2024年4月18日发(作者：2014全国高考数学试卷)
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初中数学竞赛专题培训第二讲：因式分解(二)
1．双十字相乘法
分解二次三项式时，我们常用十字相乘法．对于某些二元二
次六项式(ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f)，我们也可以用十字相乘法
分解因式．
例如，分解因式2x
2
-7xy-22y
2
-5x+35y-3．我们将上式按x降
幂排列，并把y当作常数，于是上式可变形为
2x
2
-(5+7y)x-(22y
2
-35y+3)，
可以看作是关于x的二次三项式．
对于常数项而言，它是关于y的二次三项式，也可以用十字
相乘法，分解为
即：-22y
2
+35y-3=(2y-3)(-11y+1)．
再利用十字相乘法对关于x的二次三项式分解
所以，原式=［x+(2y-3)］［2x+(-11y+1)］
=(x+2y-3)(2x-11y+1)．
上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法．如果把这两
个步骤中的十字相乘图合并在一起，可得到下图：
它表示的是下面三个关系式：
(x+2y)(2x-11y)=2x
2
-7xy-22y
2
；
(x-3)(2x+1)=2x
2
-5x-3；
(2y-3)(-11y+1)=-22y
2
+35y-3．
这就是所谓的双十字相乘法．
原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)．
说明 (4)中有三个字母，解法仍与前面的类似．
用双十字相乘法对多项式ax
2
+bxy+cy
2
+dx+ey+f进行因式分
解的步骤是：
(1)用十字相乘法分解ax
2
+bxy+cy
2
，得到一个十字相乘图(有
两列)；
(2)把常数项f分解成两个因式填在第三列上，要求第二、第
三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的ey，第一、第三
列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx．
例1 分解因式：
(1)x
2
-3xy-10y
2
+x+9y-2；
(2)x
2
-y
2
+5x+3y+4；
(3)xy+y
2
+x-y-2；
(4)6x
2
-7xy-3y
2
-xz+7yz-2z
2
．
解 (1)
原式=(x-5y+2)(x+2y-1)．
(2)
原式=(x+y+1)(x-y+4)．
(3)原式中缺x
2
项，可把这一项的系数看成0来分解．
原式=(y+1)(x+y-2)．
(4)
2．求根法
我们把形如a
n
x+a
n-1
x+…+a
1
x+a
0
(n为非负整数)的代数式称
为关于x的一元多项式，并用f(x)，g(x)，…等记号表示，
nn-1
说明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是
-4的约数，反之不成立，即-4的约数不一定是多项式的根．因
如
f(x)=x
2
-3x+2，g(x)=x
5
+x
2
+6，…，
当x=a时，多项式f(x)的值用f(a)表示．如对上面的多项式
f(x)
f(1)=1
2
-3×1+2=0；
f(-2)=(-2)
2
-3×(-2)+2=12．
若f(a)=0，则称a为多项式f(x)的一个根．
定理1(因式定理) 若a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0
成立，则多项式f(x)有一个因式x-a．
根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求
多项式f(x)的根．对于任意多项式f(x)，要求出它的根是没
有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整
系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根．
定理2
的根，则必有p是a
0
的约数，q是a
n
的约数．特别地，当a
0
=1
时，整系数多项式f(x)的整数根均为a
n
的约数．
我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因
式，从而对多项式进行因式分解．
例2 分解因式：x
3
-4x
2
+6x-4．
分析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4
的约数，逐个检验-4的约数：±1，±2，±4，只有
f(2)=2
3
-4×2
2
+6×2-4=0，
即x=2是原式的一个根，所以根据定理1，原式必有因式x-2．
解法1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2)．
原式=(x
3
-2x
2
)-(2x
2
-4x)+(2x-4)
=x
2
(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)
=(x-2)(x
2
-2x+2)．
解法2 用多项式除法，将原式除以(x-2)，
所以
原式=(x-2)(x
2
-2x+2)．
此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证．
例3 分解因式：9x
4
-3x
3
+7x
2
-3x-2．
分析 因为9的约数有±1，±3，±9；-2的约数有±1，±
为：
所以，原式有因式9x
2
-3x-2．
解 9x
4
-3x
3
+7x
2
-3x-2
=9x
4
-3x
3
-2x
2
+9x
2
-3x-2
=x
2
(9x
3
-3x-2)+9x
2
-3x-2
=(9x
2
-3x-2)(x
2
+1)
=(3x+1)(3x-2)(x
2
+1)
说明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因
式化为整系数因式，如上题中的因式
可以化为9x
2
-3x-2，这样可以简化分解过程．
总之，对一元高次多项式f(x)，如果能找到一个一次因式
(x-a)，那么f(x)就可以分解为(x-a)g(x)，而g(x)是比f(x)
低一次的一元多项式，这样，我们就可以继续对g(x)进行分
解了．
3．待定系数法
待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，
这里介绍它在因式分解中的应用．
在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成
某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可
以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个
因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该
相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定
系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式
分解的方法叫作待定系数法．
例4 分解因式：x
2
+3xy+2y
2
+4x+5y+3．
分析 由于
(x
2
+3xy+2y
2
)=(x+2y)(x+y)，
若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m
和x＋y＋n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问
题得到解决．
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解 设
x+3xy+2y+4x+5y+3
=(x+2y+m)(x+y+n)
=x+3xy+2y+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有
22
22
(3)3x-11xy+6y-xz-4yz-2z．
222
解之得m=3，n=1．所以
原式=(x+2y+3)(x+y+1)．
说明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．
例5 分解因式：x
4
-2x
3
-27x
2
-44x+7．
分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根
法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经
检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没
有一次因式．如果原式能分解，只能分解为(x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)
的形式．
解 设
原式=(x
2
+ax+b)(x
2
+cx+d)
=x
4
+(a+c)x
3
+(b+d+ac)x
2
+(ad+bc)x+bd，
所以有
由bd=7，先考虑b=1，d=7有
所以
原式=(x
2
-7x+1)(x
2
+5x+7)．
说明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1，d=-7等可以不
加以考虑．本题如果b=1，d=7代入方程组后，无法确定a，
c的值，就必须将bd=7的其他解代入方程组，直到求出待定
系数为止．
本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式．但利用
待定系数法，使我们找到了二次因式．由此可见，待定系数
法在因式分解中也有用武之地．
练习二
1．用双十字相乘法分解因式：
(1)x
2
-8xy+15y
2
+2x-4y-3； (2)x
2
-xy+2x+y-3；
2．用求根法分解因式：
(1)x
3
+x
2
-10x-6； (2)x
(3)4x
4
+4x
3
-9x
2
-x+2．
3．用待定系数法分解因式：
(1)2x
2
+3xy-9y
2
+14x-3y+20；
4
+3x
3
-3x
2
-12x-4；
4
+5x
3
+15x-9．
(2)x
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