2024年4月17日发(作者：小学数学试卷说明与分析)

数学家 张竹强

集合

集合与简易逻辑 集合间的关系与运算

简易逻辑

映射与函数

函

数

映射与函数 函数的三要素

函数的图象

单调函数与函数的单调性

函数的性质与反函数 函数的奇偶性

反函数及其图象

正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数

初等函数

幂函数

指数与指数函数

对数与对数函数

函数的应用

函数的应用

- 1 -

数学家 张竹强

集合的基本概念

元素与集合的关系

特定集合的记法

集合

N（自然数集）、Z（整数集）、Q（有理数集）、R（实数集）、C（复数集）

对集合概念的理解

集

合

与

简

易

逻

辑

集合与

集合间

的关系

空集的特殊性

集合语言与数学语言的互译

集合与集合的关系

①

A

，

B(B)

（A、B代表任意集合）

②

AB,BC

，则

AC

③

ABBAB;ABAAB;A

n

BIAB

n

④若A中元素有n个，则A的子集共有

2

个，真子集

有

21

个

集合间的运算

数形结合解集合问题

注意交集思想、并集思想、补集思想的运用

命题

简易逻

辑

反证法

充分条件与必要条件

逻辑与集合思想

- 2 -

数学家 张竹强

映射的概念

函数的概念

映射与函数的关系

映射与函数

映

射

与

函

数

表示函数的符号

函数的表示法

复合函数的定义

区间的概念

函数方程

函数三要素

定义域、值域、对应法则，三者缺一不可。

函数的定义域

函数三要素

函数的值域

函数的解析式

函数定义域的求法

函数值域的求法

用值域求最值

求解函数解析式

描点法作图

函数的图象 函数图象的变换

坐标变换

- 3 -

数学家 张竹强

单调函数的定义

单调函数的特点

单调函数与函数的单

调性

利用单调性求极值

利用单调性解方程

单调函数与二次方程结合

奇偶函数的定义

函数的奇偶性 奇偶函数的性质

奇偶函数与周期函数的结合

反函数的定义

反函数及其图象

反函数的一些性质

反函数求值域或定义域

反函数解不等式

指数函数的定义

指数与

指数函

数

指数函数的图象

指数函数的性质

指数函数与方程

初

等

函

数

指数函数的单调性

对数的有关概念

对数函数的定义

对数与

对数函

数

对数函数的图象

对数函数的性质

求对数的极值

对数方程

函

数

的

性

质

与

反

函

数

- 4 -

数学家 张竹强

初等函数及其分类

初等函数是能用一个解析式表示的函数，它分为超越函数和代数函数两

种（超越函数包括指数是无理数的幂函数、指数函数、对数函数、三角

和反三角函数），一共有15个约定的模型函数，我们一般研究七个：

①若

ykx

（k

k

k0

），那么，y叫做x的正比例函数

②若

y

k

x

（k是常数，

k0

），那么，y叫做x的反比例函数

③若

ykxb

（k，b是常数，

k0

），那么，y叫做x的一次函数

④若

yaxbxc

（a，b，c为常数，

a0

），则y叫x的二次函数

⑤函数

yx

叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数

a

2

初

等

函

数

正比例

函数、

反比例

函数、

一次函

数、二

次函数

⑥函数

ya

叫做指数函数，其中a为常量且a

＞

0且a

≠

1

⑦若

aN

（a

＞

0且a

≠

1），则b叫做以a为底N的对数，记做

b

x

log

a

Nb

，其中a叫底数，N叫真数

初等函数的定义、图象、性质

二次函数、二次方程、二次不等式

二次函数图象交点问题

函数极值的求法

函数解析式的求法

幂函数的定义

幂函数

幂函数的图象

幂函数的性质

幂函数的奇偶性和单调性

- 5 -

数学家 张竹强

不等式的性质

不等式

算术平均数与几何平均数

不等式的证明

不

等

式

不等式的证明

解不等式

不等式的拓展

不等式的应用

不等式的概念

不等式的基本性质

①

abba

（对称性）②

ab,bcac

（传递性）

③

abacbc

④

ab,cdacbd

⑤

ab,c0acbc;ab,c0acbc

⑥

ab,cd0acbd

⑦

ab0ab0;ab0

nn

n

含有绝对值的不等式

不等

式的

性质

a

n

b0

nN

比较法解不等式

等号成立条件

不

等

式

分类思想的应用

重要结论的充分应用

基本不等式

算数

平均

数与

几何

平均

数

①

ab2ab

②若

a,b

R

则

ab2

④若

a

1

,a

2

22

ab

③

a

2

b

2

c

2

3abc

a

n

a

n

R

则

a

1

a

2

a

n

n

n

a

1

a

2

不等式的最值问题

不等式、三角函数和三角形的结合

- 6 -

数学家 张竹强

比较法

综合法

分析法

反证法

不

等

式

的

证

明

换元法

放缩法

判别式法

数学归纳法

解不等式的概念

不等式的同解变形原理：①对任何一个不等式

f(x)g(x)

，

h(x)

为任一关

于

x

的代数式，

f(x)g(x)

与

f(x)h(x)g(x)h(x)

同解；②若

a0

，则不等式

f(x)g(x)

与不等式

af(x)ag(x)

同解。

不

等

式

的

证

明

解

不

等

式

整式不等式的解法

(1)

axbxc0

2

a0

的解

①

0

，不等式的解为

{x|xx

1

，

或

xx

2

}

；

②

0

，不等式的解为

{x|xR且x

b

2a

}

；

③

0

，

不等式的解为R

．

(2)

axbxc0

a0

的解

2

①

0

，

不等式的解为

{x|x

1

xx

2

}

；

②

0

，

不等式的解为

．

分式不等式的解法

f(x)

g(x)

f(x)

g(x)

0

与

f(x)g(x)0

同解

0

与

f(x)g(x)0

同解

g(x)0

- 7 -

数学家 张竹强

无理不等式的解法

①

f(x)

f(x)f(x)[g(x)]

2

g(x)

与不等式组

f(x)0

g(x)0

同解

或

f(x)0

同解

g(x)0

②

f(x)[g(x)]

2

f(x)g(x)

与不等式组

f(x)0

g(x)0

③

f(x)g(x)

同解

f(x)g(x)

与不等式组

f(x)0

g(x)0

解

不

等

式

指数不等式的解法

①

a1时,a

f(x)

a

g(x)

与f(x)g(x)同解;

g(x)

②

0a1

时

，a

f(x)

a

与

f(x)g(x)

同解

对数不等式的解法

①

a1

时

log

a

f(x)log

a

g(x)

与

不

等

式

的

证

明

含

有

绝

对

值

的

不

等

式

f(x)g(x)

同解

g(x)0

f(x)g(x)

同解

f(x)0

②

0a1

时

log

a

f(x)log

a

g(x)

与

分类讨论思想的应用

绝对值的定义和性质

绝对值不等式的同解变形

①

|x|c

cxc(c0)

x(c0)

xc,或xc(c0)

②

|x|c

x0(c0)

R(c0)

③

|f(x)||g(x)|[f(x)][g(x)]

22

绝对值不等式的证明

一般要利用

|a||b||ab||a||b|

的性质来证明

- 8 -

数学家 张竹强

平均值不等式

a

1

a

2

n

a

n

n

a

1

a

2

a

n

当且仅当

a

1

a

2

a

n

时取等号

柯西不等式

(

a

i

b

i

)

