2024年4月11日发(作者：高三数学试卷答题顺序图)
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科
（新课标卷二Ⅱ）
第Ⅰ卷
一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的.
1.设集合M=｛0,1,2｝，N=
x|x
2
3x2≤0
，则
MN
=( )
A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝
2.设复数
z
1
，
z
2
在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk
z
1
2i
，则
z
1
z
2
（ ）
A. - 5 B. 5 C. - 4+
i
D. - 4 -
i
3.设向量
a,b
满足|
a+b
|=
10
，|
a-b
|=
6
，则
a
b
= ( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4.钝角三角形ABC的面积是
1
，AB=1，BC=
2
，则AC=( )
A. 5
2
B.
5
C. 2 D. 1
5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，
已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是
（ ）
A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45
6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的
是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛
坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）
A.
17
B.
5
C.
10
D.
1
279
27
3
7.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
8.设曲线y=
a
x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则
a
=
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
xy7≤0
9.设x,y满足约束条件
x3y1≤0
，则
z2xy
的最大值为（ ）
3xy5≥0
A. 10 B. 8 C. 3 D. 2
10.设F为抛物线C:
y
2
3x
的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两
点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（ ）
A.
33
93
C.
63
D.
9
B.
4
32
8
4
11.直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中，∠BCA=90°，M，N分别是A
1
B
1
，A
1
C
1
的中点，BC=CA=CC
1
，
则BM与AN所成的角的余弦值为（ ）
30
A.
1
B.
2
C. D.
105
10
2
2
fx
12.设函数
f
x
3sin
x
.若存在
f
x
的极值点
x
0
满足
x
0
2
0
m
，则m的取值范围
m
是（ ）
2
2
,6
6,
D.
,1
4,
A. B.
,4
4,
C.
,2
2,
第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第
22题~第24题为选考题，考生根据要求做答.
二.填空题
13.
xa
的展开式中，
x
7
的系数为15，则
a
=________.(用数字填写答案)
14.函数
f
x
sin
x2
2sin
cos
x
的最大值为_________.
15.已知偶函数
f
x
在
0,
单调递减，
f
2
0
.若
f
x1
0
，则
x
的取值范围是
__________.
16.设点M（
x
0
,1），若在圆O:
x
2
y
2
1
上存在点N，使得zxxk∠OMN=45°，则
x
0
的取值范围是
________.
三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列
a
n
满足
a
1
=1，
a
n1
3a
n
1
.
（Ⅰ）证明
a
n
1
是等比数列，并求
a
n
的通项公式；
10
2
（Ⅱ）证明：
1
1
…+
1
3
.
a
1
a
2
a
n
2
18. （本小题满分12分）
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=
3
，求三棱锥E-ACD的体积.
19. （本小题满分12分）
某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：
的数据如下表：
千元）
年份
年份代号
t
人均纯收入
y
2007
1
2.9
2008
2
3.3
2009
3
3.6
2010
4
4.4
2011
5
4.8
2012
6
5.2
2013
7
5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，
并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
b
tt
yy
ii
i1
n
t
i
t
i1
n
ˆ
ˆ
ybt
，
a
2
20. （本小题满分12分）
2
y
设
F
1
,
F
2
分别是椭圆C:
x
2
2
1
ab0
的左,右焦点，M是C上一点且
MF
2
与
x
轴垂直，直线
ab
MF
1
与C的另一个交点为N.
（Ⅰ）若直线MN的斜率为
3
，求C的离心率；
4
（Ⅱ）若直线MN在y轴上的截距为2，且
MN5F
1
N
，求
a,b
.
2
21. （本小题满分12分）
已知函数
f
x
=
e
x
e
x
2x
zxxk
（Ⅰ）讨论
f
x
的单调性；
（Ⅱ）设
g
x
f
2x
4bf
x
，当
x0
时，
g
x
0
,求
b
的最大值；
（Ⅲ）已知
1.414221.4143
，估计ln2的近似值（精确到0.001）
请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，有途高考网同按所做的第一题计分，做答时请
写清题号.
22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲
如图，P是
O
外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与
O
相交
于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交
O
于点E.证明：
（Ⅰ）BE=EC；
（Ⅱ）AD
DE=2
PB
2
23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为
2cos
，
.zxxk
0,
2
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线
l:y3x2
垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，
确定D的坐标.
24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲
设函数
f
x
=
x
1
xa(a0)
a
（Ⅰ）证明：
f
x
≥
2；
（Ⅱ）若
f
3
5
，求
a
的取值范围.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案
一、 选择题
（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D
（ 8）D （9）B （10）D （11）C （12）C
二、 填空题（13）
1
（14）1 （15）（-1,3） （16）[-1，1]
2
三、解答题
（17）解：（1）由
a
m1
3a
m
1
得
a
m1
11
3(a
m
).
