2024年4月14日发(作者：湖南溆浦中考数学试卷)
由于
，
连续，则。
即3axy
2
－2sin（x＋2y）≡6xy
2
－bsin（x＋2y）。
则a＝2，b＝2。
26函数u＝x
2
y
3
z
4
在点A（1，1，1）处从点A到点B（2，3，4）的方向导数等于（ ）。
A．20
B．－20
C．
D．
C
，，，向量的方向余弦为
【答案】
【解析】
27函数f（x，y，z）＝x
2
y
3
＋3y
2
z
3
在点（0，1，1）处方向导数的最大值为（ ）。
A．
B．
C．117
D．107
【答案】B
【解析】函数f（x，y，z）＝x
2
y
3
＋3y
2
z
3
在点（0，1，1）处方向导数的最大值等于f（x，y，
z），
在点（0，1，1）处梯度向量的模。
28函数f（x，y）＝arctan（y/x）在点（1，0）处的梯度向量为（ ）。
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，，则。
29设可微函数f（x，y，z）在点（x
0
，y
0
，z
0
）处的梯度向量为
g，l＝（0，2，2）为一常
向量，且
g·l＝1，则函数f（x，y，z）在点（x
0
，y
0
，z
0
）处沿
l方向的方向导数等于
（ ）。
A．
B．
C．
D．
→→→
→→
【答案】B
→
【解析】
设
l的方向余弦为cosα，cosβ，cosγ则
30已知由面z＝4－x
2
－y
2
上点P处的切平面平行于平面2x＋2y＋z－1＝0，则点P的坐标是
（ ）。
A．（1，－l，2）
B．（－l，1，2）
C．（1，1，2）
D．（－1，－l，2）
【答案】C
【解析】曲面z＝4－x
2
－y
2
在点（x
0
，y
0
，z
0
）处的法线向量为（2x
0
，2y
0
，1），由题设知
2x
0
/2＝2y
0
/2＝1/1，则x
0
＝y
0
＝1，代入z＝4－x
2
－y
2
得z
0
＝2。
31在曲线x＝t，y＝－t
2
，z＝t
3
的所有切线中，与平面x＋2y＋z＝4平行的切线（ ）。
A．只有一条
B．只有两条
C．至少有三条
D．不存在
【答案】B
→
【解析】
曲线x＝t，y＝－t
2
，z＝t
3
在t＝t处的切向量为
τ＝（1，－2t
，3t
2
）。
000
平面x＋2y＋z＝4的法线向量为
n＝（1，2，1），由题设知n⊥τ即1－4t
0
＋3t
0
2
＝0，则t
0
＝1或
t
0
＝1/3。
→→→
32曲线
在点（1，－l，0）处的切线方程为（ ）。
A．（x－1）/2＝y＋1＝z
B．（x－1）/2＝（y＋1）/2＝z/3
C．（x－1）/（－1）＝（y＋1）/（－1）＝z/1
D．x－1＝y＋1＝－z/2
【答案】D
→
【解析】
曲面x
2
＋y
2
＋z
2
＝2在点（1，－1，0）处的法线向量为
n
＝（2，－2，0），平面x＋y
1
＋z＝0在点（1，－1，0）处的法线向量为
n
2
＝（1，1，1），则曲线
→
在点（1，－1，0）处的切向量为
τ＝n
1
×n
2
＝（－2，－2，4），故所求切线方程为（x－
1）/1＝（y＋1）/1＝z/（－2）。
→→→
33函数f（x，y，z）＝x
2
＋y
2
＋z
2
在点（1，－l，1）处沿曲线x＝t，y＝－t
2
，z＝t
3
在该点指
向z轴负向一侧的切线方向的方向导数等于（ ）。
A．－12
B．12
C．－
D．
【答案】C
→
【解析】
曲线x＝t，y＝－t
2
，z＝t
3
在点（1，－1，1）处切线向量为
