高一数学数列试题

2024年3月14日发(作者：今年河北高考数学试卷)

高一数学数列试题

1. 设为数列的前n项和，若是非零常数，则称该数列为“和等比数列”.若数列

）的等差数列，且数列是“和等比数列”，则与的关系是首项为，公差为（

式为 .

【答案】

【解析】若数列是首项为

则

，公差为d（d≠0）的等差数列，且数列

，若是非零常数，则d=2c

1

是“和等比数列”，

【考点】本题考查的知识点是和等比关系的确定和性质，解答的关键是正确理解“和等比数列”的

定义，并能根据定义构造出满足条件的方程．

2. 设

A．

成等比数列，其公比为2，则

B．

的值为 （ ）

C．

D．1

【答案】A

【解析】略

3. （本小题满分12分）已知等差数列的公差，该数列的前项和为

．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，，求数列的通项公式．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

，且满足

【解析】（Ⅰ）将已知条件转化为等差数列的基本量，解方程组得到首项和公差，进而得到通项

公式（Ⅱ）借助于数列求得数列的递推公式，根据特点采用累和法求通项

试题解析：（Ⅰ）因为

因为

所以

（Ⅱ）因为

所以

，

……

．相加得

，

．

，

，

== 即．

， 所以

所以

． 所以 ．

，即．

【考点】1.等差数列通项公式；2.累和法求通项

4. 若数列的前n项和为，则（ ）

A．

C．

B．

D．

【答案】A

【解析】此题是已知求通项，当时，

，验证：当

，当

时，

时，

成立，所以．

【考点】已知求

5. 已知等比数列的前项和为

【答案】

【解析】

，若

，

，则的值是 ．

【考点】等比数列性质及求和公式

6. 在等比数列中，，且

（1）求数列的通项公式；

（2）若数列满足（

【答案】（1）（2）

，是和的等差中项．

的前项和． ），求数列

【解析】（1）将已知条件建立等式关系后转化为等比数列的首项和公比表示，通过解方程组得

到基本量，从而写出通项公式；（2）首先将数列通项公式化简，根据特点求和时

采用分组求和，通项中部分分成一组，部分分成一组，分别利用等比数列等差数列求和公

式计算

试题解析：（1）设等比数列的公比为．由可得，

因为，所以 依题意有，得

因为，所以，所以数列通项为 （6分）

（2）

可得

．（12分）

【考点】1．等差等比数列通项公式及求和；2．数列的分组求和

7. 设等差数列中，已知，则 =______．

【答案】10

【解析】，所以，==10

【考点】等差数列的性质应用

8. 若是等比数列，有，是等差数列，且，则（ ）

A．4

B．8

C．0

D．16

【答案】B

【解析】根据等比数列的性质，所以，解得：，又根据等差数列的性质

【考点】1．等差数列的性质；2．等比数列的性质．

9. 等差数列的前三项为，，，则 ；数列的通项公式 ．

【答案】；

【解析】前三项成等差数列，所以，所以，，那数列的前三项分别是，

，，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以

【考点】1．等差数列的通项公式；2．等差中项．

10. （本小题满分9分）等比数列的各项均为正数，且

（1）求数列

（2）设

【答案】（1）（2）

的通项公式；

求数列的前n项和．

【解析】第一问设出首项和公比，利用

第二问首先借助第一问求出

试题解析：解析：（Ⅰ）设数列

由条件可知a>0,故

故数列

（Ⅱ）

故

所以数列的前n项和为

。 由

．

再利用裂项

的公比为q，由

得

得到，得到通项公式a

n

=

求和．

得

，所以

所以

。

。

的通项式为a

n

=

【考点】等比数列的通项公式，裂项求和法．

11. 数列

A．

满足

B．

，则

C．

的整数部分是（ ）

D．

【答案】B

【解析】，所以

所以：，

，累加得：

所以

根据已知，

所以

根据递推公式得：，

，

，所以，那么

那么的整数部分是．

【考点】1．递推数列；2．累加法．

12. 已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且

．设，则数列的前10项和等于 ．

【答案】

【解析】，所以，而，所以代入后得：

，所以是等差数列，那么前10项和是．

、

【考点】1．等差数列的通项公式；2．等差数列的前项和．

13. 已知等差数列的公差，若

【答案】1008

【解析】由前n项和公式可得：

【考点】1．等差数列前n项和公式；2．等差中项

14. 已知等比数列满足，则 ．

【答案】64

【解析】设等比数列公比为，根据题意可得，所以

，则_____．

，所以可得

，所以

【考点】等比数列性质

15. 设是等差数列的前n项和，若S

7

=35，则a

4

=（ ）

A．8

B．7

C．6

D．5

【答案】D

【解析】依题意有

【考点】等差数列前项和公式．

16. 设等差数列

（

（1）求数列

（2）求数列

（3）记集合

围.

