2024年4月11日发(作者：包头二模中考数学试卷答案)
2021
年甘肃省白银市靖远县高考数学第三次联考试卷（理科）
一、选择题（每小题
5
分）．
1
．已知集合
M
＝
{x|x
﹣
1
＞
0}
，
N
＝
{x|x
2
＜
10}
，则
M
∩
N
＝（ ）
A
．
{x|x
＞﹣
}
B
．
{x|1
＜
x
＜
10}
C
．
{x|x
＞
}
D
．
{x|1
＜
x
＜
}
2
．若（
z+1
）（
1+i
）＝
i
，则＝（ ）
A
．
B
．
C
．
i
D
．
3
．“
a
，
b
，
c
成等比数列”是“
a
2
，
b
2
，
c
2
成等比数列”的（ ）
A
．充分不必要条件
C
．充要条件
B
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
4
．若
x
，
y
满足约束条件，则
z
＝﹣
x+y
的最大值为（ ）
A
．﹣
2
B
．
1
C
．
0
D
．﹣
1
5
．已知数列
{a
n
}
满足
2a
n
＝
3a
n
+1
﹣
a
n
+2
，
a
2
﹣
a
1
＝
1
．
（
1
）证明：数列
{a
n
+1
﹣
a
n
}
是等比数列；
（
2
）若
a
1
＝，求数列
{a
n
}
的通项公式．
6
．下列函数中，其图象关于原点对称的是（ ）
A
．
y
＝
x
（
cosx+sinx
）
C
．
y
＝（
3
x
+3
﹣
x
）
cosx
7
．函数
A
．
C
．
x
＝
k
π（
k
∈
Z
）
B
．
y
＝
x
5
（
4
x
﹣
4
﹣
x
）
D
．
y
＝
图象的对称轴方程为（ ）
B
．
D
．
，
8
．
x
2
＝
2py
已知抛物线
C
：（
p
＞
0
）的焦点为
F
，抛物线
C
的准线与
y
轴交于点
A
，点
M
（
y
0
）在抛物线
C
上，
|MF|
＝，则△
MAF
的面积为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
9
．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，
我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托
着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，
已知图二中正六边形
ABCDEF
的边长为
4
，圆
O
的圆心为正六边形的中心，半径为
2
，
若点
P
在正六边形的边上运动，
MN
为圆
O
的直径，则•的取值范围是（ ）
A
．
[6
，
12]
B
．
[6
，
16]
C
．
[8
，
12]
D
．
[8
，
16]
10
．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了
10
个小球，其中
9
个是
白球，
1
个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在
20
箱中各任意摸出一个小
球；方法二：在
10
箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率
分别记为
p
1
和
p
2
，则（ ）
A
．
p
1
＜
p
2
C
．
p
1
＞
p
2
11
．已知双曲线
B
．
p
1
＝
p
2
D
．以上三种情况都有可能
＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，以
OF
1
为直径的
圆与双曲线的一条渐近线交于点
M
（异于坐标原点
O
），若线段
MF
1
交双曲线于点
P
，
且
MF
2
∥
OP
，则该双曲线的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
，
AB12
．已知三棱锥
P
﹣
ABC
的每个顶点都在球
O
的球面上，
AB
＝
BC
＝
2
，
PA
＝
PC
＝
⊥
BC
，过
B
作平面
ABC
的垂线
BQ
，且
BQ
＝
AB
，
PQ
＝
3
，
P
与
Q
都在平面
ABC
的同侧，
则球
O
的表面积为（ ）
A
．
8
π
B
．
9
π
C
．
12
π
D
．
14
π
二、填空题（每小题
5
分）．
13
．已知等差数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
2a
7
＝
a
9
+4
，则
S
9
＝
．
14
．某公司有职工
800
人，其中不到
30
岁的有
120
人，
30
岁到
40
岁的有
400
人，
40
岁以
上的有
280
人．为了了解该公司职工与身体状况有关的某项指标，要从中抽取
200
名职
工作为样本，职工年龄与这项指标有关，则应该选择的抽样方法是
，
40
岁以上的
职工应抽取
名．
15
．中国古代数学名著《九章算术•商功》中记载了一种名为“堑堵”的几何体：“邪解立
方，得二堑堵．邪解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．”“堑堵”其实就是底面为直角三
角形的直棱柱．已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的侧面积为
．
16
．已知函数
f
（
x
）＝
e
x
﹣
mx
3
，曲线
y
＝
f
（
x
）在不同的三点（
x
1
，
f
（
x
1
）），（
x
2
，
f
（
x
2
）），
（
x
3
，
f
（
x
3
））处的切线均平行于
x
轴，则
m
的取值范围是
．
三、解答题：本大题共
5
小题，共
70
分
.
