2009年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(全国Ⅰ.理)含详解_

2024年4月18日发(作者：田启翔中考数学试卷)

2009年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学（必修+选修

Ⅱ

）

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本试卷分第错误！未找到引用源。卷（选择题）和第错误！未找到引用源。卷（非选择题）

两部分．第错误！未找到引用源。卷1至2页，第错误！未找到引用源。卷3至4页．考试结

束后，将本试卷和答题卡一并交回．

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第Ⅰ卷

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考生注意：

1．答题前，考生在答题卡上务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号、填

写清楚 ，并贴好条形码．请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目．

2．每小题选出答案后，用2Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡

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皮擦干净后，再选涂其他答案标号．

在试题卷上作答无效

．

．．．．．．．．．

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3．本卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的．

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参考公式：

如果事件

A，B

互斥，那么

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球的表面积公式

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P(AB)P(A)P(B)

S4πR

2

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如果事件

A，B

相互独立，那么

其中

R

表示球的半径

球的体积公式

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P(AB)P(A)P(B)

如果事件

A

在一次试验中发生的概率是

P

，那么

V

4

3

π

R

3

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n

次独立重复试验中恰好发生

k

次的概率 其中

R

表示球的半径一、选择题

高考资

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A



B，则集合



u

(A

素共有（A）

（A）3个 （B）4个 （C）5个 （D）6个

w.w.w.k.s.

I

B)

中的元

解：

AB{3,4,5,7,8,9}

，

AB{4,7,9}C

U

(AB){3,5,8}

故选A。也可用摩根律：

C

U

(AB)(C

U

A)(C

U

B)

（2）已知????i则复数z??（B??）wwwks??ucom????

（A）????i?????????? B??????i?????????????????? C????i?????????????????? D????i

????

i)13i,z13i

故选B。解：

z(1i)(2

??????

w.w.w.k.s.

(3) 不等式

X1

＜1的解集为（ D ）

X1

（A）｛x

0x1







xx1



(B)



x0x1





w.w.w.k.s.

（C）



x1x0



(D)

xx0



解：验x=-1即可。

x

2

y

2

2

(4)设双曲线

2



2

1

（a＞0,b＞0）的渐近线与抛物线y=x+1相切，则该双曲线的离心率

ab

等于( C )

（A）

3

（B）2 （C）

5

（D）

6

解：设切点

P(x

0

,y

0

)

，则切线的斜率为

y

\'

w.w.w.k.s.

|

xx

0

2x

0

.由题意有

y

0

2x

0

又

y

0

x

0

2

1

x

0

解得:

x

0

1,

2

bb

2,e1()

2

5

.

aa

w.w.w.k.s.

(5) 甲组有5名男同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选

出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( D )

（A）150种 （B）180种 （C）300种 (D)345种

112

w.w.w.k.s.

w.w.w.k.s.

解: 分两类(1) 甲组中选出一名女生有

C

5

C

3

C

6

225

种选法;

211

(2) 乙组中选出一名女生有

C

5

C

6

C

2

120

种选法.故共有345种选法.选D

（6）设

a

、

b

、

c

是单位向量，且

a

·

b

＝0，则



ac







bc



的最小值为 ( D )

（A）

2

（B）

22

（C）

1

(D)

12



2



b(ab)



cc

解:



a,b,c

是单位向量

acbca





1|ab|



|c|12cosab,c12

故选



w.w.w.k.s.

C

1

A

1

B

1

D.

（7）已知三棱柱

ABCA

1

B

1

C

1

的侧棱与底面边长都相等，

A

1

在底

A

C

D

B

面

ABC

上的射影为

BC

的中点，则异面直线

所成的角的余弦值为（ D ）

与

（A） （B） （C） (D)

w.w.w.k.s.

解：设

BC

的中点为D，连结

A

1

D，AD，易知



A

1

AB

即为异面直线

由三角余弦定理，易知

cos



cosA

1

ADcosDAB

与

CC

1

所成的角,

ADAD3



.故选D

A

1

AAB4

w.w.w.k.s.

（8）如果函数

y＝3cos



2x＋





的图像关于点



（A）



4





，0



中心对称，那么

|



|

的最小值为（A）



3



w.w.w.k.s.





（B） （C） (D)

6432



4





，0



中心对称



3



w.w.w.k.s.

解:



函数

y＝3cos



2x＋





的图像关于点



由此易得.故选A

(9) 已知直线y=x+1与曲线

yln(xa)

相切，则α的值为( B )

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

w.w.w.k.s.

x

0

a1y

0

0,x

0

1a2

.故答案选B

w.w.w.k.s.

