2024年4月13日发(作者：应县中考题目数学试卷分析)

二项式定理与性质

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二项式定理：

，

它共有n+1项，其中（r=0，1，2…n）叫做二项式系数，叫做二项

式的通项，用T

r+1

表示，即通项为展开式的第r+1项.

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二项式系数的性质：

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；

（2）增减性与最大值：当r≤

时，

时，二项式系数的值逐渐增大；当r≥

的值逐渐减小，且在中间取得最大值。

取得最大值；当n为奇数时，中间两项当n为偶数时，中间一项的二项式系数

的二项式系数相等并同时取最大值。

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二项式定理的特别提醒：

①的二项展开式中有(n+1)项，比二项式的次数大1．

，它与二项展开式的系数是两个②二项式系数都是组合数

不同的概念，在实际应用中应注意区别“二项式系数”与“二项展开式的系数”。

③二项式定理形式上的特点：

在排列方式上，按照字母a的降幂排列，从第一项起，a的次数由n逐项减小1，

直到0，同时字母6按升幂排列，次数由0逐项增加1，直到n，并且形式不能

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乱．

④二项式定理中的字母a，b是不能交换的，即与的展开式是

有区别的，二者的展开式中的项的排列次序是不同的，注意不要混淆．

⑤二项式定理表示一个恒等式，对于任意的实数a，b，该等式都成立，因而，对

a，b取不同的特殊值，可以对某些问题的求解提供方便，二项式定理通常有如下

两种情形:

⑥对二项式定理还可以逆用，即

可用于式子的化简。

二项式定理常见的利用：

方法1：利用二项式证明有关不等式证明有关不等式的方法：

(1)用二项式定理证明组合数不等式时，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再

结合不等式证明的方法进行论证．

(2)运用时应注意巧妙地构造二项式．证明不等式时，应注意运用放缩法，即对结

论不构成影响的若干项可以去掉．

方法2：利用二项式定理证明整除问题或求余数：

(1)利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本做法

是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后

的各项均能被另一个式子整除即可．

(2)用二项式定理处理整除问题时，通常把底数写成除数（或与除数密切相关的

数）与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面（或者是前面）

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一、二项就可以了．

(3)要注意余数的范围，为余数，b∈[0，r)，r是除数，利用二项

式定理展开变形后，若剩余部分是负数要注意转换．

方法3：利用二项式进行近似解：

当a的绝对值与1相比很少且n不大时，常用近似公式

为这时展开式的后面部分

地，有

，因

很小，可以忽略不计，类似

但使用这两个公式时应注意a的条件以及对计算精确

度的要求．要根据要求选取展开式中保留的项，以最后一项小数位超要求即可，少

了不合要求，多了无用且增加麻烦．

方法4：求展开式特定项：

(1)求展开式中特定项主要是利用通项公式来求，以确定公式中r的取值或范围．

(2)要正确区分二项式系数与展开式系数，对于(a-b)

n

数展开式中系数最大项问题可

以转化为二项式系数的最大问题，要注意系数的正负．

方法5：复制法

利用复制法可以求二项式系数的和及特殊项系数等问题。一般地，对于多项式

方法6：多项式的展开式问题：

对于多项式(a+b+c)

n

，我们可以转化为[

a+(b+c)]

n

的形式，再利用二项式定理，求解有关问题。

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