解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步
骤
.17
～
21
题为必考题，每个试题考生都必须作答第
22
，
23
题为选考题，考生根据要求作
答
.
（一）必考题：共
60
分
.
17
．
a
，
b
，
c
分别为△
ABC
内角
A
，
B
，
C
的对边．已知
a
＝
3bsinA
，
a
＝
3
，
c
＝
3
（
1
）若
b
＜
c
，求
b
；
（
2
）求
cos2C
．
18
．如图，在四棱锥
P
﹣
ABCD
中，平面
ABCD
⊥平面
PAB
，△
PAB
为等边三角形，四边形
ABCD
为矩形，
E
为
PB
的中点．
（
1
）证明：平面
ADE
⊥平面
PBC
．
（
2
）若
AB
＝
2AD
，求二面角
E
﹣
DC
﹣
B
的余弦值．
．
19
．
2021
年，“十四五”开局，全面建设社会主义现代化国家新征程由此开启，这一年，
中国共产党将迎来建党
100
周年．某企业开展“学党史，颂党恩，跟党走”的知识问答
活动，该企业收集了参与此次知识问答活动的员工得分情况，得到如表频率分布表：
得分
频率
[40
，
50
）
[50
，
60
）
[60
，
70
）
[70
，
80
）
[80
，
90
）
[90
，
100
）
0.04
0.10
a
b
0.20
0.12
其中样本的平均数是
73.6
．（假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）
（
1
）求
a
，
b
的值；
（
2
）根据此次知识问答活动的得分，评出四个等级，并根据等级给予如下的奖励：
得分
（
0
，
60
）
[60
，
70
）
[70
，
80
）
[80
，
100
）
合格
1
良好
2
优秀
4
评定等级
不合格
抽奖次数
0
每次抽奖的中奖率均为，每次中奖的奖金都为
100
元，求参与此次知识问答活动的某
员工所获奖金
X
的数学期望．
20
．已知椭圆
C
：＝
1
（
a
＞
b
＞
1
）长轴的顶点与双曲线
D
：＝
1
实轴的顶
点相同，且
C
的右焦点
F
到
D
的渐近线的距离为
（
1
）求
C
与
D
的方程；
（
2
）若直线
l
的倾斜角是直线
y
＝（
．
﹣
2
）
x
的倾斜角的
2
倍，且
l
经过点
F
，
l
与
C
．
交于
A
，
B
两点，与
D
交于
M
，
N
两点，求
21
．已知函数
f
（
x
）＝（
x
﹣
1
）
2
（
x+2
）．
（
1
）求
f
（
x
）的单调区间；
（
2
）当
0
＜
x
≤
1
时，证明：
f
（
x
）﹣
2ln
2
x
＜．
（二）选考题：共
10
分
.
请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答
.