，Q到α（10）已知二面角α-l-β为

60

o

，动点P、Q分别在面α、β内，P到β的距离为

的距离为

23

，则P、Q两点之间距离的最小值为（ C ）

(A) (B)2 (C)

23

(D)4

w.w.w.k.s.

解:如图分别作

QA



于A,ACl于C,PB



于B,

PDl于D

，连

CQ,BD则ACQPBD60,

AQ23,BP3

，

又

当且仅当，即重合时取最小值。故答案选C。

w.w.w.k.s.

w.w.w.k.s.

（11）函数

f(x)

的定义域为R，若

f(x1)

与

f(x1)

都是奇函数，则( D )

(A)

f(x)

是偶函数 (B)

f(x)

是奇函数 (C)

f(x)f(x2)

(D)

f(x3)

是奇函数

解:



f(x1)

与

ਁ

铽是奇函数뼌

f(x1)f(x1),f(x1)f(x1)

ｌ

Ꮚ烹

12

孹称﬌函╰

f(x)

ਁ是周期ਁ



函敠

f(x)

关于点ਁ EMBED Åq⁵`ɵ聩联<Ġ

(1,0)

15，

EM@D Ꮚ4 \"

T2[1(1)]4

的䑨星﬌数.

f(x14)f(x14)

，

f(x3)f(x3)

，即

f(x3)

是奇函数。故选D

x

2

12.已知椭圆

C:y

2

1

的右焦点为

F

,右准线为

l

，点

Al

，线段

AF

交

C

于点

B

，若

2





FA3FB

,则

|AF|

=

(A).

2

(B). 2 (C).

3

(D). 3

w.w.w.k.s.

解:过点B作

故

|BM|



于M,并设右准线

l

与X轴的交点为N，易知FN=1.由题意

FA3FB

,

222

2

|AF|2

.故选A



.又由椭圆的第二定义,得

|BF|

233

3

第II卷

w.w.w.k.s.

二、填空题：

7337

13.



xy



的展开式中，

xy

的系数与

xy

的系数之和等于 。

10

解:

C

10

(C

10

)2C

10

240

373

w.w.w.k.s.

= 。

14. 设等差数列



a

n



的前

n

项和为

S

n

，若

S

9

72

,则

解: 是等差数列,由

S

9

72

,得

a

2

a

4

a

9

(a

2

a

9

)a

4

(a

5

a

6

)a

4

3a

5

24

.

15. 直三棱柱

w.w.w.k.s.

ABCA

1

B

1

C

1

的各顶点都在同一球面上，若

w.w.w.k.s.

ABACAA

1

2

,

BAC120

，则此球的表面积等于 。

解:在

ABC

中

ABAC2

,

BAC120

,可得

BC23

,由正弦定理,可得

ABC

外接圆

半径r=2,设此圆圆心为

O



，球心为

O

，在

RTOBO



中，易得球半径

R

表面积为

4



R20



.

2

5

，故此球的

w.w.w.k.s.

16. 若



4

x



2

，则函数

ytan2xtanx

的最大值为 。

3

解:令

tanxt,



3



4

x



2

t1

,

w.w.w.k.s.

2tan

4

x2t

4

222

ytan2xtanx8

1tan

2

x1t

2

1



1

(

1



1

)

2



1



1

t

4

t

2

t

2

244

w.w.w.k.s.

三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）

．．．．．．．．．．．．

在

ABC

中，内角A、B、C的对边长分别为

a

、

b

、

c

，已知

ac2b

，且

22

sinAcosC3cosAsinC

求b

w.w.w.k.s.

22

分析:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1)

ac2b

左侧是

二次的右侧是一次的,学生总感觉用余弦定理不好处理,而对已知条件(2)

sinAcosC3cosAsinC,

过多的关注两角和与差的正弦公式,甚至有的学生还想用现在已经

不再考的积化和差,导致找不到突破口而失分.

解法一：在

ABC

中

sinAcosC3cosAsinC,

则由正弦定理及余弦定理

a

2

b

2

c

2

b

2

c

2

a

2

3c,

化简并整理得：

2(a

2

c

2

)b

2

.又由已知有:

a

2ab2bc

.

a

2

c

2

2b4bb

2

.解得

b4或b0(舍）

222

w.w.w.k.s.

2

解法二:由余弦定理得:

acb2bccosA

.又

ac2b

,

b0

。

所以

b2ccosA2

…………………………………①

又

sinAcosC3cosAsinC

，

sinAcosCcosAsinC4cosAsinC

2

sin(AC)4cosAsinC

，即

sinB4cosAsinC

由正弦定理得

sinB

b

sinC

，故

b4ccosA

………………………②

c

由①，②解得

b4

。

评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备考中应注意总结、提高