τ＝（1，－2，3），而指
向z轴负向一侧的切向量为（－1，2，－3）则所求的方向导数为
34曲面x
2/3
＋y
2/3
＋z
2/3
＝4任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为（ ）。
A．48
B．64
C．36
D．16
【答案】B
，则
【解析】
设
该曲面在点P（x，y，z）处的切平面方程为
令Y＝Z＝0，得X＝4x
1/3
，令X＝Z＝0，得Y＝4y
1/3
。
令X＝Y＝0，得Z＝4z
1/3
，故X
2
＋Y
2
＋Z
2
＝16（x
2/3
＋y
2/3
＋z
2/3
）＝64。
35下列命题正确的是（ ）。
A．若（x
0
，y
0
）为f（x，y）的极值点，则（x
0
，y
0
）必为f（x，y）的驻点
B．若（x
0
，y
0
）为f（x，y）的驻点，则（x
0
，y
0
）必为f（x，y）的极值点
C．若f（x，y）为有界闭区域D上连续的函数，f（x，y）在D内部有唯一的极值点（x
0
，
y
0
），且f（x，y）在该点取极大值，则f（x，y）在点（x
0
，y
0
）取得它在D上的最大值
D．若f（x，y）在点（x
0
，y
0
）取得极小值，则f（x，y
0
）在x＝x
0
处取极小值，f（x
0
，y）在
y＝y
0
处取极小值
【答案】D
【解析】由f（x，y）在点（x
0
，y
0
）取得极小值及极值的定义可知f（x，y
0
）在X＝X
0
取极小
值，f（x
0
，y）在y＝y
0
处取极小值。
36设f（x，y）与φ（x，y）均为可微函数，且φ′
y
（x，y）≠0，已知（x
0
，y
0
）是f（x，y）
在约束条件φ（x，y）＝0下的一个极值点，下列选项正确的是（ ）。
A．若f
x
（x
0
，y
0
）＝0，则f
y
（x
0
，y
0
）＝0
B．若f
x
（x
0
，y
0
）＝0，则f
y
（x
0
，y
0
）≠0
C．若f
x
（x
0
，y
0
）≠0，则f
y
（x
0
，y
0
）＝0
D．若f
x
（x
0
，y
0
）≠0，则f
y
（x
0
，y
0
）≠0
【答案】D
【解析】令F（x，y，λ）＝f（x，y）＋λφ（x，y），由拉格朗日乘数法及题设条件得
若f
x
（x
0
，y
0
）≠0，则必有f
y
（x
0
，y
0
）≠0，否则由f
y
（x
0
，y
0
）＝0及（2）式知，
，则λ＝0，将λ＝0代入（1）式得f
x
（x
0
，y
0
）＝0，与题设矛盾。
37设函数z＝f（z，y）在点（0，0）处连续，且
A．f
x
（0，0）不存在
B．f
x
（0，0）存在但不为零
C．f（x，y）在（0，0）点取极大值
D．f（x，y）在（0，0）点取极小值
，则（ ）。
【答案】C
【解析】
解法一：由及f（x，y）在点（0，0）处的连续性知f（0，
0）＝0，而又由及极限的保号性知存在（0，0）点的某个去心
邻域，在此去心邻域内，有
而，则f（x，y）＜0，又f（0，0）＝0。
由极值定义知f（x，y）在点（0，0）取极大值。
解法二：由于当（x，y）→（0，0）时，
取f（x，y）＝－（x
2
＋y
2
）显然满足题设条件，但f
x
（0，0）＝0且由极值定义知，f（x，y）
在点（0，0）取极大值，则排除A、B、D三项。
38函数f（x，y）＝1＋x＋y在区域x
2
＋y
2
≤1上的最大值与最小值之积为（ ）。
A．－1
B．1
C．
D．
【答案】A
【解析】
显然f（x，y）＝1＋x＋y在区域x
2