如果多做，则按所做的第一
题计分
.[
选修
4-4
：坐标系与参数方程
]
22
．在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为（
m
为参数），以坐标原
x
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点
O
为极点，直线
l
的极坐标方程为ρ
cos
（θ
+
＝．
）
（
1
）求曲线
C
的普通方程和直线
l
的直角坐标方程；
（
2
）已知点
P
（
2
，
0
），若直线
l
与曲线
C
交于
A
，
B
两点，求
||PA|
﹣
|PB||
的值．
[
选修
4-5
：不等式选讲
]
23
．已知函数
f
（
x
）＝
|x
﹣
2|
﹣
a|x+1|
．
（
1
）当
a
＝
1
时，求不等式
f
（
x
）＜
x
的解集；
（
2
）当
a
＝
2
时，若关于
x
的不等式
f
（
x
）＞
m+1
恰有
2
个整数解，求实数
m
的取值范
围．
参考答案
一、选择题（每小题
5
分）．
1
．已知集合
M
＝
{x|x
﹣
1
＞
0}
，
N
＝
{x|x
2
＜
10}
，则
M
∩
N
＝（ ）
A
．
{x|x
＞﹣
解：∵
∴
故选：
D
．
2
．若（
z+1
）（
1+i
）＝
i
，则＝（ ）
A
．
B
．
C
．
i
D
．
．
}
B
．
{x|1
＜
x
＜
10}
C
．
{x|x
＞
，
}
D
．
{x|1
＜
x
＜
}
解：∵（
z+1
）（
1+i
）＝
i
，∴
z+1
＝，
则
z
＝
故选：
C
．
，故．
3
．“
a
，
b
，
c
成等比数列”是“
a
2
，
b
2
，
c
2
成等比数列”的（ ）
A
．充分不必要条件
C
．充要条件
解：若
a
，
b
，
c
成等比数列，则
b
2
＝
ac
，
此时
a
2
c
2
＝（
ac
）
2
＝
b
4
，则
a
2
，
b
2
，
c
2
成等比数列，即充分性成立，
反之当
a
＝
1
，
b
＝
1
，
c
＝﹣
1
时满足
a
2
，
b
2
，
c
2
成等比数列，但
a
，
b
，
c
不成等比数列，
即必要性不成立，
即“
a
，
b
，
c
成等比数列”是“
a
2
，
b
2
，
c
2
成等比数列”的充分不必要条件，
故选：
A
．
B
．必要不充分条件
D
．既不充分也不必要条件
4
．若
x
，
y
满足约束条件，则
z
＝﹣
x+y
的最大值为（ ）
A
．﹣
2
B
．
1
C
．
0
D
．﹣
1
解：由约束条件作出可行域如图，
联立，
A
（
1
，
2
），
由
z
＝﹣
x+y
，得
y
＝
x+z
，由图可知，当直线
y
＝
x+z
过
A
时，直线在
y
轴上的截距最大，
z
有最大值为
1
．
故选：
B
．
5
．已知数列
{a
n
}
满足
2a
n
＝
3a
n
+1
﹣
a
n
+2
，
a
2
﹣
a
1
＝
1
．
（
1
）证明：数列
{a
n
+1
﹣
a
n
}
是等比数列；
（
2
）若
a
1
＝，求数列
{a
n
}
的通项公式．
解：（
1
）证明：由
2a
n
＝
3a
n
+1
﹣
a
n
+2
可得，
a
n
+2
﹣
a
n
+1
＝
2
（
a
n
+1
﹣
a
n
），
又∵
a
2
﹣
a
1
＝
1
，
∴数列
{a
n
+1
﹣
a
n
}
是以
1
为首项，
2
为公比的等比数列．
（
2
）由（
1
）可知
∴
a
2
﹣
a
1
＝
1
；
a
3
﹣
a
2
＝
2
；
；
…
；
∴
∴
a
n
＝．
＝
2
n
1
﹣
1
，
﹣
，
6
．下列函数中，其图象关于原点对称的是（ ）
A
．
y
＝
x
（
cosx+sinx
）
C
．
y
＝（
3
x
+3
﹣
x
）
cosx
B
．
y
＝
x
5
（
4
x
﹣
4
﹣
x
）
D
．
y
＝
解：根据题意，函数图象关于原点对称的是奇函数，依次分析选项，
对于
A
，
y
＝
x
（
cosx+sinx
），其定义域为
R
，
有
f
（﹣
x
）＝（﹣
x
）
[cos
（﹣
x
）
+sin
（﹣
x
）
]
＝﹣
x
（
cosx
﹣
sinx
），
f
（
x
）为非奇非偶函
数函数，不符合题意；
对于
B
，
y
＝
x
5
（
4
x
﹣
4
﹣
x
），其定义域为
R
，
f
（﹣
x
）＝（﹣
x
）
5
（
4
﹣
x
﹣
4
x
）＝
f
（
x
），
函数
f
（
x
）为偶函数，不符合题意；
﹣
对于
C
，
y
＝（
3
x
+3
x
）
cosx
，其定义域为
R
，
f
（﹣
x
）＝（
3
﹣
x
+3
x
）
cos
（﹣
x
）＝（
3
x
+3