2

nn

2

a

i

i1i1

b

i

2

当且仅当

a

i

kb

i

(

i1,2,,n

)

时取等号

i1

n

排序不等式

著

名

不

等

式

a

1

b

n

a

2

b

n1

a

n

b

1

a

1

b

j

1

a

n

b

j

n

a

1

b

1

a

2

b

2

a

n

b

n

复数模不等式

Z

1

,Z

2

,Z

n

是

复数，则①

||Z

1

||Z

2

|||Z

1

Z

2

||Z

1

||Z

2

|

当

Z

1

Z

2

0

时，当且仅当

Z

1

Z

2

(

0)

时右等号成立；

Z

1

Z

2

(

0)

时左等号成立②

|

Z|

|Z

i

i1i1

nn

i

|

当且仅当辅角相等时等号成立

琴生不等式

设

f(x)

在区间

(a,b)

内下凸，

x

1

,x

2

,,x

n

是区间

(a,b)

内的任意数，有

q

n

f(x

n

)

不

等

式

拓

展

f(q

1

x

1

q

2

x

2

q

n

x

n

)q

1

f(x

1

)q

2

f(x

2

)

n

（其中

q

1

,q

2

,,q

n

R,

q

i

1

）。上凸函数不等号转向.

i1

比较法

证

明

不

等

式

的

常

用

方

法

要证明

AB

，通常作差比较

AB

,或作商比较

A

B

(BR)

分析综合法

数学归纳法

放缩法

变量代换法

构造法

局部调整法

- 9 -

数学家 张竹强

一元二次方程的实根分布问题

不等

式的

应用

不等式求函数的极值

不等式在实际生产生活中的应用题

椭圆不等式的应用和推广

数列的定义和分类

数列 数列的表示法

数列的前n项和

数列、

极限、

数学

归纳

法

等差数列

等差数列

等差数列的前n项和

等差数列的性质

等比数列

等比数列

等比数列的前

n

项和

等比数列的性质

数列的极限

和数学归纳

法

数列的应用

数列的极限

数学归纳法

数列的应用

- 10 -

数学家 张竹强

数列的定义

数列的分类

数列的

定义和

分类

数列和集合的异同点

数列和函数的异同点

数列的表示法

数列的

表示法

数列的通项公式

数列的递推式

如何看待不是每一个数列都可以写出通项公式或递推式

数列的递推式与通项公式互化

数

列

数列的

前n项

和

数列的前

n

项和

数列的前

n

项和的求法

数列的前

n

项和与通项公式的关系

数列的前

n

项与构造新数列

深层次理解数列的前

n

项和与通项公式的关系

- 11 -

数学家 张竹强

等差数列的定义

等差数列的通项公式

a

n

a

1

n1

d,nN,dR

等

差

数

列

等差

数列

等差中项

如果三个数

x,A,y

成等差数列，那么

A

叫做

x,y

的等差中项，且

2Axy

.

x

和

y

的等差中项也称为

x

和

y

的算术平均数

等差数列的通项公式是如何得到的

等差数列递推式

a

n

a

n1

d

的变形及应用

等差数列和一次函数的异同点

等差

数列

的前

n

项

和

等差数列的前

n

项和

S

n

n

a

1

a

n

2

na

1

n

n1

d

2

d

2

n

2

a

1

d

2

nAnBn

2

等差数列的判定

等差数列的前

n

项和公式和二次函数的关系

等差数列的基本性质

①

a

2

a

n1

a

3

a

n2

...a

1

a

n

②

d

a

n

a

m

nm

mn

③若

m+n=k+l，其中m，n，k，l均为自然数，则必有

a

m

a

n

a

k

a

1

④等差数

列中，其项数成等差的项构成的一个子数列仍是等差数列⑤等差数列的每一

等差

数列

的性

质

项都加上一个常数（或乘以一个非零实数k）仍然构成一个与原等差数列，

公差不变（或变为原来的k倍）

等差数列若干项和的性质

将公差为d的等差数列截为k段，每段具有m项，则每段各项之和组成的新

数列为等差数列，其公差为

md

2

- 12 -

数学家 张竹强

等比数列的定义

等比数列的通项公式

a

n

qa

n1

其中

a

1

，q分别是首项和公比，n为项数，n∈N

等

比

数

列

等比

数列

等比中项

如果三个数

x,A,y

成等比数列，那么

A

叫做

x

和

y

的等比中项，且

Axy

，

Axy

。x和y的等比中项也称为x和y的几何平均数。

2

等比数列的通项公式是如何得到的

a

n1

q

的变形及应用 等比数列递推式

a

n

等比数列和指数函数的异同点

等比

数列

的前

n

项

和

等比数列的前

n

项和

q1

na

1

,q1

na

1

,



S

n

1q

n

a

1

a

n

q

,q1

a,q1

1

1q

1q

等比数列的判定

等比数列的概念扩展

等比数列的基本性质

①

a

2

a

n1

a

3

a

n2

a

4

a

n3

...a

1

a

n

②

a

n

a

m

q

nm

③若m，n，k，l

等比

数列

的性

质

均为自然数，且

mnkl

，则必有

a

m

a

n

a

k

a

l

④其项数成等差的项构

成的一个子数列仍是等比数列⑤若数列

{a

n

}

为无穷等比数列，其公比为q，

则对任意正整数m，数列

{a

n

a

n1

a

nm

}

仍是等比数列，其公比为

q

m1

等比数列若干项积的性质

等比数列若干项和的性质

递推数列的一阶特征方程

- 13 -

数学家 张竹强

数列的极限

数列极限的运算法则

若

lim

n

a

n

=A，

lim

b

n

=B，①则

lim

a

n

b

n

=A±B；

lim

a

n

b

n

AB

nnn

数

列

的

极

限

数

列

的

极

限

和

数

学

归

纳

法

②当C为常数时，

lim

（C

a

n

）=CA；

lim

n

n

a

n

A

（B≠0）

b

n

B

无穷数列的所有项的和

无穷递缩等比数列的各项和记作S，

则

SlimS

n

n

lim

a

1

a

2

n

1q

n

a

1

a

n

lim

a

1

n

1q1q



怎样理解数列的极限

如何求简单数列的极限

演绎法和归纳法

数

学

归

纳

法

完全归纳法和不完全归纳法

数学归纳法

如何理解数学归纳法

如何运用数学归纳法

角的概念的推广、弧度制

三角函数

任意角的三角函数

同角三角函数关系式和诱导公式

三角变换

三

角

函

数

两角和与差的三角函数公式

倍角与半角的三角函数公式

三角函数的

图像和性质

反三角函数

与简单的三

角方程

三角函数的

应用限和数

三角函数的图像与性质

等比数列的性质

反三角函数的图像和性质

简单三角方程

数列的应用

- 14 -

数学家 张竹强

角的概念

角的概念的推广

角

的

概

念

的

推

广

角的度量

弧度与实数的一一对应

任意角的三角函数

需要牢记的三角函数值

角

0° 30° 45° 60° 90°

三

角

函

数

任

意

角

的

三

角

函

数

0

函数

180° 270° 360°

6

1

2

4

2

2

3

2

3

2

-1

2

sin 0

3

1

2

0 0

cos

1

3

2

2

2

1

2

0 -1 0 1

tan 0

3

1

3

3

不存

3

在

0

不存

在

0

不存

三角函数线

弧长公式

3

3

不存不存

任意角三角函数和与其对应的锐角三角函数的关系

- 15 -

数学家 张竹强

同

角

三

角

函

数

关

系

式

和

诱

导

公

式

同角三角函数的基本关系

三角函数的诱导公式

“奇变偶不变，符号看象限”