＋y
2
≤1内无驻点，令
F（x，y，λ）＝1＋x＋y＋λ（x
2
＋y
2
－1）
则由
得
最小值之积为
，
为最大值，为最小值，则最大值和
39曲面x
2
＋y
2
＋z
2
＝1到平面x＋2y＋z＝10距离最大的点为（ ）。
A．
B．
C．
D．（1/3，1/3，1/3）
【答案】B
【解析】由几何意义可知，球面x
2
＋y
2
＋z
2
＝1到平面x＋2y＋z＝10距离最大的点处的切平面与
平面x＋2y＋z＝10平行，且在第七卦限。
球面x
2
＋y
2
＋z
2
＝1在点（x，y，z）处的法向量为
n
1
＝（x，y，z），平面x＋2y＋z＝10的法向
量为
n
2
＝（1，2，1）则x/1＝y/2＝z/1＝λ即x＝λ，y＝2λ，z＝λ。将其代入x
2
＋y
2
＋z
2
＝1，得
6λ
2
＝1，
→
→
。由于所求点在第七卦限，则所求点为。
40设函数u（x，y），v（x，y）在点（x，y）的某邻域可微分，则在点（x，y）处有grad
（uv）＝（ ）。
A．gradu·gradv
B．ugradv＋vgradu
C．ugradv
D．vgradu
→
→
→→
→→
→
【答案】B
【解析】令z＝uv，则
二、填空题
1设f（x，y）＝（1＋xy）
1/x
，则。
【答案】e
【解析】由于f（x，y）＝（1＋xy）
1/x
，故
2设z＝（x＋e
y
）
x
，则
。
【答案】1＋2ln2
【解析】在求函数在某一点的偏导数时，为计算简便，可以这样求：
令y＝0，则函数z（x，0）＝（1＋x）
x
＝e
xln（1＋x）。
即
3设，则。
【答案】
【解析】令u＝y/x，v＝x/y，则z＝u
v
。
将x＝1，y＝2代入上式得。
4u＝（x－2y）
y－2x
，则
。
【答案】－2
【解析】令y＝0，则u＝（x－2y）
y－2x
＝x
－2x
，故
u
x
′＝（e
－2xlnx
）
x
′＝x
－2x
（－2xlnx）′＝－2x
－2x
（1＋lnx）
将x＝1代入得。
5若函数u＝sin（y＋3z），其中z是由方程z
2
y－xz
3
＝1确定的x，y的函数，则
。
【答案】cos3
【解析】令y＝0，得u＝sin（y＋3z）＝sin3z，且代入x
2
y－xz
3
＝1方程中，得z＝－x
－1/3
。故
6设函数z＝z（x，y）由方程F（x－az，y－bz）＝0所给出，其中F（u，v）任意可微，则
。
【答案】1
【解析】根据偏导数的求解方法可知
故。
7设f（x，y，z）＝e
x
yz
2
，其中z＝z（x，y）是由x＋y＋z＋xyz＝0确定的隐函数，则f
x
′（0，1，－1）＝______。
【答案】1
【解析】由题意，构造函数F（x，y，z）＝x＋y＋z＋xyz，则有
又由f（x，y，z）＝e
x
yz
2
，得f
x
′＝e
x
yz
2
＋e
x
y·2z·z
x
′。
将（0，1，－1）代入f
x
′得f
x
′（0，1，－1）＝e
0
·1·（－1）
2
＋e
0
·1·2（－1）·0＝1。
8函数z＝z（x，y）由方程z＝e
2x－3z
＋2y确定，则。
【答案】2
【解析】由题意，构造函数F（x，y，z）＝z－e
2x－3z
－2y。则
故
。
9函数y＝y（x）由方程所确定，则。
【答案】
2（x
2
＋y
2
）/（x－y）
3
【解析】构造函数F（x，y）＝ln（x
2
＋y
2
）/2－arctan（y/x）。则
10设z＝f（xy）/x＋yφ（x＋y），f和φ具有二阶连续导数，则。
【答案】yf″（xy）＋φ′（x＋y）＋yφ″（x＋y）
