2024年3月14日发(作者：去年河北省中考数学试卷)

第十六教时

教材：数列极限的定义

目的：要求学生首先从实例（感性）去认识数列极限的含义，体验什么叫无限地

“趋近”，然后初步学会用

N

语言来说明数列的极限，从而使学生在学习

数学中的“有限”到“无限”来一个飞跃。

过程：

一、实例：1当

n

无限增大时，圆的内接正

n

边形周长无限趋近于圆周长

2在双曲线

xy1

中，当x时曲线与

x

轴的距离无限趋近于0

二、提出课题：数列的极限 考察下面的极限

1111

1 数列1：

,

2

,

3

,,

n

,

10

101010

①“项”随

n

的增大而减少 ②但都大于0

1

③当

n

无限增大时，相应的项

n

可以“无限趋近于”常数0

10

123n

2 数列2：

,,,,,

234n1

①“项”随

n

的增大而增大 ②但都小于1

n

③当

n

无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数1

n1

11(1)

n

,

3 数列3：

1,,,,

23n

①“项”的正负交错地排列，并且随

n

的增大其绝对值减小

(1)

n

②当

n

无限增大时，相应的项可以“无限趋近于”常数

n

引导观察并小结，最后抽象出定义：

一般地，当项数

n

无限增大时，无穷数列

a

n

的项

a

n

无限地趋近于某

个数

a

（即

a

n

a

无限地接近于0），那么就说数列

a

n

以

a

为极限，或者

说

a

是数列

a

n

的极限。 （由于要“无限趋近于”，所以只有无穷数列

才有极限）

数列1的极限为0，数列2的极限为1，数列3的极限为0

三、例一 （课本上例一）略

注意：首先考察数列是递增、递减还是摆动数列；再看这个数列当

n

无限

增大时是否可以“无限趋近于”某一个数。

练习：（共四个小题，见课本）

四、有些数列为必存在极限，例如：

a

n

(1)

n

2

或a

n

n

都没有极限。

2

例二 下列数列中哪些有极限？哪些没有？如果有，极限是几？

1(1)

n

1(1)

n

1．

a

n

2．

a

n

3．

a

n

a

n

(aR)

2

2

5

3

4．

a

n

(1)

n1

5．

a

n

5



n

3

n

解：

1．

a

n

：0,1,0,1,0,1,…… 不存在极限

22

2．

a

n

：

2,0,,0,,0,

极限为0

35

3．

a

n

：

a,a

2

,a

3

,

不存在极限

33

4．

a

n

：

3,,1,

极限为0

24

n



555525

5



,,,,

无限趋近于0 5．

a

n

：先考察

：

392781

3



∴ 数列

a

n

的极限为

5

五、关于“极限”的感性认识，只有无穷数列才有极限

六、作业： 习题1

补充：写出下列数列的极限：1 0.9,0.99,0.999,…… 2

a

n

1

2

n

1

3456111

3

(1)

n1

4

,,,,

5

a

n

1

n

n

234524

2


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