【答案】（1）

的前项和为，且，，数列的前项和为，且，

．

）.

的通项公式及前项和；

的通项公式及前项和为；

，若集合中有且仅有5个元素，求实数的取值范

，；（2）； ；（3） ．

【解析】（1）依据题设及等差数列的通项公式建立方程解；（2）先依据题设运用叠乘的方法求

,再运用错位相减法求；（3）运用函数的单调性建立不等式进行求解．

试题解析：

（1）由题意得

所以

（2）由

所以当

当

，①

，②

①-②得，，

时，

时，

.

得

即

，适合上式，所以

，

.

，解得，所以，

所以

（3）因为

，令

，

时，

，，

，即

，，

，

，

解的个数为5，

所以由上面可得:

又因为

所以当

又

因为集合中有且仅有5个元素，所以

所以.

【考点】1、等差数列的通项及前项和的应用；2、数列中的叠乘、错位相减等数学方法；3、灵

活运用数列知识分析问题解决问题的能力．

【易错点晴】本题主要考查的是数列与等差数列的通项公式及前项和公式的运用，属于中档偏

难的问题．解题时一定要借助题设条件，灵活运用数学思想和方法，否则很容易出现错误．第一

问直接利用等差数列的通项和前项和公式建立方程组求解；第二问中则运用了错位相减法进行

求解；第三问是运用函数的单调性建立不等式进行求解．解范围这类问题的常规思路是要建立函

数或建立不等式，灵活运用数学思想和方法进行转化与化归．

17. 已知数列的前项和．

（1）求数列

（2）若数列

【答案】（1）

【解析】（1）根据

的结论，首先求出数列

试题解析：（1）因为数列

所以当时，

，满足上式，

，又

，又

，所以

，所以

．

又当时，

（2）由（1）可知

又数列

所以数列

的通项公式；

是等比数列，公比为

；（2）

且

.

的通项公式；（2）根据（1）

的通项公式，再根据等比数

，求数列的前项和．

的关系并结合对的讨论就可得到数列

首项以及公比的值，进而得到数列

的前项和．

，

，

的前项和

列的求前项和公式就可求出数列

是公比为正数等比数列，所以

的前项和

【考点】1、等差数列、等比数列；2、数列的通项公式；3、数列的前项和公式.

18. 数列的前项和为，已知数列是首项和公比都是的等比数列，则的通项公 式

．

【答案】

【解析】由题意可知

于不适合

，所以当

所以

时，当时，

.

由

的通项公式

【考点】等比数列的通项公式及数列求和.

19. 设等差数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）在等差数列中，将转化成进而转化为

可求得通项公式；（2）将代入，便可求得，即

便可求得．

试题解析：（1）假设数列的公差为，

则

即

（2），即数列为等比数列

所以.

从而求得公差，便

为等比数列，利用公式

【考点】数列的通项与前前项.

20. 在等差数列中，，数列

A．2

B．4

是等比数列，且

C．8

，则的值为（ ）

D．16

【答案】D

【解析】由题意得，在等比数列中，可得，在等差数列

，又，所以，故选D．

【考点】等差、等比数列的性质．

21. 已知等比数列

【答案】

【解析】由题意，即，，所以．

的各项均为正数，，，则 .

，可得，所以

【考点】 等比数列的通项公式．

22. 设是公比不为1的等比数列，且成等差数列.

（1） 求数列的公比；

（2） 若，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）．

)， 由成等差数列,得

用表示为，

【解析】（1）由等比数列的通项公式出发，数列的公比为(

,即，可解得；（2）把已知

可求得范围．

试题解析：（1）设数列的公比为()，

由成等差数列,得,即.

由得,解得(舍去).

∴.

（2）

【考点】等比数列的通项公式．

23. 在等差数列中,=1,又a

1

,,成公比不为1的等比数列.

（Ⅰ）求数列的公差；

（Ⅱ）设,求数列的前n项和.

【答案】（I）；（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）设等差数列

.

的公差为,由等差数列的通项公式求出

，代入

，由等比中项的性质列

出方程，求出的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出化简，由裂项相消法求出数列

的前项和.

试题解析：（I）设等差数列的公差为d,

因为,所以

又成公比不为的等比数列,则

所以,计算得出或（舍去）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得,

则

,所以

【考点】（1）等差数列通项公式；（2）数列求和.