如何记忆同角三角函数的基本关系

求任意角三角函数的步骤

三角函数的基本题型

化归思想

整体代换法

三

角

变

换

两

角

和

与

差

的

三

角

函

数

公

式

两角和与差的三角函数公式

sin(

)sin

cos

cos

sin

,cos(

)cos

cos

tan(

)

tan

tan

1tan

tan

sin

sin

公式的推导

公式的运用

三角形中的三角函数关系式,判断三角形的形状

注意角度的各种存在形式

利用三角函数求最值问题

- 16 -

数学家 张竹强

倍角、半角公式

①二倍角公式：

cos2

cos

sin

12sin

2cos

1

2222

sin2

2sin

cos

,

tan2

2tan

1tan

3

2

②三倍角公式：

sin3

3sin

4sin

,cos3

4cos

3cos

,tan3

3

3tan

tan

13tan

2

3

③半角公式：

sin

2



1cos

2

1cos

sin

,

cos

2



1cos

2

三

角

变

换

倍

角

与

半

角

的

三

角

函

数

公

tan

2



1cos

1cos



sin

1cos

部分倍角、半角公式、和差化积、积化和差的推导

倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用

万能公式的应用

2tan

sin

1tan

2

2

1tan

,cos

1tan

2

2

,tan

2

2tan

1tan

2

2

2

2

2

三角函数在三角形中的应用

反三角函数的定义

反三角函数的图像和性质

定义域，值域问题

反三角函数图

像及其性质

反三角函

数与简单

三角方程

单调性

奇偶性

求最值问题

求反函数

综合类型

简单三角方程

三角方程的定义

三角方程与实数方程的结合

- 17 -

数学家 张竹强

三角函数的图像

三

角

函

数

的

图

象

与

性

质

五点作图法

函数图像的坐标变换

求定义域和值域型

求最值型

求三角函数的周期与单调性

余弦定理

三

角

函

数

的

图

象

和

性

质

正

弦

定

理

、

余

弦

定

理

、

解

斜

三

角

形

正弦定理

斜三角形的解法

一些有用的结论

三角函数在三角形中的应用

- 18 -

数学家 张竹强

向量

向量的加减法

平面向量及

其运算

向量和实数的积

平面向量的数量积及运算率

平面向量的坐标表示及运算

向量

平面向量的

坐标表示

向量的定比分点

平移

空间向量及

运算

向量的应用

空间向量

空间向量的运算

向量的应用

- 19 -

数学家 张竹强

向量的定义

向量的模

零向量和单位向量

向量

平行向量、共线向量和相等向量

向量和有向线段

平

面

向

量

及

其

运

算

向量与标量

向量的相等与平行

向量的加法

向量

的加

减法

向量的平行四边形法则

向量加法满足交换率和结合率

向量的减法

向量减法的几何作法

对于向量三角形法则的补充

向量

和实

数的

积

实数和向量积的定义

实数和向量积的运算率

两个向量公线定理

平面向量的基本定理

如何利用和证明向量的平行关系

平

向

的

量

及

算

面

量

数

积

运

律

向量方程的求解

平面向量数量积的定义和几何意义

向量数量积的性质

向量数量积的运算率

向量数量积运算与普通乘法运算的比较

用i、j坐标表示下向量的数量积

- 20 -

数学家 张竹强

平面向量的坐标表示

向量的模

若

a

=(x,y),则 |a|

2

=

a

·

a

=x

2

+y

2

,∴|

a

|=

xy

22

平

面

向

量

的

坐

标

表

示

平面

向量

的坐

标表

示及

运算

两点间的距离公式

设A(x

1

,y

1

),B(x

2

,y

2

)，则|

AB(x

2

x

1

)(y

2

y

1

)

|

22

两个非零向量垂直的充要条件的坐标表示

若

a

=(x

1

,y

1

),

b

=(x

2

,y

2

)，则

a

⊥

b

x

1

x

2

+y

1

y

2

=0

两向量的夹角公式的坐标表示

a

=(x

1

,y

1

),

b

=(x

2

,y

2

)的夹角的余弦

cos

平面向量的坐标运算

x

1

x

2

y

1

y

2

xy

2

1

2

1

xy

2

2

2

2

向量的坐标与表示该向量的有向线段的起始点位置无关

仿射坐标系的思想

向量的平行和垂直的判定

点P分有向线段所成的比的定义

线段

的定

比分

点

定比分点公式，中点公式及其推导

x

,设P

1

(x

1

,y

1

)，P

2

(x

2

,y

2

)，P(x,y)分

PP

所成比为，则

2

y

定比分点的几个重要公式

x

1

x

2

1

y

1

y

2

1

平移

图形的平移

平移公式

利用平移公式化简函数解析式

平移图像是平移图像的每一点

- 21 -

数学家 张竹强

空间向量的概念

空间向量的表示方法

i=（1，0，0），j=（0，1，0），k=（0，0，1）.若a=（x，y，z），则a=xi+yj+zk

相等向量的内涵

空间直角坐标系中的坐标

向量的坐标

空间向量的直角坐标运算律

若

a(a

1

,a

2

,a

3

)

，

b(b

1

,b

2

,b

3

)

，

R

则①

ab(a

1

b

1

,a

2

b

2

,a

3

b

3

)

，

ab(a

1

b

1

,a

2

b

2

,a

3

b

3

)

空

间

向

量

a(

a

1

,

a

2

,

a

3

)(

R)

，

aba

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

②

a//ba

1

b

1

,a

2

b

2

,a

3

b

3

，

aba

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

0

③

若

A(x

1

,y

1

,z

1

)

，

B(x

2

,y

2

,z

2

)

则

AB(x

2

x

1

,y

2

y

1

,z

2

z

1

)

．

模长公式

若

a(a

1

,a

2

,a

3

)

，则

|a|aaa

1

a

2

a

3

．

222

夹角公式

cosab

a

1

b

1

a

2

b

2

a

3

b

3

ab

222222

|a||b|

a

1

a

2

a

3

b

1

b

2

b

3

两点间的距离

d

A,B

(x

2

x

1

)

2

(y

2

y

1

)

2

(z

2

z

1

)

2

空间的向量

平面向量与空间向量

- 22 -

数学家 张竹强

空间向量的运算

OBOAABab,BAOAOBab,OP

a(

R)

运算律：⑴加法交换律：

(ab)ca(bc)

abba

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

(ab)

a

b

平行六面体

空间向量的加减与数乘

OBOAAB

=a+b，

ABOBOA

，

OP

a,(

R)

空间向量的加减与数乘运算律

⑴加法交换律：a + b = b + a⑵加法结合律：(a + b) + c =a + (b + c)；

⑶数乘分配律：λ(a + b) =λa +λb．

空

间

向

量

的

运

算

空间向量的夹角

向量的数乘积

ab|a||b|cosa,b

空间向量数乘积的性质

①

ae

|a|cosa,e

．②

abab0

．③

|a|

2

aa

．

空间向量数量积运算律

①

(

a)b

(ab)a(

b)

②

abba

（交换律）

③

a(bc)abac

（分配律）④ea = ae =|a|cos

a,e

⑤ab  ab = 0⑥当a与b同向时，ab = |a||b|；当a与b反向时，ab = |a||b|.

