数学分析(考研必看)

2024年4月9日发(作者：为什么数学试卷要用答题卡)

数

学

分

析

第一章实数集与函数

§1.实数

一、 实数及其性质

1. 实数的定义：实数，是有理数和无理数的总称。

2. 实数的六大性质：

①（四则运算封闭性）：实数集R对加、减、乘、除（除数不为0）四则运算封闭，即

任意两个实数的和、差、积、商（除数不为0）仍然是实数。

②（有序性）：实数集是有序的，即任意两个实数a, b必满足以下三种关系之一：a

a=b、a>b。

③（传递性）：实数的大小关系具有传递性，即若a>b, b>c则a>c。

④（阿基米德性）：实数具有阿基米德性，即对任何a, b∈R, 若b>a>0,则存在正整数

na>b.

⑤(稠密性)：实数集R具有稠密性，即任意两个不相等的实数之间必有另外一个实数，

且既有有理数也有无理数。

⑥实数集R与数轴上点一一对应。

二、 绝对值与不等式

1. 实数绝对值的性质：

①

aa0;当且仅当a0时有a0

②

-aaa

③

ahhah;ahhah

④

三角不等式ababab

⑤

⑥

abab

§2数集·确界原理

a

a

(b0)

bb

一、 区间与邻域

1. 有限区间：开区间：



区间：



xaxb



xaxb



记作



a,b



；闭区间：



xaxb



记作



a,b



；半开半闭

记作



a,b



，



xaxb



记作



a,b



无限区间：



,a







xa



，



,a







xxa



，



a,







xxa



，



,







xx



R

xa

2. 邻域：设

aR

,

0

,满足绝对值不等式的全体实数x的集合称为点

a

的邻

Ua;Ua

域，记作



或写作



，即有

3.

4. 。

U



a;







xxa







a,a



5. 空心邻域：点

a

的空心邻域记为

6.

U

0

(a;)x0xa



7. ，与邻域的区别：空心邻域不含

a

。

点

a

的右邻域：

U



(a;)[a,a)

；

点

a

的左邻域：

U



(a;)(aa]

；

同理去除点

a

分别为

a

的空心左邻域和空心右邻域。

二、 有界集·确界原理

1、 定义1：设S为R中的一个数集，若存在数M（L），使得对一切

xS

都有

xM(xL)

，则称S有上界（下界）的数集，数M（L）称为S的一个上界。

2、 若数集既有上界又有下界，则称S为有界集，若S不是有界集，则称S为无界

集。

3、 定义2：设S是R中的一个数集，若数满足：

i. 对一切

xS

,有

x

，即是S的上界。

ii. 对任何，存在

x

0

S

，使得

x

0



，即是S的最小上界。记作

supS

4、 定义3：设S是R中的一个数集，若数满足：

i. 对一切

xS

,有

x

，即是是S的下界。

ii. 对任何，存在

x

0

S

，使得

x

0



，即是S的最大下界。记作

infS

5、 上确界与下确界统称为确界。

6、 定理1.1（确界原理）设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有

下界，则S必有下确界。

7、 推广的确界原理：任一非空数集必有上下确界。