2024年4月17日发(作者：高起专函授数学试卷)

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

考生须知：

1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知

f(x2)

是偶函数，

f(x)

在

，2

上单调递减，

f(0)0

，则

f(23x)0

的解集是

2

)

A

．

(，)(2，

3

22

C

．

(，)

33

2

2)

B

．

(，

3

2

)

D

．

(，

3

2

(，)

3

2．如图，在圆锥

SO

中，

AB

，

CD

为底面圆的两条直径，

AB

∩

CD

＝

O

，且

AB

⊥

CD

，

SO

＝

OB

＝

3

，

SE

直线

SC

与

OE

所成角的正切值为（

）

1

SB

.

，异面

4

A

．

22

2

B

．

5

3

C

．

13

16

D

．

11

3

3．下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理

.

把运算

“

正整数

N

除以正整数

m

所得的余数是

n

”

记为

“

Nn(modm)

”

，例如

71(mod2)

.

执行该程序框图，则输出的

n

等于（

）

A

．

16 B

．

17 C

．

18 D

．

19

4．若复数

z

满足

z(12i)10

,

则复数

z

在复平面内对应的点在

( )

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

x

2

y

2

5．已知双曲线

E:

2

2

1(ab0)

的左、右焦点分别为

F

1

，

F

2

，

P

是双曲线

E

上的一点，且

|PF

2

2PF

1

|

.

ab

若直线

PF

2

与双曲线

E

的渐近线交于点

M

，且

M

为

PF

2

的中点，则双曲线

E

的渐近线方程为

( )

1

A

．

yx

3

6．在

1

A

．

1

B

．

y

1

x

2

C

．

y2x

D

．

y3x

1

3

(2x1)

展开式中的常数项为

(

)

x

B

．

2 C

．

3 D

．

7

7．若某几何体的三视图（单位

:cm

）如图所示，则此几何体的体积是（

）

A

．

36 cm

3

8．已知下列命题：

B

．

48 cm

3

C

．

60 cm

3

D

．

72 cm

3

①“

xR,x

2

5x6

”

的否定是

“

xR,x

2

5x6

”

；

②已知

p,q

为两个命题，若

“

pq

”

为假命题，则

“

p

q

”

为真命题；

③“

a2019

”

是

“

a2020

”

的充分不必要条件；

④“

若

xy0

，则

x0

且

y0

”

的逆否命题为真命题

.

其中真命题的序号为（

）

A

．③④

2

B

．①②

C

．①③

D

．②④

9．已知抛物线

C

：

x4y

的焦点为

F

，过点

F

的直线

l

交抛物线

C

于

A

，

B

两点，其中点

A

在第一象限，若弦

AB

的长为

AF

25

（

）

，则

BF

4

11

1

B

．

3

或

C

．

4

或

2

34

1i

10．复数的共轭复数对应的点位于（

）

2i

A

．

2

或

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．

5

或

1

5

D

．第四象限

11．如图，圆锥底面半径为

2

，体积为

22

，

AB

、

CD

是底面圆

O

的两条互相垂直的直径，

E

是母线

PB

的中

3

点，已知过

CD

与

E

的平面与圆锥侧面的交线是以

E

为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点

P

的距

离等于（

）

A

．

1

2

B

．

1 C

．

10

4

D

．

5

2

12．复数

z

1i

i

（

i

为虚数单位），则

z

的共轭复数在复平面上对应的点位于（

）

A

．第一象限

C

．第三象限

B

．第二象限

D

．第四象限

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1

13．若存在直线

l

与函数

f(x)(x0)

及

g(x)x

2

a

的图象都相切，则实数

a

的最小值为

___________

．

x

14．

(x

1

2)

4

的展开式中

x

2

的系数为

____.

x

15．正方形

ABCD

的边长为

2

，圆

O

内切于正方形

ABCD

，

MN

为圆

O

的一条动直径，点

P

为正方形

ABCD

边界上

任一点，则

PMPN

的取值范围是

______.

16．正四面体

ABCD

的各个点在平面

M

同侧，各点到平面

M

的距离分别为

1

，

2

，

3

，

4

，则正四面体的棱长为

__________

．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）如图，在四棱锥

PABCD

中，底面

ABCD

是矩形，

M

是

PA

的中点，

PD

平面

ABCD

，且

PDCD4

，

AD2

．

（

1

）求

AP

与平面

CMB

所成角的正弦．

（

2

）求二面角

MCBP

的余弦值．

18．（12分）某工厂生产一种产品的标准长度为

10.00cm

，只要误差的绝对值不超过

0.03cm

就认为合格，工厂质检

部抽检了某批次产品

1000

件，检测其长度，绘制条形统计图如图：

（

1

）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；

（

2

）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取

2

件，假设其中至少有

1

件是标

准长度产品的概率不小于

0.8

时，该设备符合生产要求

.