22
1313
，所以，{
a
m
} 是首项为，公比为3的等比数列。
22
22
m
3
m
1
1
3
a
m
=，因此{
a
n
}的通项公式为
a
m
=
2
2
2
1
2
（2）由（1）知=
m
a
m
31
11
m1
m
因为当n
1时，
31
23,
所以，
m
3123
m1
11111
313
1
m1
=
(1
m
)
于是，
a
1
a
2
a
m
33
232
1113
所以，
a
1
a
2
a
m
2
又
a
1
（18）解：（1）连结BD交AC于点O,连结EO
因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点
又E为的PD的中点，所以EOPB
EO
平面AEC,PB
平面AEC，所以PB平面AEC
（2）因为PA
平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直
如图，以A为坐标原点，
AB
的方向为x轴的正方向，
AP
为单位长，建立空间直角坐标系，则A—
3
1
3
1
,),
AE
=(0, ,)
2
2
2
2
设B(m,0,0)(m＞0)，则C（m,
3
，0）
xyz,则D(0,
3
,0),则E(0,
设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，
则{
n
1
•AC0
n
1
•AE0
mx3y0
即{
3
1
yz0
22
可取
n
1
=（
3
,-1,
3
）
m
又
n
1
=（1,0,0）为平面DAE的法向量，
由题设
cos(n
1
,n
2
)
=
1
，即
2
3
13
=，解得m=
34m
2
22
1
，三棱锥E-ACD的体积为
2
因为E为PD的中点，所以三棱锥E-ACD的高为
V=
3
1131
3
=
3222
8
1
19解：由所得数据计算得
t
=（1+2+3+4+5+6+7）=4，
7
1
y
=(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3
7
(t
i1
7
i1
7
1
t)
2
=9+4+1+0+1+4+9=28
t)(y
1
y)
(t
7
1
=(-3)
（-1.4）+（-2）
（-1）+（-1）
（-0.7）+0
0.1+1
0.5+2
0.9+3
1.6=14，
(t
b=
i1
1
t)(y
1
y)
=
1
(t
i1
7
t)
2
14
=0.5
28
a=
y
-b
t
=4.3-0.5
4=2.3
所求回归方程为
y
=0.5t+2.3
(Ⅱ)由（Ⅰ）知，b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年
增加0.5千元.
将2015年的年份代号t=9代入（1）中的回归方程，得
y=0.5×9+2.3=6.8
故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元
（20）解：（Ⅰ）根据c=错误!未找到引用源。以及题设知M（c，错误!未找到引用源。），2错误!未找
到引用源。=3ac
将错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。代入2错误!未找到引用源。=3ac，
解得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。，错误!未找到引用源。=-2（舍去）
故C的离心率为错误!未找到引用源。
（Ⅱ）由题意，原点O的错误!未找到引用源。的中点，M错误!未找到引用源。∥y轴，所以直线M
错误!未找到引用源。与y轴的交点D是线段M错误!未找到引用源。的中点，故错误!未找到引用源。
=4，即 错误!未找到引用源。 ①
由错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。得错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
设N（x，y），由题意可知y<0,则错误!未找到引用源。 即错误!未找到引用源。
代入方程C，得错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1 ②
将①以及c=错误!未找到引用源。代入②得到错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1
解得a=7， 错误!未找到引用源。
a=7，错误!未找到引用源。
（21）解（Ⅰ）错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。-2≥0，等号仅当x=0时成立，所以f（x）
在（—∞，+∞）单调递增
（Ⅱ）g（x）=f(2x)-4bf(x)=错误!未找到引用源。-错误!未找到引用源。-4b(错误!未找到引用源。
-错误!未找到引用源。)+(8b-4)x
错误!未找到引用源。(x)=2[错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。+错误!未找到引用
源。]=2(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)(错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。)
（1） 当b
2时，g’(x)
0,等号仅当x=0时成立，所以g(x)在(-
,+
)单调递增，而g(0)=0，
所以对任意x>0,g(x)>0;
（2） 当b>2时，若x满足，2<
ee
xx
<2b-2即 0 b 2 2b )时g’(x)<0,而 g（0）=0,因此当0 ln(b-1+ b 2 2b )时，g(x)<0 综上，b的最大值为2 （3） 由（2）知，g(ln 2 )= 3 -2 2 b+2(2b-1)ln2 2 当b=2时，g(ln 2 )= 当b= 823 3 -4 2 +6ln2>0,ln2>>0.6928 12 2 32 +1时，ln(b-1+ b 2 2b )=ln 2 4 3 g(ln 2 )=-2 2 +(3 2 +2)ln2<0 2 182 in2<<0.693 28 (22)解：（1）连结错误!未找到引用源。AB,错误!未找到引用源。AC由题设知错误!未找到引用源。PA= 错误!未找到引用源。PD,故错误!未找到引用源。PAD=错误!未找到引用源。PDA 因为错误!未找到引用源。PDA=错误!未找到引用源。DAC+错误!未找到引用源。DCA 错误!未找到引用源。PAD=错误!未找到引用源。BAD+错误!未找到引用源。PAB 错误!未找到引用源。DCA=错误!未找到引用源。PAB 所以错误!未找到引用源。DAC=错误!未找到引用源。BAD,从而。。。。。。。 因此错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 （2）由切割线定理得 PA 2 =PB*PC错误!未找到引用源。 因为PA=PD=DC,所以DC=2PB,BD=PB 由相交弦定理得AD*DE=BD*DC 所以，AD*DE=2 PB 2 错误!未找到引用源。 (23)解：（1）C的普通方程为 错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。=1(0错误!未找到引用源。) 可得C的参数方程错误!未找到引用源。（t为参数，0错误!未找到引用源。 （Ⅱ）设D（1+cost,sint).由（Ⅰ）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。 因为C在点D处的切线与I垂直，所以直线GD与I的斜率相同。 tant=错误!未找到引用源。，t=π/3. 故D的直角坐标为（1+cosπ/3，sinπ/3）,即（3/2, 错误!未找到引用源。/2）. (24)解：（Ⅰ）由a>0,有f（x）=｜x+1/a｜+｜x-a｜≥｜x+1/a-(x-a)｜=1/a+a≥2. 所以f（x）≥2. （Ⅱ）f（x）=｜3+1/a｜+｜3-a｜. 当a＞3时，f（3）=a+1/a，由f（3）＜5得3＜a＜错误!未找到引用源。 当0 综上所诉，a的取值范围为（错误!未找到引用源。）
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错误,引用,小题,证明
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