2024年4月17日发(作者：吴中吴江相城数学试卷答案)

2023年高考数学模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

x

2

y

2

x

2

y

2

3

1

1

2

2

CC

CC

C

b

2

b

2

1．已知

ab0

，椭圆

1

的方程

a

，双曲线

2

的方程为

a

，

1

和

2

的离心率之积为

2

，则

2

的渐近线方程为（ ）

A．

x2y0

B．

2xy0

C．

x2y0

D．

2xy0

1

2．记集合

域

A

x,y

x

2

y

2

16

和集合

B

x,y

xy4,x0,y0

表示的平面区域分别是

和

,若在区

2

1

内任取一点,则该点落在区域

2

的概率为( )

1

2

1

1

A．

4

B．

C．

2

D．

4

3．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是( )

A．18种 B．36种 C．54种 D．72种

4．胡夫金字塔是底面为正方形的锥体，四个侧面都是相同的等腰三角形．研究发现，该金字塔底面周长除以

2

倍的塔

355



113

高，恰好为祖冲之发现的密率．设胡夫金字塔的高为

h

，假如对胡夫金字塔进行亮化，沿其侧棱和底边布设单

条灯带，则需要灯带的总长度约为



2

4

2

16

(4)h(2)h

24

A． B．

C．

(842

2

1)h

D．

(22

2

16)h

B

x|y

5．已知实数集

R

，集合

A{x|1x3}

，集合

1

x2

，则

A

C

R

B

（ ）

A．

{x|1x2}

B．

{x|1x3}

C．

{x|2x3}

D．

{x|1x2}

6．已知

x

与

y

之间的一组数据：

x

1 2

3.2

3

4.8

4

7.5

y

m

若

y

关于

x

的线性回归方程为

y2.1x0.25

，则

m

的值为（ ）

A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.5

7．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专

家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（ ）

1111

A．

6

B．

4

C．

3

D．

2

y

8．函数

1

ln

x1

x

的图象大致为( )

A． B．

C． D．

9．若点

A．

位于由曲线

B． C．

与围成的封闭区域内（包括边界），则

D．

的取值范围是（ ）

10．已知正四棱锥

SABCD

的侧棱长与底面边长都相等，

E

是

SB

的中点，则

AE，SD

所成的角的余弦值为（ ）

2

1

3

2

A．

3

B．

3

C．

3

D．

3

11．若复数z满足

z(12i)10

,则复数z在复平面内对应的点在( )

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

12．设

m

，

n

是空间两条不同的直线，

，

是空间两个不同的平面，给出下列四个命题：

①若

m//

，

n//

，

//

，则

m//n

；

②若

，

m

，

m

，则

m//

；

③若

mn

，

m

，

//

，则

n//

；

④若

，



l

，

m//

，

ml

，则

m

.其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

a,ab

1

min

a,b

f

x

e

x

b,ab

，已知

m

，

g

x

x1

13．定义

mx2m

2

m1

，若

h

x

min

f

x

,g

x

恰好有3个零点，则实数

m

的取值范围是________.

26

14．已知四棱锥

PABCD

，底面四边形

ABCD

为正方形，

PAPBPCPD

，四棱锥的体积为

3

，在该四

棱锥内放置一球

O

，则球

O

体积的最大值为_________．

15．下图是一个算法流程图，则输出的S的值是______.

z

1bi

z

a,bR

16．已知，复数

zai

且

1i

（

i

为虚数单位），则

ab

__________，_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）若数列

（1）求数列

a

n

前n项和为

S

n

，且满足

S

n

t

a

n

2

t1

（t为常数，且

t0,t1

）

a

n

的通项公式：

，且数列（2）设

b

n

1S

n

b

n

为等比数列，令

c

n

a

n

log

3

b

n

，.求证：

c

1

c

2

c

n

3

2

.

x12cos

y2sin

xOy

18．（12分）在直角坐标系中，曲线

C

的参数方程为

（

为参数）.以坐标原点为极点，

x

轴正

半轴为极轴，建立极坐标系.已知点

P

的直角坐标为

2,0

，过

P

的直线

l

与曲线

C

相交于

M

，

N

两点.