24. 已知数列中，前项和为，且点

则

A．

=（ ）

在一次函数上的图象上，

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】点

列，其中首项为

，

【考点】1、等差数列；2、数列求和．

25. 已知为等比数列，若，

A．

在一次函数上

，公差为，

的图象上，

的前项和

，数列

，

．故选D．

为等差数

，数列

，则公比的值为（ ）

C．

D．

B．

【答案】B

【解析】设等比数列的公比为，则，即，两式相除得

．故选B．

【考点】等比数列的通项公式．

26. 已知等差数列的前项之和为

A．B．

，前项和为

C．

，则它的前

项的和为（ ）

D．

【答案】C

【解析】由于等差数列中

以，故选C.

【考点】等差数列前项和的性质.

27. 在正项等比数列中

也成等差数列，即成等差数列，所

成等差数列，则等于( )

A．3或﹣1

B．9或1

C．1

D．9

【答案】D

【解析】设数列的公比为q（q>0），依题意，，整理得：q

2

-2q-

, 故选：D． 3=0，解得：q=3或q=-1（舍），

【考点】等比数列通项公式

28. 已知函数

（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；

，数列满足：，，数列满足：

（2）求数列的通项公式和它的前项和.

【答案】（1）证明见解析，；（2）

【解析】（1）首先探求数列的递推关系，由

结合要证结论，此式可变形为

由等比数列通项公式可得；（2）由（1）得

时，用

，计算

知

，因此有

，即

是等比数列，

，

，此式相当于已知数列的

代入后得

可以看作是一个等差数列与等比数

前项和，求通项的问题，因此只要再写出

，两式相减可得，由于

列相乘所得，因此其前项和采用错位相减法求得．

试题解析：（1）

是以2为首项，以2为公比的等比数列

（2）

，

，

，

，， 符合上式，

，

，

所以，

所以

【考点】等比数列的判断，已知求通项，错位相减法．

【名师】（1）证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空

题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．

（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，

那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．

29. 已知数列

（1）求

（2）设

【答案】（1）

【解析】（1）将

项，进而求出

的前n项和为,且

恰有5个元素,求实数的取值范围.

．

，从而可知数列是等比数列，求出

，根据

的通

的通项公式；

,若集合

；（2）

变形得

；（2）先根据的通项公式利用错位相减法法求出

求出，再判断数列的单调性，从而确定实数的取值范围．

试题解析：（1）由已知得

所以，数列

，

（2）由（1）知

，

，

，

，

，

，

所以，当

，即

因为

要使得集合

，即

，

，

，其中，

的等比数列， 是公比为的等比数列，首项

，

，

有5个元素， 实数的取值范围为．

写成两个数列的积

的前项的和

的两边都乘以得

；第五步：两式两边都除

【考点】1、数列通公式的求法；2、等比数列的定义；3、数列求和．

【方法点睛】利用错位相减法求数列前项和的一般步骤：第一步：将数列

的形式，其中为等差数列，为等比数列；第二步：写出数列

；第三步：将

；第四步：两式错位相减得

以得．本题主要考查了由数列的递推关系求通项，等比关系的确定以及错位相减法求和法

的应用，同时考查了分析问题与解决问题的能力，属于中档题．

30. 设等比数列的公比为，其前项之积为，并且满足条件：，

.给出下列结论：（1）

中最大的；（4）使

A．（1）,（3）

；（2）（3）的值是

成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为( )

B．（2）,（3）

C．（2）,（4）

D．（1）,（4）

【答案】C

【解析】由已知推得a

2015

<1或a

2016

<1．然后分析若a

2015

<1，那么a

2016

>1，若a

2015

<0，则q<0结

合等比数列的通项公式可得q＞0．再由等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．

可知：a

2015

<1或a

2016

＜1．

如果a

2015

<1，那么a

2016

>1，若a

2015

<0，则q＜0；

又∵a

2016

＝a

1

q

2015

，∴a

2016

应与a

1

异号，即a

2016

＜0，这假设矛盾，故q>0．

若q≥1，则a

2015

>1且a

2016

>1，与推出的结论矛盾，故0

又a

2015

a

2017

＝a

2016

2

<1，故（2）错误；

由结论（1）可知a

2015

>1，a

2016

<1，故数列从2016项开始小于1，则T

2015

最大，故（3）错误；

由结论（1）可知数列从2016项开始小于1，而T

n

=a

1

a

2

a

3

…a

n

，故当T

n

＝(a

2015

)

2

时，求得T

n

>＞

1对应的自然数为4030，故（4）正确．故选：C．

【考点】等比数列性质

【方法点睛】等比数列的性质可以分为三类：①通项公式的变形，②等比中项的变形，③前n项