高等数学考试题及答案

2024年4月13日发(作者：石湍小学数学试卷)

高等数学考试题及答案

1. 选择题

a) 在极限理论中，\"夹逼定理\"是指什么？

b) 求极限lim(x→0) (sinx/x)。

c) 函数f(x)在x=1处可导，则下列哪些函数在x=1处一定可导？

(A) f(x)g(x) (B) |f(x)| (C) f(x)^2+g(x)^2

d) 求曲线y=ln(x)在点(1,0)处的切线方程。

e) 设函数y=e^x，求函数y=ln(x)的反函数。

2. 填空题

a) 函数f(x)=x^2-3x+2的极值点为______。

b) 设函数f(x)在点x=a处可导，且f\'(a)=0，则函数f(x)在x=a处取

得______。

c) 下列哪个级数发散？(A) ∑(n=1 to ∞) (1/n) (B) ∑(n=1 to ∞)

(sin(nπ/6)) (C) ∑(n=1 to ∞) (1/2^n)

d) 已知函数f(x)在区间[0,2π]上连续，且满足f(x+π)=f(x)，则函数

f(x)的一个原函数为______。

e) 设函数f(x)=x^2-4，g(x)=2x+3，则f(g(______))=______。

3. 解答题

a) 求函数f(x)=3x^3-4x^2+2x-5的导函数及导数最大值所对应的x

值。

b) 如果一条曲线在点P处的切线斜率为4，且过点P的法线与此

切线垂直，则该曲线在点P处的切线方程是什么？

c) 已知函数f(x)=e^x的反函数为f^{-1}(x)，求函数f^{-1}(x)的导

函数。

d) 求级数∑(n=0 to ∞) (1/2^n)的和。

4. 应用题

a) 一块铁板的长度为25cm，宽度为20cm，将其四个角剪去等腰

直角三角形，使得其余部分的周长最小。求剪去的等腰直角三角形的

边长。

b) 设某企业的年利润P(万元)与年销售额x(亿元)之间的关系为

P=2x^2-6x+10，求当年销售额为10亿元时的年利润变化率。

答案：

1. 选择题

a) 夹逼定理指的是，如果函数h(x)，g(x)，f(x)满足在区间[a, b]上，

对任意x，有h(x)≤ g(x) ≤ f(x)，且lim(x→a) h(x) = lim(x→a) f(x) = L，

则lim(x→a) g(x) = L。

b) lim(x→0) (sinx/x) = 1。

c) B。