（1）若

l

的斜率为2，求

l

的极坐标方程和曲线

C

的普通方程；

（2）求

PMPN

的值.

*

n(nN)

19．（12分）一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的

1

个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为

2

，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，

如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．

（1）当

n

取何值时，有3个坑要补播种的概率最大？最大概率为多少？

（2）当

n4

时，用

X

表示要补播种的坑的个数，求

X

的分布列与数学期望．

、B、C

的对边分别为

a、b、c

，且

sinAsinB

20．（12分）已知

ABC

的内角

A

（Ⅰ）求

C

；

2

sin

2

CsinAsinB

.

（Ⅱ）若

c1,ABC

的周长是否有最大值？如果有，求出这个最大值，如果没有，请说明理由.

21．（12分）在四棱柱

ABCDA

1

B

1

C

1

D

1

中，底面

ABCD

为正方形，

ACBDO

，

A

1

O

平面

ABCD

．

（1）证明：

（2）若

A

1

O//

平面

B

1

CD

1

；

ABAA

1

，求二面角

D

1

AB

1

A

1

的余弦值．

22．（10分）设函数

（1）求不等式

（2）若

f

x

x12x1

的解集；

．

f

x

3

f

x

x

2

y1

z2

xyza

a

的最小值为，且，求的最小值．

22

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【解析】

3

C

C

根据椭圆与双曲线离心率的表示形式，结合

1

和

2

的离心率之积为

2

，即可得

a,b

的关系，进而得双曲线的离心率

方程.

【详解】

x

2

y

2

x

2

y

2

2

1

2

1

2

2

C

C

1

b

b

椭圆的方程

a

，双曲线

2

的方程为

a

，

e

1

a

2

b

2

e

2

a

，双曲线的离心率

a

2

b

2

a

， 则椭圆离心率

3

C

C

由

1

和

2

的离心率之积为

2

，

a

2

b

2

a

2

b

2

3

e

1

e

2



aa2

， 即

b2



2

， 解得

a

y

所以渐近线方程为

化简可得

2

x

2

，

x2y0

，

故选：A.

【点睛】

本题考查了椭圆与双曲线简单几何性质应用，椭圆与双曲线离心率表示形式，双曲线渐近线方程求法，属于基础题.

2、C

【解析】

据题意可知，是与面积有关的几何概率，要求

M

落在区域

P

区域

2

的面积

区域

1

的面积

，计算即可得答案．

2

内的概率，只要求

A

、

B

所表示区域的面积，然后代入

概率公式

【详解】

22

根据题意可得集合

A{(x,y)|xy16}

所表示的区域即为如图所表示：

的圆及内部的平面区域，面积为

16

，

集合

B{(x,y)|xy40

，

x0

，

y0}

表示的平面区域即为图中的

RtAOB

，

S

AOB

1

448

2

，

根据几何概率的计算公式可得

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了几何概率的计算，本题是与面积有关的几何概率模型．解决本题的关键是要准确求出两区域的面积．

3、B

【解析】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇即得.

【详解】

把4名大学生按人数分成3组，为1人、1人、2人，再把这三组分配到3个乡镇，

则不同的分配方案有

23

C

4

A

3

36

P

81

16

2

，

种.

故选：

B

.

【点睛】

本题考查排列组合，属于基础题.

4、D

【解析】

4ah

a

2

， 设胡夫金字塔的底面边长为

a

，由题可得

2h

，所以

2a

2

2

h

2

h2

2

16

2

h()h

284

该金字塔的侧棱长为，

2

h2

2

16h

44(2

42

所以需要灯带的总长度约为

2

2

16)h

，故选D．

5、A

【解析】

x20

可得集合

B

,求出补集

C

R

B

,再求出

A

C

R

B

即可.