现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，

生产一件产品为标准长度的概率的最小值

.

19．（12分）数列

a

n

满足

a

1

1

，

a

n

是

1

与

a

n1

的等差中项

.

（

1

）证明：数列

a

n

1

为等比数列，并求数列

a

n

的通项公式；

（

2

）求数列

a

n

2n

的前

n

项和

S

n

.

20．（12分）已知函数

f(x)lnxax

2

(ab1)xb1(a,bR).

（

1

）若

a0

，试讨论

f(x)

的单调性；

（

2

）若

0a2,b1

，实数

x

1

,x

2

为方程

f(x)max

2

的两不等实根，求证：

11

42a

.

x

1

x

2

21．（12分）如图，在四棱锥

ABCDE

中，平面

BCDE

平面

ABC

，

BEEC,BC1,AB2,ABC60

.

（Ⅰ）求证：

BE

平面

ACE

；

（Ⅱ）若锐二面角

EABC

的余弦值为

21

，求直线

CE

与平面

ABC

所成的角

.

7

2x1



1

，集合

B{x|1xa2}

.

22．（10分）已知集合

A

x|y

x1





（

1

）求集合

A

；

（

2

）若

BA

，求实数

a

的取值范围

.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

D

【解析】

先由

f(x2)

是偶函数，得到

f(x)

关于直线

x2

对称；进而得出

f(x)

单调性，再分别讨论

23x2

和

23x2

，

即可求出结果

.

【详解】

因为

f(x2)

是偶函数，所以

f(x)

关于直线

x2

对称；

因此，由

f(0)0

得

f(4)0

；

又

f(x)

在

，2

上单调递减，则

f(x)

在

2,

上单调递增；

所以，当

23x2

即

x0

时，由

f(23x)0

得

f(23x)f(4)

，所以

23x4

，

解得

x

2

；

3

当

23x2

即

x0

时，由

f(23x)0

得

f(23x)f(0)

，所以

23x0

，

解得

x

2

；

3

2

(，)

.

3

2

)

因此，

f(23x)0

的解集是

(，

3

【点睛】

本题主要考查由函数的性质解对应不等式，熟记函数的奇偶性、对称性、单调性等性质即可，属于常考题型

.

2、

D

【解析】

可过点

S

作

SF

∥

OE

，交

AB

于点

F

，并连接

CF

，从而可得出∠

CSF

（或补角）为异面直线

SC

与

OE

所成的角，根

据条件即可求出

SC32，SFCF10

，这样即可得出

tan

∠

CSF

的值

.

【详解】

如图，过点

S

作

SF

∥

OE

，交

AB

于点

F

，连接

CF

，

则∠

CSF

（或补角）即为异面直线

SC

与

OE

所成的角，

11

SB

，∴

SEBE

，

43

1

又

OB

＝

3

，∴

OFOB1

，

3

∵

SE

SO

⊥

OC

，

SO

＝

OC

＝

3

，∴

SC32

；

SO

⊥

OF

，

SO

＝

3

，

OF

＝

1

，∴

SF10

；

OC

⊥

OF

，

OC

＝

3

，

OF

＝

1

，∴

CF10

，

(10)

2

(

∴等腰△

SCF

中，

tan

CSF

32

2

)

11

2

.

3

32

2

故选：

D.

【点睛】

本题考查了异面直线所成角的定义及求法，直角三角形的边角的关系，平行线分线段成比例的定理，考查了计算能力，

属于基础题

.

3、

B

【解析】

由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量

n

的值，模拟程序的运行过程，代入四个选

项进行验证即可

.

【详解】

解：由程序框图可知，输出的数应为被

3

除余

2

，被

5

除余

2

的且大于

10

的最小整数

.

若输出

n16

，则

161

mod3

不符合题意，排除；

若输出

n17

，则

172

mod3

,172

mod5

，符合题意

.

故选

:B.

【点睛】

本题考查了程序框图

.

当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答

.

4、

A

【解析】

化简复数，求得

z24i

，得到复数在复平面对应点的坐标，即可求解

.

【详解】

10

12i

10

24i

，

由题意，复数

z

满足

z(12i)10

，可得

z

12i

12i



12i

所以复数

z

在复平面内对应点的坐标为

(2,4)

位于第一象限

故选：

A.