【解析】
11设z＝f（x，xy）二阶偏导数连续，则。
【答案】f
2
′＋xf
12
″＋xyf
22
″
【解析】
12若u＝（x/y）
1/x
，则du
（1，1，1）
＝______。
【答案】dx－dy
【解析】
由于，且
则du＝dx－dy。
13设二元函数z＝xe
x＋y
＋（x＋1）ln（1＋y），则dz|
（1，0）
＝______。
【答案】2edx＋（e＋2）dy
【解析】由二元函数z＝xe
x＋y
＋（x＋1）ln（1＋y）得
故有
14设函数f（u）可微，且f′（0）＝1/2，则z＝f（4x
2
－y
2
）在点（1，2）处的全微分dz|
（1，2）
＝______。
4dx－2dy
若要求全微分，则需求出函数对各个自变量的偏导。令u＝4x
2
－y
2
，故
将（1，2）代入u＝4x
2
－y
2
得u＝0。又f′（0）＝1/2，故dz|
（1，2）
＝f′（0）·8dx＋f′（0）·（－
2·2）dy＝4dx－2dy。
15设，则。
【答案】
【解析】
【答案】1
【解析】
16曲线x＝1＋t，y＝1/t，z＝t
2
对应于t＝1点处的切线为______。
【答案】（x－2）/1＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2
【解析】将t＝1代入曲线方程得（2，1，1），为曲线上t＝1处对应的点，
对应的切线的方向向量为
即（1，－1，2）。故该切线方程为（x－2）/1＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2。
17曲面x
2
＋2y
2
＋3z
2
＝21在点（1，－2，2）的法线方程为______。
【答案】（x－1）/1＝（y＋2）/（－4）＝（z－2）/6
【解析】由题意，构造函数F（x，y，z）＝x
2
＋2y
2
＋3z
2
－21。则有
F
x
′（1，－2，2）＝2，F
y
′（1，－2，2）＝－8，F
z
′（1，－2，2）＝12
则所求法线的方向向量为（1，－4，6）。又法线过点（1，－2，2），故所求法线方程为
（x－1）/1＝（y＋2）/（－4）＝（z－2）/6
18曲面z－e
z
＋2xy＝3在点（1，2，0）处的切平面方程为______。
【答案】4（x－1）＋2（y－2）＝0
【解析】构造函数F（x，y，z）＝z－e
z
＋2xy－3，则
F′
x
＝2y，F′
y
＝2x，F′
z
＝1－e
z
将点（1，2，0）代入上式，即可得此点处切平面的法线向量为，故切平面方程为
4（x－1）＋2（y－2）＝0。
19设f（u，v）是二元可微函数，z＝f（y/x，x/y），则。
【答案】2（－yf′
1
/x＋xf′
2
/y）
【解析】设f′
1
为函数f（u，v）对第一中间变量的偏导，f′
2
为函数f（u，v）对第二中间变量的
偏导，则
20设z＝f（xy，x/y）＋g（y/x），其中f、g均可微，则。
【答案】
yf
1
′＋f
2
′/y－yg′/x
2
【解析】设f′
1
为函数f（u，v）对第一中间变量的偏导，f′
2
为函数f（u，v）对第二中间变量的
偏导，g′为函数g对x的导数。则
21设方程F（x/z，z/y）＝0可确定函数z＝z（x，y），。
【答案】
【解析】由题意，有
22已知z＝z（u），且，其中z（u）可微，ψ′（u）连续且ψ′（u）≠1，
p（t）连续，则。
【答案】0
【解析】
由可知
故
则
23设z＝e
－x
