2009-2010学年第二学期高等数学B试卷

2024年4月13日发(作者：人教版数学试卷讲解教案)

2009 — 2010学年第二学期《高等数学B》期末试题（C）

答案及评分标准

一、单选题(每题3分，共15分)

1、函数

ye

cx1

是微分方程

yy



(y



)

2

y



的（ D ）

A.特解 B.通解

C.不是解 D.是解，但既不是通解也不是特解



x3y2z10

2、直线L：



和平面



:4x2yz20

的位置关系是（ C ）

2xy10z30



A. L与



平行 B.

L



C.

L



D. L与



斜交

3、设

f(x,y)

在点

f(x,y)

的某邻域内有定义，且

f

x

(0,0)3,f

y

(0,0)1

，则有（ C ）

A.

dz

(0,0)

3dxdy

B. 曲面

zf(x,y)

在

(0,0,f(0,0))

点的一个法向量为

(3,1,1)



zf(x,y)

C. 曲线



在

(0,0,f(0,0))

点的一个切向量为

(1,0,3)



y0



zf(x,y)

D. 曲线



在

(0,0,f(0,0))

点的一个切向量为

(3,0,1)

y0



4、设平面闭区域

D(x,y)x

2

y

2

R

2

，

D

1

(x,y)x

2

y

2

R

2

,x0,y0

，



则下列等式正确的是(

D

)

A.



xdxdy4



xdxdy

B.



ydxdy4



ydxdy

DD

1

DD

1

C.



xydxdy4



xydxdy

DD

1

D.



x

2

dxdy4



x

2

dxdy

DD

1

5、若级数



a

n

收敛，则下列级数不收敛的是（ B ）

n1



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A.



2a

n

B.



(a

n

1)

C.

1



a

n

D.



a

n

n1n1n1n10



二、填空(每题3分，共18分)

1、





e

dx



1

2

x(lnx)

． 2、已知

ye

x

,ye

5x

是某个二阶常系数齐次线性方程的两个解,则该方程为

y\'\'4y\'5y0

.

3、 将

xoz

坐标面上的抛物线

z

2

5x

绕

ox

轴旋转而成的曲面方程是

y

2

z

2

5x

.

4、

11

lim(

3

xy)sincos

0.

(x,y)(0,0)

xy

11

00

5、 化



dx



f(x,y)dy

为极坐标形式的二次积分为





4

0

d





sec





0

f(rcos



,rsin



)rdr





2

d





4



csc



0

f(rcos



,rsin



)rdr

.

(1)

n

6、 幂级数



(x1)

2n1

的收敛区间为（0，2）.

n0

2n1

三、解答题(每题8分，共40分)

1. 求微分方程

y



yxe

x

的通解.

解 特征方程为

r

2

10,

特征根为

r

1

i,r

2

i,

故对应齐次方程的通解为

YC

1

cosxC

2

sinx,

------2分

*

*

观察可得,

y



yx

的一个特解为

y

1

x,

y



ye

x

的一个特解为

y

2

e

x

.

-----6分

**

由非齐次线性微分方程的叠加原理知

y

*

y

1

y

2

xe

x

1

2

1

2

是原方程的一个特解，从而原方程的通解为

y

C

1

cosxC

2

sinxxe

x

.

――8分

1

2

2. 设

函数

zf(2xy)g(x,xy)

，其中

f(t)

二阶可导，

g(u,v)

具有二阶连续偏导，

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

2

z

求.

xy

解：

z



(x,xy)yg

2



(x,xy)

---4分

2f



(2xy)g

1

x



2

z



(x,xy)g

2



(x,xy)xyg

21



(x,xy)

----8分

2f



(2xy)xg

12

xy

3.

求球体

x

2

y

2

z

2

4a

2

被圆柱面

x

2

y

2

2ax

(a0)

所截得的(含在圆

柱面内的部分)立体的体积.

解 由对称性，有

V4



4a

2

x

2

y

2

dxdy,

D

其中

D

为半圆周

y2axx

2

,

及

x

轴所围成的闭区域. --------------2分

在极坐标中，积分区域

D:0







2,0r2acos



.



V4



4arrdrd



4



2

d





D

0

22

2acos



0

4a

2

r

2

rdr

3232





2



a

3



2

(1sin

3



)d



a

3







.

----------------------8分

0

33



23





4.

某厂要用铁板做成一个体积为

2m

3

的有盖长方体水箱. 问当长、宽、高各取

怎样的尺寸时, 才能使用料最省.

d

min

7



7







4







437



2





41



2/2.

2



2



22

解 设水箱的长为

xm,

宽为

ym,

则其高应为

2/xym.

此水箱所用材料的面积



2

22







xyyx2xy

A

2





x

xyxy





2





(x0,y0).

---------------3分

y





此为目标函数.下面求使这函数取得最小值的点

(x,y).



令

A

x

2



y





2



2





0.

------------------------6分

0,

A2x



y

2

2



x



y



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