【详解】

由

所以

所以

x20

,得

x2

,即

B(2,)

,

C

R

B

(,2]

,

A

C

R

B

(1,2]

.

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算,属于基础题.

6、D

【解析】

利用表格中的数据，可求解得到

x2.5,

代入回归方程，可得

y5

，再结合表格数据，即得解.

【详解】

利用表格中数据，可得

x2.5,

又

y2.1x0.25,y5

，

m3.24.87.520

．

解得

m4.5

故选：D

【点睛】

本题考查了线性回归方程过样本中心点的性质，考查了学生概念理解，数据处理，数学运算的能力，属于基础题.

7、A

【解析】

每个县区至少派一位专家，基本事件总数

n36

，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数

m6

，由此

能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.

【详解】

派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家

基本事件总数：

23

nC

4

A

3

36

212

mC

2

C

3

A

2

6

甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：

甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：

本题正确选项：

A

p

m61



n366

【点睛】

本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

8、A

【解析】

确定函数在定义域内的单调性，计算

x1

时的函数值可排除三个选项．

【详解】

x0

时，函数为减函数，排除B，

1x0

时，函数也是减函数，排除D，又

x1

时，

y1ln20

，排除C，

只有A可满足．

故选：A.

【点睛】

本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过

特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．

9、D

【解析】

画出曲线与围成的封闭区域，表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，然后结合图形

求解可得所求范围．

【详解】

画出曲线与围成的封闭区域，如图阴影部分所示．

表示封闭区域内的点和定点连线的斜率，

设，结合图形可得或，

， 由题意得点A,B的坐标分别为

∴

∴或，

，

∴的取值范围为．

故选D．

【点睛】

解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲

线所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题．

10、C

【解析】

试题分析：设

AC、BD

的交点为

O

，连接

EO

，则

AEO

为

AE,SD

所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为

a

，

AE

2

OA

2

EO

2

312

cosAEO

AEa,EOa,OAa

222

2AEOA

则，所以

(

3

2

1

2

2

2

a)(a)(a)

3

222

3

31

2(a)(a)

22

，故C为正确答案．

考点：异面直线所成的角．

11、A

【解析】

化简复数，求得

z24i

，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解.

【详解】

由题意，复数z满足

z(12i)10

，可得

z

10

12i

10

24i

12i

12i



12i

，

所以复数

z

在复平面内对应点的坐标为

(2,4)

位于第一象限

故选：A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解

是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.

12、C

【解析】

根据线面平行或垂直的有关定理逐一判断即可.

【详解】

解：①：

m

、

n

也可能相交或异面，故①错

②：因为

，

m

，所以

m

或

m//

，

因为

m

，所以

m//

，故②对

③：

n//

或

n

，故③错

④：如图

因为

，



l

，在内

过点

E

作直线

l

的垂线

a

，

则直线

a

，

al

又因为

m//

，设经过

m

和

相交的平面与

交于直线

b

，则

m//b

又

ml

，所以

bl

因为

al

，

bl

，

b

,a

所以

b//a//m

，所以

m

，故④对.

故选：C

【点睛】

考查线面平行或垂直的判断，基础题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

12

e

,

2



13、

【解析】

2

2

,1



1

m

无零点，不合题意；当

m0

时，

2

根据题意，分类讨论求解，当

m0

时，根据指数函数的图象和性质

f

x

e

x

令

f

x

e

x

1

0

m

，得

xlnm

，令

g

x

x1

mx2mm1

0

，得

x1

或

2m

2

m11

11

x12m

12m112m1

mm

，再分当

m

，

m

两种情况讨论求解.

【详解】

由题意得：当

m0

时，

f

x

e

x

1

m

在

x

轴上方，且为增函数，无零点，

2

g

x

x1

mx2mm1

至多有两个零点，不合题意；

当

m0

时，令

f

x

e

x

1

2

0

mx2mm1

0

gxx1



m

，得

xlnm

，令 ，得

x1

或

2m

2

m11

x12m

mm

，

如图所示：


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