－f（x－2y），且当y＝0时，z＝x
2
，则。
【答案】
2（x－2y）－e
－x
＋e
2y－x
【解析】由y＝0时，z＝x
2
，以及z＝e
－x
－f（x－2y）可知
f（x）＝e
－x
－x
2
故
令u＝x－2y，则
，
。
24函数f（u，v）由关系式f（xg（y），y）＝x＋g（y）确定，其中函数g（y）可微，且
g（y）≠0，则。
【答案】－g′（v）/g
2
（v）
【解析】若要求f（u，v）对自变量的偏导，则需将关系式f（xg（y），y）＝x＋g（y）转化
为只含有u，v的关系式，故令u＝xg（y），v＝y，则x＝u/g（v），y＝v，f（u，v）＝
u/g（v）＋g（v）。故，。
25若u＝u（x，y）为可微函数且满足u（x，y）|
y＝x²
＝1，，则。
【答案】－1/2
【解析】
在u（x，y）|
y＝x²
＝1两边求导得，又，即
26设函数y＝y（x）由方程y＝f（x
2
＋y
2
）＋f（x＋y）所确定，且y（0）＝2，其中f是可导
函数，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1，则
。
【答案】－1/7
【解析】在方程y＝f（x
2
＋y
2
）＋f（x＋y）两边分别对x求导得
y
x
′＝f′（x
2
＋y
2
）（2x＋2y·y
x
′）＋f′（x＋y）（1＋y
x
′）
又y（0）＝2，f′（2）＝1/2，f′（4）＝1。
故
y′|
x＝0
＝f′（4）·4y′|
x＝0
＋f′（2）（1＋y′|
x＝0
）
y′|
x＝0
＝4y′|
x＝0
＋（1＋y′|
x＝0
）/2
解得y′|
x＝0
＝－1/7。
27由方程所确定的函数z＝z（x，y）在点（1，0，－
分dz＝______。
构造函数，则
将（1，0，－1）代入上式得
1）处的全微
【答案】
【解析】
故。
28曲面x
2
＋y
2
＋z
2
－xy－3＝0上同时垂直于平面z＝0， x＋y－1＝0的切平面方程为
______。
【答案】x－y±2＝0
→
【解析】
由题意知，曲面x
2
＋y
2
＋z
2
－xy－3＝0的切平面的法线向量可表示为
n＝{2x－y，2y－
x，2z}。
又由于切平面垂直于平面z＝0和x＋y－1＝0，
故有
（2x－y，2y－x，2z）·（0，0，1）＝0
（2x－y，2y－x，2z）·（1，1，0）＝0
解得z＝0，x＝－y。将z＝0，x＝－y代入曲面方程，解得x＝－y＝±1，则有：
切平面方程为：，即x－y±2＝0。
。故
29曲面z＝x
2
＋y
2
与平面2x＋4y－z＝0平行的切平面的方程是______。
【答案】2x＋4y－z－5＝0
【解析】由题意，设曲面上有点P
0
（x
0
，y
0
，z
0
），使得曲面在此点的切平面与平面2x＋4y－z
＝0平行。
由曲面方程z＝x
2
＋y
2
得，曲面在P
0
处的法向量为（－2x
0
，－2y
0
，1），
它应该与已知平面2x＋4y－z＝0的法向量
解得
平行，即－2x
0
/2＝－2y
0
/4＝1/（－1），
x
0
＝1，y
0
＝2，z
0
＝x
0
2
＋y
0
2
＝5
故所求切平面方程为2（x－1）＋4（y－2）－（z－5）＝0，即2x＋4y－z＝5。
30过直线且平行于曲线在点（1，－
面方程为______。
3x－9y－12z＋17＝0
由题意设所求平面为x＋2y＋z－1＋λ（x－y－2z＋3）＝0。
即（1＋λ）x＋（2－λ）y＋（1－2λ）z－1＋3λ＝0。
在曲线的两边对x求导得