特别的aa = |a|

2

或

|a|aa

⑦

cosa,b

ab

⑧|ab| ≤ |a||b|

|a||b|

空间共面向量定理及推论

空间任意一向量

b

，

c

不共面，

x,y,zR

p

可表示为

xayb

zc

，

a

，

空间向量的基本定理

利用空间两个向量平行的条件

数量积与互相垂直的等价关系

数量积求角度，求点的坐标

- 23 -

数学家 张竹强

多面体简介

多面体

棱柱

棱锥与棱台

简单多面体与欧拉公式

圆柱、圆锥与圆台

旋转体

球

简单

几何

体

简单几何体的

表面积与体积

截面

表面积与体积的定义与公理

棱柱与圆柱的表面积与体积

棱锥与圆锥的表面积与体积

棱台和圆台的表面积与体积

球的表面积与体积

简单几何体的

应用

简单几何体的应用

几何体

多面体

多

面

体

凸多面体和凹多面体

多面体

正多面体

拟柱体

数学基本元素中的形元素

表面由正多边形构成的多面体

- 24 -

数学家 张竹强

棱柱

斜棱柱与直棱柱

平行六面体

长方体三度定理及推论

长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的

平方和；若长方体对角线和各棱所成的角分别为

,

,

，和

各面所成角分别为

,

,

，则

棱柱

cos

2

cos

2

cos

2

1;sin

2

sin

2

sin

2

2

;

cos

2

cos

2

cos

2

2;sin

2

sin

2

sin

2

1

特殊四棱柱之间的联系

多

面

体

简单几何体中的空间直线与平面

棱锥

正棱锥

棱锥与

棱台

棱锥的斜高

棱台

正棱台

棱台和棱锥相关问题的转化

简单多面体

如何证明欧拉公式

欧拉公式

简单多

面体与

欧拉定

理

简单多面体的顶点数V、棱数E、面数F，则有

VFE2

欧拉示性数

欧拉公式中，令

f

p

FVE

，那么

f

p

叫做欧拉示性数

正多面体的种数

正多面体只有五种：正四面体、正八面体、正六面体、正十二面体和

正二十面体

- 25 -

数学家 张竹强

旋转面

圆柱面

圆柱

圆锥

与圆

台

圆锥面

旋转体

圆柱

圆台

为什么说旋转体的轴截面是研究旋转体的主要工具

球面

球

旋

转

体

球的大圆和小圆

经线和纬线

两点的球面距离

球的切面和切线

球的内结圆台

球扇形

球冠和球冠面积公式

球面被平面所截得的一部分叫做球冠。截得的圆叫做球冠的底，垂

直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高。如果球冠所在球半径为R，

球

球冠高为h，球冠面积为S，则有

S2

Rh

球带和球带面积公式

球面夹在两个平行截面之间的部分叫做球带，截得的两个圆叫做球带的

底，两个平行截面之间的距离叫做球带的高。如果球的半径是R，球带

的高是h，那么球带的面积

S2

Rh

球缺和球台

环面和环体

简单多面体

怎么理解球类问题中的诸多概念

- 26 -

数学家 张竹强

截面

棱柱的截面

棱锥的截面

棱台的截面

截面

圆柱的截面

圆锥的截面

圆台的截面

简单

几何

体的

表面

积与

体积

球的截面

通过截面深层次体会降维思想

几何体的体积

长方体体积公理及推论

设长方体的三棱长分别是a、b、c，则其体积

Vabc

设长方体底面积为S，高为h，则其体积

VSh

设正方体棱长为a，则其体积为

Va

3

表面积

与体积

的定义

和公理

祖暅原理

拟柱体的体积

如果拟柱体的上下底面的面积为

S\'

