(r2)r2f(r2)2r，

于是z(1)2,f(1)1.

1z(r)z(r)0,(2)解初值问题

rz(1)0,z(1)2.这是可降阶的二阶线性变系数微分方程.方程两边乘以r并积分，利用初始条件得

rz(r)\'0，rz(r)2.

所以，z(r)2lnr.

lnr2（3）由z(r)rf(r)2lnrf(r)2.

r222所以，f(t)

lnt.

t


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