将点（1，－1，2）代入，解得
故曲线在（1，－1，2）处的切线的方向向量为。
由题意知，所求平面的法线向量与切线的方向向量垂直，
即（1＋λ）·1＋（2－λ）·3＋（1－2λ）·（－2）＝0。
解得λ＝－5/2，故所求平面方程为3x－9y－12z＋17＝0。
1，2）处的切线的平
【答案】
【解析】
31函数f（x，y）＝x
2
y（4－x－y）在由直线x＋y＝6，x轴和y轴所围成的闭区域D上的最小
值为______。
【答案】－64
【解析】由
得区域D内驻点（2，1）。
在边界y＝0（0≤x≤6）上，z＝0；
在边界x＝0（0≤y≤6）上，z＝0；
在边界x＋y＝6（0≤y≤6）上z＝2x
3
－12x
2
（0≤x≤6），dz/dx＝6x
2
－24x。
令dz/dx＝0，得x＝4，此时y＝2，f（4，2）＝－64，f（2，1）＝4，f（0，0）＝0，
则z＝f（x，y）在D上的最大值为f（2，1）＝－4，最小值为f（4，2）＝－64。
32设函数u（x，y，z）＝1＋x
2
/6＋y
2
/12＋z
2
/18，单位向量，则
。
【答案】
【解析】
由函数u（x，y，z）＝1＋x
2
/6＋y
2
/12＋z
2
/18得
则
即
33设u＝u（x，y，z）具有二阶连续偏导数，则_____。
【答案】
【解析】
，则
34设f（x，y）＝ax＋by，其中a，b为常数，则f（xy，f（x，y））＝______。
【答案】axy＋abx＋b
2
y
【解析】
由f（x，y）＝ax＋by知f（xy，f（x，y））＝axy＋b（ax＋by）＝axy＋abx＋b
2
y。
35。
【答案】0
【解析】由于
（其中），且
再结合夹逼定理可得，
，即。
36二元函数f（x，y）＝x
2
（2＋y
2
）＋ylny的极小值为______。
【答案】－1/e
【解析】f
x
′＝2x（2＋y
2
），f
y
′＝2x
2
y＋lny＋1。
令，解得驻点（0，1/e），
所以B
2
－AC＝－2e（2＋1/e
2
）＜0，又A＞0，则f（0，1/e）是f（x，y）的极小值，极小值
为f（0，1/e）＝－1/e。
37设，则。
【答案】2/3
，则。
【解析】
令
38函数f（x，y，z）＝x
2
＋y
2
＋z
2
在点（1，－l，0）处沿球面x
2
＋y
2
＋z
2
＝2在该点的外法线
方向的方向导数
。
【答案】
→
【解析】
球面x
2
＋y
2
＋z
2
＝2在点（1，－2，1）处的外法线向量为
n＝（1，－1，0），其方向
余弦为，，，则
39设向量场
的方向导数
，则其散度在点M（1，1，2）处沿方向
。
【答案】22/3
【解析】
，于是
而
故
40设函数z＝f（x，y）在点（0，1）的某邻域内可微，且f（x，y＋1）＝1＋2x＋3y＋
ο（ρ），其中。则曲面z＝f（x，y）在点（0，1）处的切平面方程为______。
【答案】2x＋3y－z＝2
【解析】由题意，易知f（0，1）＝1。于是f（x，y＋1）＝1＋2x＋3y＋ο（ρ）可改写为f（x，
y＋1）－f（0，1）＝2x＋3y＋ο（ρ），因此f′
x
（0，1）＝2，f′
y
（0，1）＝3。
故曲面z＝f（x，y）在点（0，1）处的切平面方程为：－2·（x－0）－3·（y－1）＋1·（z－
1）＝0，即2x＋3y－z＝2。
41设函数z＝f（x，y）在点（0，1）的某邻域内可微，且f（x，y＋1）＝1＋2x＋3y＋
o（ρ），其中。则曲面z＝f（x，y）在点（0，1）处的切平面方程为______。
【答案】2x＋3y－z＝2
