共轭虚数的概念

2024年4月6日发(作者：今年衡阳小升初数学试卷)

共轭虚数的概念

共轭虚数是复数中一个非常重要的概念，它在复数的运算、三角形复数表示法以

及复数平面中起着至关重要的作用。共轭虚数可以通过改变虚部的符号得到，也

可以说是将复数的虚部取负。在数学中，共轭虚数具有一些特殊的性质和应用。

首先，定义一个复数为a+bi，其中a和b都是实数，a为实部，b为虚部。如

果将虚部b取负，那么得到的共轭虚数为a-bi。可以看出，共轭虚数与原复数

在实部上是相同的，而在虚部上则互为相反数。

共轭虚数的一个重要性质是，对于任意一个复数a+bi，它与其共轭虚数a-bi相

乘的结果为实数。换句话说，它们的乘积的虚部为0。这一性质可以通过将两个

复数相乘展开来证明：

(a+bi)(a-bi) = a^2 - abi + abi - b^2i^2 = a^2 - b^2i^2

由于i^2等于-1，所以上式可以化简为：

a^2 + b^2

可以看出，乘积的虚部为0，也就是说，两个共轭虚数的乘积是一个实数。

共轭虚数还可以用来求解复数的模。复数的模表示为复数到原点的距离，即复数

的绝对值。对于一个复数a+bi，它的模表示为 a+bi 。可以利用共轭虚数的性

质来进行计算。将复数和它的共轭虚数相乘，得到的结果是一个实数，然后再开

平方根，就可以求得复数的模。具体的计算步骤如下：

a+bi = √((a+bi)(a-bi))

= √(a^2 - abi + abi - b^2i^2)

= √(a^2 + b^2)

可以看出，复数的模等于它和它的共轭虚数的乘积的开平方。

在复数的运算中，共轭虚数有着重要的应用。当计算复数的乘法或除法时，可以

利用共轭虚数的性质来简化运算。例如，当我们需要计算两个复数a+bi和c+di

的乘法时，可以通过下面的公式进行运算：

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

这个公式中，可以看出虚部的计算部分是由ad和bc两部分组成的。如果对于

虚部的这两部分分别取它们的相反数，那么得到的结果就是两个共轭虚数的乘积。

这样，在计算复数的乘法时，就可以转化成计算两个实数的乘法，从而简化了运

算。

此外，共轭虚数还在三角形复数表示法中发挥着重要作用。在三角形复数表示法

中，复数可以写成模的形式乘以一个指数函数。例如，复数z可以表示为z = z

* e^(iθ)，其中 z 是复数的模，θ是一个角度。当虚部为正时，θ为正的值；当

虚部为负时，θ为负的值。可以看出，当虚部为负时，虚穷值和θ的关系是互为

相反数。因此，共轭虚数可以用来表示复数的共轭角度，在三角形复数表示法中

起到了重要的作用。

综上所述，共轭虚数是复数中的一个重要概念，它与原复数在实部相等，而在虚

部上则是相反数。共轭虚数具有一些重要的性质和应用，包括与原复数的乘积为

实数、用于求解复数的模、简化复数运算以及在三角形复数表示法中的作用等。

共轭虚数的概念在数学中具有广泛的应用和重要的意义。