﹣
x
）
cosx
＝
f
（
x
），函数
f
（
x
）为偶函数，不符
合题意；
对于
D
，
y
＝
f
（﹣
x
）＝
故选：
D
．
7
．函数
A
．
C
．
x
＝
k
π（
k
∈
Z
）
解：
f
（
x
）＝
2cos
（
x+
）
cos
（
x
﹣
图象的对称轴方程为（ ）
B
．
D
．
，其定义域为
{x|x
＝
k
π
+
，
k
∈
Z
}
，
＝﹣
f
（
x
），
f
（
x
）为奇函数，符合题意．
）＝（
cosx
﹣
sinx
）（
cosx+sinx
）＝
cos2x
，令
2x
，
k
∈
Z
．
＝
k
π，
k
∈
Z
，得对称轴方程为
x
＝
故选：
A
．
8
．
x
2
＝
2py
已知抛物线
C
：（
p
＞
0
）的焦点为
F
，抛物线
C
的准线与
y
轴交于点
A
，点
M
（
y
0
）在抛物线
C
上，
|MF|
＝，则△
MAF
的面积为（ ）
，
A
．
B
．
C
．
D
．
解：由抛物线的定义及其性质可知，
|MF|
＝
y
0
+
＝，
∴
y
0
＝
∴
，
，
∴
p
＝，即
x
2
＝
3y
，
∴
A
（
0
，﹣），
M
（
∴
故选：
B
．
，
1
），
F
（
0
，），
＝，
9
．窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．每年新春佳节，
我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托
着辞旧迎新、接福纳祥的愿望．图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，
已知图二中正六边形
ABCDEF
的边长为
4
，圆
O
的圆心为正六边形的中心，半径为
2
，
若点
P
在正六边形的边上运动，
MN
为圆
O
的直径，则•的取值范围是（ ）
A
．
[6
，
12]
B
．
[6
，
16]
C
．
[8
，
12]
D
．
[8
，
16]
解：由正六边形
ABCDEF
的边长为
4
，圆
O
的圆心为正六边形的中心，半径为
2
，
故正六边形
ABCDEF
的内切圆半径为
r
＝
＝
4
．
而
易知
所以
故选：
C
．
，即
||
＝
．
＝．
，外接圆半径
R
的取值范围是
[8
，
12]
．
10
．在一次“概率”相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了
10
个小球，其中
9
个是
白球，
1
个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在
20
箱中各任意摸出一个小
球；方法二：在
10
箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率
分别记为
p
1
和
p
2
，则（ ）
A
．
p
1
＜
p
2
C
．
p
1
＞
p
2
B
．
p
1
＝
p
2
D
．以上三种情况都有可能
，则没有抽到黑球的概率解：根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为
为
1
﹣＝，
）
20
，
则至少能摸出一个黑球的概率
P
1
＝
1
﹣（
按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为，则没有抽到黑球的概率为
1
﹣＝，
则至少能摸出一个黑球的概率
P
2
＝
1
﹣（）
10
，
则有
P
1
﹣
P
2
＝
[1
﹣（
10
）
20
]
﹣
[1
﹣（）
10
]
＝（）
10
﹣（）
20
＝（）
10
﹣（）
＜
0
，
故
P
1
＜
P
2
，
故选：
A
．
11
．已知双曲线＝
1
（
a
＞
0
，
b
＞
0
）的左、右焦点分别为
F
1
，
F
2
，以
OF
1
为直径的
圆与双曲线的一条渐近线交于点
M
（异于坐标原点
O
），若线段
MF
1
交双曲线于点
P
，
且
MF
2
∥
OP
，则该双曲线的离心率为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
解：设
F
1
（﹣
c
，
0
），
F
2
（
c
，
0
），
由，解得
M
（﹣，），
因为
MF
2
∥
OP
，
O
为
F
1
F
2
的中点，
所以
P
为
F
1
M
的中点，所以
P
（﹣，），
将
P
的坐标代入双曲线的方程，可得
﹣＝
1
，
化简可得
c
2
＝
2a
2
，则
e
＝＝．
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