【解析】由题意，易知f（0，1）＝1。于是f（x，y＋1）＝1＋2x＋3y＋o（ρ），
可改写为 f（x，y＋1）－f（0，1）＝2x＋3y＋o（ρ）。
因此
故曲面z＝f（x，y）在点（0，1）处的切平面方程为
－2·（x－0）－3·（y－1）＋1·（z－1）＝0
即2x＋3y－z＝2。
42由曲线
量为______。
绕y轴旋转一周所得旋转曲面在点处指向外侧的单位法向
【答案】
【解析】根据曲线绕y轴形成的旋转曲面的计算方法可计算得到，旋转曲面的方程为3x
2
＋2y
2
＋3z
2
＝12。
而旋转曲面上任一点M
0
（x
0
，y
0
，z
0
）处的切平面的法向量为
其中F＝3x
2
＋2y
2
＋3z
2
－12。
故在点处曲面指向外侧的法线向量为
将其单位化，得
三、解答题
1设f（x，y）＝3x＋4y－ax
2
－2ay
2
－2bxy，试问参数a，b满足什么条件时，f（x，y）有唯
一的极大值？参数a，b满足什么条件时，f（x，y）有唯一的极小值？
解：由极值的必要条件，得方程组
即
。
当8a
2
－4b
2
≠0时，f（x，y）有唯一驻点，。
记，，。
当AC－B
2
＝8a
2
－4b
2
＞0时，即当2a
2
－b
2
＞0时，f（x，y）有极值。
当A＝－2a＞0时，即当a＜0时，其有极小值；
当A＝－2a＜0时，即当a＞0时，其有极大值。
综上所述，得
当2a
2
－b
2
＞0且a＜0时，其有唯一极小值；
当2a
2
－b
2
＞0且a＞0时，其有唯一极大值。
2设z＝f（x
2
－y
2
，cos（xy）），x＝rcosθ，y＝rsinθ，其中f有一阶连续偏导数，求
解：结合题中所给条件，可得
。
3设z＝y/f（x
2
－y
2
），其中f为可微函数，求。
解：在z＝y/f（x
2
－y
2
）中，由于函数f不是以单独一个字母作为自变量，从而造成计算不方
便，故令x
2
－y
2
＝u，得z＝y/f（u），故
则
4若函数f（x，y，z）恒满足关系式f（tx，ty，tz）＝t
k
f（x，y，z）就称为k次齐次函数，
验证k次齐次函数满足关系式
其中f存在一阶连续偏导数。
解：为简化计算，可令u＝tx，v＝ty，w＝tz，则f（u，v，w）＝t
k
f（x，y，z），
两边同时对t求导，得
则上式对一切实数t都成立。令t＝1，得。
5设函数z＝F（π/2－arctanx，xy），其中F有二阶连续偏导数，求
解：由z＝F（π/2－arctanx，xy）可得
。
6设z＝x
2
f[1＋φ（x/y）]，f、φ为可微函数，求dz。
解：由于
则
，令u＝x/y，则将其代入原式得z＝x
2
f[1＋φ（u）]。
则
7设z＝z（x，y）是由方程x
2
＋y
2
－z＝φ（x＋y＋z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数且
φ′≠－1。
（1）求dz；
（2）记，求。
解：（1）由方程x
2
＋y
2
－z＝φ（x＋y＋z），两边同时微分得
2（xdx＋ydy）－dz＝φ′（x＋y＋z）（dx＋dy＋dz）
又φ′≠－1，则。
（2）由（1）可得
，
，故
8设函数z＝z（x，y）的z
x
′、z
y
′、z
xy
″均存在且连续，试用变换，把
化成
解：将，
，并求z（x，y）。
中的x，y用u，v表示，得x＝（u＋v）/2，y＝（v－u）
2
/16，则
故
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