【点睛】

本题主要考查了复数的运算，以及复数的几何表示方法，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的表示方法求解

是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题

.

5、

C

【解析】

△OMF

2

中，利用余弦定理即由双曲线定义得

PF

2

4a

，

PF

1

F

2

的中位线，可得

OMa

，在

1

2a

，

OM

是

△PF

可建立

a,c

关系，从而得到渐近线的斜率

.

【详解】

根据题意，点

P

一定在左支上

.

由

PF

2

2PF

2

PF

1

2a

，得

PF

1

及

PF

1

2a

，

PF

2

4a

，

再结合

M

为

PF

2

的中点，得

PF

1

MF

2

2a

，

又因为

OM

是

△PF

1

F

2

的中位线，又

OMa

，且

OM//PF

1

，

从而直线

PF

1

与双曲线的左支只有一个交点

.

222

ac4a

.——①

在

△OMF

2

中

cosMOF

2

2ac

由

tanMOF

2

ba

，得

cosMOF

2

. ——②

ac

b

c

2

由①②，解得

2

5

，即

2

，则渐近线方程为

y2x

.

a

a

故选：

C.

【点睛】

本题考查求双曲线渐近线方程，涉及到双曲线的定义、焦点三角形等知识，是一道中档题

.

6、

D

【解析】

求出

(2x1)

3

展开项中的常数项及含

x

的项，问题得解。

【详解】

(2x1)

3

展开项中的常数项及含

x

的项分别为：

31

C

3

1



2x

1

,

C

3

2x

1

2

6x

，

301

所以

1

故选：

D

1

1

3

(2x1)

116x7

.

展开式中的常数项为：

x

x

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

7、

B

【解析】

试题分析：该几何体上面是长方体，下面是四棱柱；长方体的体积，四棱柱的底面是梯形，体积为

，因此总的体积

.

考点：三视图和几何体的体积

.

8、

B

【解析】

由命题的否定，复合命题的真假，充分必要条件，四种命题的关系对每个命题进行判断．

【详解】

“

xR,x

2

5x6

”

的否定是

“

xR,x

2

5x6

”

，正确；

已知为两个命题，若

“

pq

”

为假命题，则

“

p

q

”

为真命题，正确；

“

a2019

”

是

“

a2020

”

的必要不充分条件

,

错误；

“

若

xy0

，则

x0

且

y0

”

是假命题，则它的逆否命题为假命题，错误

.

故选：

B

．

【点睛】

本题考查命题真假判断，掌握四种命题的关系，复合命题的真假判断，充分必要条件等概念是解题基础．

9、

C

【解析】

先根据弦长求出直线的斜率，再利用抛物线定义可求出

AF,BF

.

【详解】

2p425



，

22

cos

cos

4

16193

22

1tan



所以

cos

，

tan

，即，

25cos

2

164

33

所以直线

l

的方程为

yx1

.

当直线

l

的方程为

yx1

，

44

设直线的倾斜角为

，则

AB

x

2

4y

AF

40

x1

4

；

x4

联立

，解得和，所以

1

2

3

BF01



yx1

4

AF

1

AF

31

4

或

.

选

C.

yx1

.

同理，当直线

l

的方程为，综上，

BF

BF4

44

【点睛】

本题主要考查直线和抛物线的位置关系，弦长问题一般是利用弦长公式来处理

.

出现了到焦点的距离时，一般考虑抛物

线的定义

.

10、

A

【解析】

试题分析：由题意可得：

31

1i31

i

.

共轭复数为

i

，故选

A.

2i55

55

考点：

1.

复数的除法运算

;2.

以及复平面上的点与复数的关系

11、

D

【解析】

建立平面直角坐标系，求得抛物线的轨迹方程，解直角三角形求得抛物线的焦点到圆锥顶点

P

的距离

.

【详解】

将抛物线放入坐标系，如图所示，

∵

PO2

，

OE1

，

OCOD2

，

∴

C1,2

，设抛物线

y

2

2px

，代入

C

点，

可得

y2x

∴焦点为

2



1

,0

，

2



即焦点为

OE

中点，设焦点为

F

，

EF

1

5

.

，

PE1

，∴

PF

2

2

故选：

D

【点睛】

本小题考查圆锥曲线的概念，抛物线的性质，两点间的距离等基础知识；考查运算求解能力，空间想象能力，推理论

证能力，应用意识

.

12、

C

【解析】

由复数除法求出

z

，写出共轭复数，写出共轭复数对应点坐标即得

【详解】


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