和

S

，中截面的面积为

h

S4S

0

S

S

0

，高为

h

，那么它的体积

V

旋转体的体积

1

6

（1）柱体：

VSh

； （2）锥体：

V

（3）台体

V

1

3

Sh

；

3

1

3

hSS

（4）球体：则

V

SS

；

4

3

R

。

几何体的表面积

拟柱体的侧面积和全面积

旋转体的侧面积和全面积

拟柱体的体积公式的证明思路

- 27 -

数学家 张竹强

棱柱的侧面积

棱柱

与圆

柱的

表面

积与

体积

设棱柱的底面周长为c，侧棱为l,则其侧面积

Scl

圆柱的侧面积

设圆柱底面半径为r，侧棱为l，则其侧面积

S2

rl

柱体的体积

若柱体的底面积为S，高为h，则其体积

VSh

推导体积公式的极限方法

棱锥的侧面积

棱锥

与圆

锥的

表面

积与

体积

①正棱锥的侧面积等于底面周长与斜高的积的一半；

②若正棱锥的侧面与底面成

角，则侧面积等于底面积乘以

sec

圆锥的侧面积

①圆锥的侧面积等于底面周长与母线的积的一半；

②若圆锥母线与底面所成角为

，则侧面积等于底面积乘以

sec

。

简单

几何

体的

表面

积与

体积

椎体的体积

设锥体底面积为S，高为h，则有

3VSh

棱台的侧面积

棱台

与圆

台的

表面

积与

体积

①正棱台的侧面积等于棱台的上下底面周长之和与斜高的积的一半；

②若正棱台的侧面与底面成角为

，则

S

侧

等于上下底面积之差乘以

sec

圆台的侧面积

台体的体积

台体的上、下底面的面积为

S

,S

，高为

h

，则

V

1

3

hSS

SS

球的表面积

设球的半径为R，则其表面积为

S4

R

球的

表面

积与

体积

半球的侧面积

设球的半径为R，则其表面积为

S2

R

球的体积

设球的半径为R，则其体积为

V

4

3

R

3

半球的体积

设球的半径为R，则其体积为

V

4

3

R

3

- 28 -

数学家 张竹强

平面的性质

平面

平面两直线的位置关系

空间两直线的位置关系

直线与直线的关系

两条异面直线所成角

直线与直线平行

直

线

与

平

面

直线和平面平行

直线与平面的关系

直线和平面所成角

平面和平面平行

二面角

异面直线上两点间距离

几何中的平行关系和特

征角

直线与平面的应用 直线与平面的应用

- 29 -

数学家 张竹强

面

面是没有厚度而只有位置和大小的几何图形

平面

可看成是由一条直线沿同一方向平行移动的轨迹

平面图形和空间图形

平面图形可看作是空间图形的一部分

平面的表示法

平

面

的

定

义

和

表

示

平

面

平面常用一个小写希腊字母表示，或用平面上的多边形的顶点字母表示

斜二测画法规则

从直线和平面的类比来理解平面

平面几何与立体几何的联系与区别

斜二测画法的本质与实际应用

平面的基本性质

平面的基本性质实际上就是关于平面的三个公理

公理2：若

Aa,A

，

则



l

且

A

l

公理1：若

Al,Bl,A

,B

，

则

l

公理3：若

Al,Bl,Cl

，

则A

、

B

、

C共面

平面基本性质的推论

这几个推论都是公理3的推论 。

平

面

的

性

质

平面的性质及推论的用途

性质1注药用语判定直线在平面内

性质2主要用来判断两面相交

性质3和推论都是确定一个平面的依据。

几何符号语言与常用语言的互化

平面的性质公理与推论的理解和运用

- 30 -

数学家 张竹强

平面两条直线的位置关系

平面两

直线的

位置关

系

平行公理及其推论

①若

a//b,a//c,Ab,Ac

，则b和c重合

②若

a//b,a//c

，b和c不重合，则

b//c

点到直线的距离

平面上两条直线的距离

异面直线的定义

空间两

直线的

位置关

系

空间两条直线的位置关系

异面直线的判定方法

是否强调共面

怎样理解数学元素间的距离

空间两条直线所成角

空间直线垂直

两条异面直线所成的角

直线

与直

线的

关系

两条异

面直线

所成的

角

两条异面直线垂直

异面直线的公垂线和公垂线段

异面直线的距离

对异面直线所成的角的深度理解

相交直线和异面直线的比较

几何中的角度问题

对异面直线所成的角的深度理解

三线平行公理

射线的平行、正平行与逆平行

直线与

直线平

行

等角定理及推论

空间两条直线平行的判定方法

几何中的平行关系与特征角

升维思想与降维思想

- 31 -

数学家 张竹强

直线和平面平行

直线和平面的位置关系

直线

与平

面平

行

直线和平面平行的判定定理

a,b,

,a

,b

,a//ba//

直线和平面平行的性质定理

a,b,

,

,a

,



b,a//

a//b

空间直线和平面平行的判定方法

特征角

升维思想与降维思想

直线和平面垂直

直线和平面的垂足

直线

与平

面垂

直

直线和平面垂直的判定定理

a,b,l,

,a

,b

,abA,la,lbl

直线和平面垂直的性质定理

a,b,l,

,a

,b

,abA,la,lbl

点到平面的距离

异面直线上两点的距离公式

lmnd2mncos

2222

直线

与平

面的

关系

直

和

面

成

线

平

所

的

射影

直线和平面斜交

直线和平面所成的角

最小角定理

三垂线定理

若

PH

与H，

l

，则

PAlAHl

空间直线垂直的判定方法

- 32 -

数学家 张竹强

平面和平面平行

两个平面的位置关系

两个平面平行的判定定理

a,b,

,

,abA,a

,b

,a//

,b//

//

平面

和平

面平

行

两个平面平行的性质定理

a,b,

,

,

,



a,



b,

//

a//b

两个平行平面的公垂线和公垂线段

两个平行平面的距离

两个平面平行的判定方法

关于平行

平面

和平

面的

关系

半平面

二面

角

二面角的平面角

二面角

二面角的平面角的计算方法

两个平面互相垂直

两个平面互相垂直的判定定理

,

,a,a

,a

两个平面垂直的性质定理

,

,a,b,a

,

,



b,aba

两个平面垂直的重要结论

异面直线上两点的距离公式

lmnd2mncos

2222

平面

和平

面垂

直

- 33 -

数学家 张竹强

函数的极限&函数的极限的四则运算

函数的极限

函数的连续性

导函数的概念和常见函数的导数

极限、导

数和微

积分

导数

函数求导法则及复合函数的导数

微分及四则运算

微积分 不定积分

定积分

导数和微积分的

应用

导数与微分的应用

积分的应用

- 34 -

数学家 张竹强

当

x

时，函数

f(x)

的极限

函数的

极限&

函数的

极限的

四则运

算

当

xx

0

时，函数

f(x)

的极限

函数的左右极限

常数函数的极限

四则运算法则

函数极限与数列极限的比较

函数的

极限

洛必达法则

导函数在某一点处连续的定义

函数

f(x)

在开区间

(a,b)

内连续

函数

f(x)

在闭区间

[a,b]

内连续

连续函数的四则运算的连续性

复合函数的连续性

反函数的连续性

幂函数的连续性

反三角函数的连续性

基本初等函数的定义

初等函数的定义

函数的连续

性

- 35 -

数学家 张竹强

xx

0

处的导数

若极限

x0

lim

y

x

lim

f(xx)f(x)

x

x0

存在，则称此极限值为函数

yf(x)

在点

x

0

处对

x

的导数

导

函

数

的

概

念

和

常

见

函

数

的

导

数

导函数

f

\'

(x)lim

y

x

x0

lim

f(xx)f(x)

x

x0

导数的几何意义

导数公式

①

c

\'

0

②

(x)

\'

nx

2

nn1

③

(sinx)

\'

cosx

④

(cosx)

\'

sinx

⑤

(lnx)

\'

x

1

x

1

log

a

⑥

(tanx)

\'

secx

⑦

(e)

\'

e

⑧

(log

a

x)

\'

x

x

e

⑨

(a

x

)

\'

a

x

lna

可导与连续的关系

二阶导数

n阶导数

求导法则

导

数

函

数

求

导

法

则

及

复

合

函

数

的

导

数

和（或差）的导数

(uv)\'u\'v\'

,积的导数

(uv)\'u\'vuv\'

,商的导数

u\'vuv\'

(

u

(v0)

v

)\'

v

2

复合函数的导数

f

\'

[g(x)]f

\'

(u)g

\'

(x)

对数函数求导

11

log

a

e

③

(f(log

a

x))

\'

①

(lnx)

\'

x

②

(log

a

x)

\'

x

1

x

log

a

ef

\'

(log

a

x)

连续函数的四则运算的连续性

隐函数的求导

含参函数的求导

dy

如果函数

yf(x)

，由方程

xx(t)

yy(t)

所确定，我们有

dy

dt

dx

dx

dt

- 36 -

数学家 张竹强

微

分

及

四

则

运

算

微分的定义

四则运算

d(uv)dudv

，

d(uv)udvvdu

，

d()

v

uvduudv

v

2

(v0)

微分的本质：

dyy

原函数

若

dF(x)f(x)dx

则称

F(x)

为

f(x)

在的一个原函数

不定积分

f(x)

的全体原函数

F(x)c

称为其不定积分，记作

微

积

分

初

步

不

定

积

分

f(x)dxF(x)C

1

x

dx

lnxC

基本积分公式

①

0dxc

②

xdx

m

1

m1

x

x

m1

C(m1)

③

④

edxeC

⑤

adx

xx

a

x

lna

C

⑥

cosxdxsinxC

不定积分的运算法则

①设

k0

则

kf(x)dxk

数，则

[f(x)g(x)]dx



f(x)dx

②设

f(x)

，

g(x)

是两个可积分的函



f(x)dx

g(x)dx

第一换元法

设

f(u)duF(u)C

，则

f[g(x)]g

\'

(x)F[g(x)]C

第二换元法

若所求积分为

变换

x

f(x)dx

的形式虽不复杂，实际则较难求解．此时，通常作

g(t)

把积分

f(x)dx

化为

f(x)dx

f[g(t)]d[g(t)]

f[g(t)]g\'(t)dt

的形式，如果右端的不定积分比较容易计算，那么最后将

结果中的

t

变量还原，将

tg

1

(x)

代入结果．

- 37 -

数学家 张竹强

定积分的概念

定积分的基本公式

F\'(x)f(x)

，则

a

f(x)dxF(b)F(a)

，这个公式叫做积分基本公

式又叫牛顿—莱布尼茨公式

b

定积分的性质

①

②

③

a

b

kf(x)dxk

f(x)dx

a

b

a

b

[f(x)g(x)]dx

f(x)dx

c

a

b

f(x)dx

g(x)dx

a

b

b

微

积

分

初

步

a

b

a

f(x)dx

c

f(x)dx

定

积

分

定积分的换元积分法

b

a

f(x)

f[g(t)]g\'(t)dt

定积分的分部积分法

函数

uu(x)

，

vv(x)

