2024年4月14日发(作者：大专经济数学试卷及答案)

高等数学教案

曲线积分与曲面积分

第十章 曲线积分与曲面积分

【教学目标与要求】

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。

2.掌握计算两类曲线积分的方法.

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数.

4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】

1。两类曲线积分的计算方法；

2。格林公式及其应用；

3。第一类曲面积分的计算方法；

【教学难点】

1。两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系；

2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算;

3。应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

6.两类曲线积分的计算方法；

7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分;

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学(下)》，第五版.高等教育出版社。

[2］ 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.

［3］同济大学数学系。《高等数学习题全解指南(下)》，第六版.高等教育出版社

§11.1 对弧长的曲线积分

一、 对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(x，y）处

的线密度为

(x，y)。 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段，s

1

，s

2

，s

n

(s

i

也表示弧长)；

任取(

i

i

)s

i

 得第i小段质量的近似值

（

i

i

）s

i

整个物质曲线的质量近似为

令

max｛s

1

s

2

s

n

｝0 则整个物质曲线的质量为

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这种和的极限在研究其它问题时也会遇到。

定义 设函数f（x，y）定义在可求长度的曲线L上，并且有界。，将L任意分成n个弧

段：s

1

s

2

，s

n

并用s

i

表示第i段的弧长在每一弧段s

i

上任取一点(

i

，

i

）作和；令

max｛s

1

s

2

s

n

}，如果当

0时这和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y)

在曲线弧L上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分记作即

其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段。

曲线积分的存在性：当f（xy)在光滑曲线弧L上连续时对弧长的曲线积分是存在的。 以

后我们总假定f(x，y）在L上是连续的。

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分的值， 其中

(x，y）为线

密度

对弧长的曲线积分的推广

如果L(或）是分段光滑的 则规定函数在L(或）上的曲线积分等于函数在光滑的各

段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L

1

及L

2

则规定

。

闭曲线积分：如果L是闭曲线，那么函数f(xy）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记

作 。

对弧长的曲线积分的性质：

性质1 设c

1

、c

2

为常数 则

；

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L

1

和L

2

 则

性质3设在L上f(xy)g(xy) 则

特别地 有

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x，y) 则曲线形构件

L的质量为 。

另一方面若曲线L的参数方程为

x

（t）y

（t) （

t

)，

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