在区间

[a,b]

上有连续的一阶导数

u\'(x)

，

bb

v\'(x)

，有

u(x)v\'(x)dxu(x)v(x)|

b

a

u\'(x)v(x)dx

aa

分段函数的积分

奇偶函数与周期函数的定积分

①

②

若

f(x)

为偶函数

f(x)dx2

f(x)dx2

f(x)dx

a

a

0a

aa0

f(x)

为奇函数

f(x)dx0

a

f(x)

是一个以

T

T

为周期的连续函数，对任意

nT

a

，有

aT

a

f(x)dx

f(x)dx

；

00

f(x)dxn

f(x)dx

；

0

T

T

0

f(x)dx

T

2

T

2

f(x)dx

- 38 -

数学家 张竹强

导数的几何意义定义的应用

单调性与函数

设函数在闭区间

[a,b]

上连续，在开区间

(a,b)

上可微，在

(a,b)

内，若恒有

f\'(x)0

，则

f(x)

在闭区间

[a,b]

上严格单调上升；若恒有

f\'(x)0

，则

f(x)

在闭区间

[a,b]

上严格单调下降．

导

数

与

微

分

的

应

用

极值与导数

求最值

用微分法描述函数图像的一般步骤

微分的应用

对于函数

f(x)

，当自变量有增量

x

，函数

y

就有增量

y

，即

yf(xx)f(x)

．一般的说，只要函数

yf(x)

的对应法则稍微复

杂一点儿，

y

依赖于

x

的情况很复杂，因此对于给定的

x

和

x

，要计算

y

的精确值是很困难的，通常以一个值（微分）代替

y

，这就是微分的本质．其

应用形式是

dyy

或

f(xx)f(x)f

\'

(x)x

导

数

和

微

积

分

的

应

用

曲线的渐近线方程

①若

xx

0

，y

，则渐近线为

xx

0

；②若

x，yy

0

，则渐

近线为

yy

0

③若

x

，

f(

x

x)

a

，

[f(x)ax]b

，则函数图像

有斜渐近线

yaxb(a0)

不定积分的应用

积

分

的

应

用

定积分在几何上的应用

常用于计算平面图形的面积、旋转体的体积等等．

定积分在力学上的应用

常用于计算变速直线运动的路程、变力做功等等．

定积分在经济生活中的应用

常用于计算供需函数、消费者剩余和生产者剩余等等．

- 39 -

数学家 张竹强

复数的三角形式的概念

abir(cos

isin

)(r0,

R)

三角形式与代数形式的转化

任何一个复数

zabi

都可以表示成

r(cos

isin

)(r0,

R)

的形式。其中

复数的

三角形

式及其

运算

arcos

,brsin

，

为复数的幅角，r为复数z的模

复数的乘除法和乘方开方

①若

z

1

则

z

1

z

2

复

数

的

三

角

形

式

和

几

何

形

式

r

1

(cos

1

isin

1

),z

2

r

2

(cos

2

isin

2

)

r

1

r

2

[cos(

1

2

)isin(

1

2

)]

；

r

1

(cos

1

isin

1

)r

1

[cos(

1

2

)isin(

1

2

)]

r

2

(cos

2

isin

2

)r

2

②

n

r(cos

isin

)

n

r

[cos

2k

n

n

isin

n

2k

n

]

，其中

k0,1,2,,n1

；

[r(cos

isin

)]r(cosn

isinn

)

复数加

减乘除

法、乘

方、开

方运算

的几何

意义

复数的三角形式的正确表示

复数加减法的几何意义

复平面上的曲线方程

复数乘除法的几何意义

复数运算的几何意义的应用

- 40 -

数学家 张竹强

数系和复数

复数的概念

复平面和共轭复数

复数的向量表示

复数的四则运算和性质

复数的运算与复数域方程

复数域方程

复数

复数的三角形式及其运算

复数的三角形式和几何形式

复数加减乘除法与乘方、开

方运算的几何意义

复数的应用 复数的应用

复数的加减法

两个复数的和

abi

cdi

ab

cd

i

复数的四则

运算和性质

复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的

z

1

,z

2

,z

3

C

有：

z

1

z

2

z

2

z

1

（交换律）

z

1

z

2

z

3

z

1

z

2

z

3

（结合律）

复

数

的

运

算

与

复数的乘除法

abi



cdi

acbciadibdi

2

acbd

bdad

i

abi

abi



cdi

acbdbcad



2

2

i

cdi0

2222

cdicdcdcd

z

1

z

2

z

2

z

1

交换率

z

1

z

2

z

3

z

1

z

2

z

3

结合率

z

1

z

2

z

3

z

1

z

2

z

1

z

3

分配率

ω，i的幂运算周期性

复数域方程

i

4n

1

，

i

4n1

i

；

i

4n2

1,i

4n3

i

。

虚实相互转化

含有z的复数方程与解法

- 41 -

数学家 张竹强

复数的形成与定义

复数的有关概念

复数的分类

数系和复数

复数相等的充要条件

若

abicdi

，则

ac,bd

对复数概念的理解和应用

复

数

的

概

念

复平面的概念

共轭复数的概念和性质

复平面和共

轭复数

共轭复数的几何意义

两个复数为什么不能比较大小

复数能否比较大小分析

复数集和复平面所有点组成集合对应的注意事项

复数的向量表示

在复平面内以原点为起点，点

Z

a,b

为终点的向量

OZ

，由

点

Z

a,b

唯一确定，对应复数为

zabi

复数的向量

表示

复数的模

①

zabir

②

ab

22

z

1

z

2

z

1

z

2

z

1

z

2

z

1

z

2

z

1

z

2

;

z

z

1

n

1

;z

n

z

z

2

z

2

③

数形结合利用复数模的几何意义处理相关问题

- 42 -

数学家 张竹强

加法原理与乘法原理

排列

排列组合

组合

排列组合综合题

二项式定理

二项式定理

二项式系数性质

随机事件与概率

排

列

组

合

概

率

统

计

概率

互斥事件其一发生概率

相互独立事件同时发生概率

离散型随机变量的分布列

随机变量

离散型随机变量的期望与方差

抽样方法

统计初步

总体分布的估计

正态分布

线性回归

排列组合概率

统计的应用

排列组合概率统计的应用

- 43 -

数学家 张竹强

加法

原理

与乘

法原

理

加法原理

乘法原理

分类计数与分步计数

怎样分类和分步

排列

排列数

排列数公式

m

A

n

n

n1

...

nm1

n!

,mn,m,nN

nm

!

排列数恒等式

排列

排

列

组

合

mm1mm1m

A

n

nA

n1

以及

A

n

mA

n1

A

n1

怎么理解排列定义中的一定顺序

怎样理解排列数和加法原理、乘法原理的关系

组合

组合数

组合数公式

m

C

n

A

n

m

m

A

m

n(n1)(n2)

m!

(nm1)

n!

m!(nm)!

(mn)

组合

组合数恒等式

mnmmmm101nn

C

n

C

n

、

C

n1

C

n

C

n

、

C

n

C

n

...C

n

2

、

02135

C

n

C

n

...C

n

C

n

C

n

...2

n1

.

区别排列和组合

组合应用题的解题思路

枚举法

排除法

排列

组合

综合

题

插空法

捆绑法

对称法

集合法

- 44 -

数学家 张竹强

二项式定理

0n

1

n

12

n

22

rnrrnn

(ab)

n

C

n

aC

n

abC

n

abC

n

abC

n

b

nN

通项公式

ab

ab

二

项

式

定

理

二

项

式

定

理

n

n

的第

r1

项，记作

T

r1

rnrr

C

n

ab,r0,1,2n

两种特殊的表达

0

n

1

n1n1

a

b

C

n

a

C

n

a

b

...C

n

a

b

n

n1

n

C

n

b

n

0n1n1rnrrnn

C

n

aC

n

ab...

1

C

n

ab...

1

C

n

b

rn

1x

n

122nn

1C

n

xC

n

x...C

n

x

abc

n

的展开式通项

a

r

b

s

c

nrs

的系数是

C

n

r

C

n

s

r

正确理解二项式系数和项的系数的差别

怎样用二项式定理求近似值

怎样用二项式定理求解余数问题

性质一

0n1n1

C

n

C

n

,C

n

C

n

,,

二

项

式

系

数

性

质

性质二

性质三

012n1n

C

n

C

n

C

n

C

n

C

n

2

n

性质四

024

C

n

C

n

C

n

135

C

n

C

n

C

n



杨辉三角

怎样求展开式中系数最大的项

- 45 -

数学家 张竹强

必然事件、不可能事件、随机事件

随机事

件与概

率

一次试验

概率的定义

概率公式

互斥事件

概

率

互斥事

件其一

发生概

率

两个事件的发生概率为

P

AB

P

A

P

B

P

A

两互斥事件可以用概率加法公式

P

AB

P

A

P

B

B

对立事件

对立事件概率满足

P

A

P

B

1

，但反之未必成立.

对立事件和互斥事件的关系

相互独立事件同时发生概率

n

个独立事件

A

1

,A

2

,...,A

n

同时发生的概率，等于每个事件发生的

相互独

立事件

同时发

生概率

概率的积.即

P

A

1

A

2

...A

n

P

A

1

P

A

2

...P

A

n

独立重复试验的事件概率

如果在1次试验中某事件发生的概率是

P

，那么在

n

次重复独立事

件中这个事件恰好发生k次的概率是

C

n

P

kk

1P

nk

- 46 -

数学家 张竹强

随

机

变

量

离

散

型

随

机

变

量

的

分

布

列

随机变量

离散型随机变量

离散型随机变量的分布列

分布列的性质

二项分布

B

n,p

超几何分布

期望的含义

E

p

1

x

1

p

2

x

2

...p

k

x

k

...

为随机变量

的期望或者均值

方差的含义

D

x

1

E

p

1

x

2

E

p

2

...

x

k

E

p

k

...

离

散

型

随

机

变

量

的

为

的均方误差，简称方差

222

标准差



D

D

0

叫做

的标准差

随机变量的线性函数的期望和方差

若

是离散型随机变量，则

随机变量，而且

E

a

b

，其中a，b是常数，也是离散型

aE

b

，

D

a

b

a

2

D

服从二项分布

B

n,p

的随机变量的期望与方差公式

设

B

n,p

，令

q1p

，那么

E

np,D

npq

- 47 -

数学家 张竹强

统计初步

简单随机抽样及其特点

系统抽样及其特点

抽样分布

分层抽样及其特点

三种抽样方法的等概率性

三种抽样方法比较

总体分布的估计

总体分布的

估计

离散型总体及其频率分布表示法

连续型总体及其频率表示法

统计初步

总体与总体分布

频率分布和总体分布的关系

累计分布曲线和累计频率分布

正态分布

密度曲线与密度函数

正态分布及其参数的含义

正态曲线及其性质

函数

F

x

P

x

以及函数

x

利用

x

求随机变量位于某区间的概

变量之间的关系

相关关系

排列组合概

率统计的应

用

散点图

回归分析

线性回归分析的思想以及回归直线方程

相关系数和相关性检验

- 48 -

数学家 张竹强

平面的性质

平面

平面两直线的位置关系

空间两直线的位置关系

直线与直线的关系

两条异面直线所成角

直线与直线平行

直

线

与

平

面

直线和平面平行

直线与平面的关系

直线和平面所成角

平面和平面平行

二面角

异面直线上两点间距离

几何中的平行关系和特

征角

直线与平面的应用 直线与平面的应用

- 49 -

数学家 张竹强

面

面是没有厚度而只有位置和大小的几何图形

平面

可看成是由一条直线沿同一方向平行移动的轨迹

平面图形和空间图形

平面图形可看作是空间图形的一部分

平面的表示法

平

面

的

定

义

和

表

示

平

面

平面常用一个小写希腊字母表示，或用平面上的多边形的顶点字母表示

斜二测画法规则

从直线和平面的类比来理解平面

平面几何与立体几何的联系与区别

斜二测画法的本质与实际应用

平面的基本性质

平面的基本性质实际上就是关于平面的三个公理

公理2：若

Aa,A

，

则



l

且

A

l

公理1：若

Al,Bl,A

,B

，

则

l

公理3：若

Al,Bl,Cl

，

则A

、

B

、

C共面

平面基本性质的推论

这几个推论都是公理3的推论 。

平

面

的

性

质

平面的性质及推论的用途

性质1注药用语判定直线在平面内

性质2主要用来判断两面相交

性质3和推论都是确定一个平面的依据。

几何符号语言与常用语言的互化

平面的性质公理与推论的理解和运用

- 50 -

数学家 张竹强

平面两条直线的位置关系

平面两

直线的

位置关

系

平行公理及其推论

①若

a//b,a//c,Ab,Ac

，则b和c重合

②若

a//b,a//c

，b和c不重合，则

b//c

点到直线的距离

平面上两条直线的距离

异面直线的定义

空间两

直线的

位置关

系

空间两条直线的位置关系

异面直线的判定方法

是否强调共面

怎样理解数学元素间的距离

空间两条直线所成角

空间直线垂直

两条异面直线所成的角

直线

与直

线的

关系

两条异

面直线

所成的

角

两条异面直线垂直

异面直线的公垂线和公垂线段

异面直线的距离

对异面直线所成的角的深度理解

相交直线和异面直线的比较

几何中的角度问题

对异面直线所成的角的深度理解

三线平行公理

射线的平行、正平行与逆平行

直线与

直线平

行

等角定理及推论

空间两条直线平行的判定方法

几何中的平行关系与特征角

升维思想与降维思想

- 51 -

数学家 张竹强

直线和平面平行

直线和平面的位置关系

直线

与平

面平

行

直线和平面平行的判定定理

a,b,

,a

,b

,a//ba//

直线和平面平行的性质定理

a,b,

,

,a

,



b,a//

a//b

空间直线和平面平行的判定方法

特征角

升维思想与降维思想

直线和平面垂直

直线和平面的垂足

直线

与平

面垂

直

直线和平面垂直的判定定理

a,b,l,

,a

,b

,abA,la,lbl

直线和平面垂直的性质定理

a,b,l,

,a

,b

,abA,la,lbl

点到平面的距离

异面直线上两点的距离公式

lmnd2mncos

2222

直线

与平

面的

关系

直

和

面

成

线

平

所

的

射影

直线和平面斜交

直线和平面所成的角

最小角定理

三垂线定理

若

PH

与H，

l

，则

PAlAHl

空间直线垂直的判定方法

- 52 -

数学家 张竹强

椭圆

椭圆的定义、几何性质与标准方程

直线与椭圆的位置关系与判定

双曲线的定义、几何性质与标准方程

双曲线

直线与双曲线的位置关系与判定

抛物线的定义、几何性质与标准方程

圆锥

曲线

方程

抛物线

直线与抛物线的位置关系与判定

坐标平移和平移变换

圆锥曲线

综述

坐标变换和圆锥曲线一般理论

微积分思想在圆锥曲线中的应用

圆锥曲线

的应用

圆锥曲线的理论应用

圆锥曲线方程应用题

- 53 -

数学家 张竹强

椭圆的定义

①普通定义：

F

1

、F

2

，a∈R，且2a＞|F

1

F

2

|，|MF

1

|+|MF

2

|=2a

点M∈椭

圆F

1

F

2

②第二定义：

F，l，e∈R，且F

l，0＜e＜1，

d

为动点M到直线l的距离，

|MF|/

d

=e

点M∈椭圆F上

椭圆定义的延伸

椭圆

的定

义、

几何

性质

与标

准方

程

椭圆的标准方程

焦点在x轴上：

x

a

2

2

y

b

2

2

1

；焦点在y轴上：

y

a

2

2

x

b

2

2

1 (ab0)

椭圆的几何性质

椭圆的参数方程

x

a

2

2

y

b

2

2

1

ab0

的参数方程

xacos

(

被称为离心角,为参数

)

ybsin

F

1

PF

2

2

椭圆的焦三角形面积公式

椭

圆

连接椭圆的两个焦点和椭圆上一点的三角形的面积为

btan

2

直线和椭圆的位置关系

椭圆的切线

椭圆

和直

线的

位置

关系

①

x

a

2

2

y

b

2

2

1

ab0

在点

P

x

0

,y

0

处的切线方程为

2

2

2

2

x

0

x

a

2

y

0

y

b

2

1

②直线

AxByC0

与椭圆

x

a

y

b

1

相切的条件为

AaBbC

22222

③过椭圆外点

P

x

0

,y

0

引两条切线,切点弦所在的直线方程为

x

0

x

a

2

y

0

y

b

2

1

直线与椭圆所成的弦长问题

椭圆的弦的中点问题

椭圆的共轭直径

- 54 -

数学家 张竹强

双曲线的定义

①普通定义：

F

1

、F

2

，a∈R，且2a＞|F

1

F

2

|，|MF

1

|+|MF

2

|=2a

点M∈椭

圆F

1

F

2

②第二定义：

F，l，e∈R，且F

l，0＜e＜1，

d

为动点M到直线l的距离，

|MF|/

d

=e

点M∈椭圆F上

椭圆定义的延伸

双曲

线的

定

义、

几何

性质

与标

准方

程

椭圆的标准方程

焦点在x轴上：

x

a

2

2

y

b

2

2

1

；焦点在y轴上：

y

a

2

2

x

b

2

2

1 (ab0)

椭圆的几何性质

椭圆的参数方程

xacos



2

1

ab0

的参数方程

(

被称为离心角,为参数

)

2

ab

ybsin

xy

22

双

曲

线

椭圆的焦三角形面积公式

连接椭圆的两个焦点和椭圆上一点的三角形的面积为

btan

2

F

1

PF

2

2

直线和椭圆的位置关系

椭圆的切线

双曲

线和

直线

的位

置关

系

①

x

a

2

2

y

b

2

2

1

ab0

在点

P

x

0

,y

0

处的切线方程为

2

2

2

2

x

0

x

a

2

y

0

y

b

2

1

②直线

AxByC0

与椭圆

x

a

y

b

1

相切的条件为

AaBbC

22222

③过椭圆外点

P

x

0

,y

0

引两条切线,切点弦所在的直线方程为

x

0

x

a

2

y

0

y

b

2

1

直线与椭圆所成的弦长问题

椭圆的弦的中点问题

椭圆的共轭直径

- 55 -

数学家 张竹强

抛物线的定义

抛物

线的

定

义、

几何

性质

与标

准方

程

抛

物

线

抛物

线和

直线

的位

置关

系

F

l，d为动点M到直线l 的距离，|MF|/d=e=1

点M∈抛物线F

抛物线的标准方程

焦点在x轴正半轴上：

y2px

；在x轴负正半轴上：

y2px(p0)

焦点在y轴正半轴上：

x

2py

；在y轴负正半轴上：

x

2py(p0)

22

22

抛物线的几何性质

抛物线的参数方程

抛物线

y2px

p0

的参数方程为

2

x2pt

y2pt

2

(t为参数)

.

直线和抛物线的位置关系

抛物线的切线

①

y2px

p0

上一点

P(x

0

,

y

0

)

的切线方程为

y

0

yp(xx

0

)

2

②直线

AxByC0

与抛物线

y2px

p0

相切的条件为

pB2AC

2

2

③过抛物线外一点

P(x

0

,

y

0

)

引切线，切点弦所在的直线方程为

y

0

yp(xx

0

)

④过切点与此点处切线垂直的直线称为抛物线的法线.过抛物线上一点作平行于

对称轴的一条射线（射线方向为抛物线开口方向），则此时经过该点的法线平分

过这一点的焦半径与此射线的夹角.

直线与抛物线所成的弦长问题

抛物线的弦的中点问题

抛物线的升华公式

- 56 -

数学家 张竹强

坐标轴平移公式

坐标轴平移公式的应用

利用坐标轴平移公式化简二元二次方程

长短轴平行于坐标轴的任意中心的椭圆方程

坐

标

平

移

和

平

移

变

换

长轴平行于x轴

(xx

0

)

a

2

2

(yy

0

)

b

2

2

1

ab0

;

圆

锥

曲

线

综

述

长轴平行于y轴：

(xx

0

)

b

2

2

(yy

0

)

a

2

2

1

ab0

虚实轴平行于坐标轴的任意中心的双曲线方程

实轴平行于x轴：

(xx

0

)

a

2

2

(yy

0

)

b

2

2

1

a0,b0

实轴平行于y轴：

(xx

0

)

a

2

2

(yy

0

)

b

2

2

1

a0,b0

对称轴平行于坐标轴的任意顶点的抛物线方程

对称轴平行于x轴，开口向右：

(y

对称轴平行于x轴，开口向左：

(y

y

0

)

2

2p(xx

0

),(p0)

y

0

)

2

2p(xx

0

),(p0)

2

对称轴平行于y轴，开口向上：

(xx

0

)

对称轴平行于y轴，开口向下：

(xx

0

)

2p(yy

0

),(p0)

2p(yy

0

),(p0)

2

给定渐近线的双曲线系方程

坐标轴平移和图像平移

图像平移公式

图像平移公式的应用

如何理解平移公式中的左加右减、上加下减

- 57 -

数学家 张竹强

坐标轴旋转公式

坐标变换

和圆锥曲

线的一般

理论

坐标轴旋转公式的应用

利用坐标轴旋转公式化简二元二次方程

基本的对称变换

关于经过原点的直线的对称变换

圆锥

曲线

综述

极坐标下圆锥曲线的参数方程

圆锥曲线系

对称公式的进一步补充

关于任意点的旋转变换

经过两圆锥曲线的交点的圆锥曲线系

一般二次曲线切线问题的常规解法

坐标变换

和圆锥曲

线的一般

理论

一般二次曲线切线问题的微积分解法

一般二次曲线切点弦问题的常规解法

一般二次曲线切点弦问题的微积分解法

直线与圆锥曲线相切与直线与圆锥曲线有一个交点

过定点作与双曲线相交于一点的直线问题

- 58 -


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