多元双重最值问题的解法探究

2024年3月21日发(作者：数学试卷必刷题哪个好)

2020

年第

9

期

中学数学研究

•

63

•

析

[J].

中学数学研究(江西师大

),2019(12):48

-49.

[3]

江智如.托勒密定理巧解

2018

年福建质检理数

16

题

[J].

福建中学数学

,2018(7):42

-34.

[4]

江智如.高中平面向量教学中的

“

精致练习

”

[J].

福建中

学数学

,2016(1):16-19.

锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵锵粢锵粢粢

多元双重最值问题的解法探究

安徽省合肥一六八中学

(230000)

谈世勇

马文政

形如求

max]

min

{/

；

(%)

,f

2

{x

2

)

，

…

，

九

O

”

)

i

i

等的问题称为

“

双重最值问题

”

.按其变元的个数可

分为一元双重最值问题和多元双重最值问题.其中

双重最值问题综合性强

，

难度大

，

能力要求高.笔者

从熟题入手

，总结归纳了九种方法

，

帮助学生提高解

决此类问题的能力.

1.

利用绝对值不等式

利用绝对值三角不等式

I

a

I

-I

I

M

a

±

I

M

al

+1

b

求最值

，

主要是求一些含有双绝对值函

数的最值问题

，

比写成分段函数求最值简单.

例

1

求函数

/(%)

=

x

1

-a

I

在区间

[

-1,1]

上的最大值

M(a)

的最小值.

解:注意到

/(-I)

=/(1),

且

2M(a)

&/(0)

+

/(1)

=

I

a

I

+1

1

-

a

I

&

I

a

+

(1

-

a)

I

=

1,

所以

M(a)

N

,

*

当且仅当

a

=

1

-a,

即

a

=

*

时,

M(a)

.*

取得最小值

点评

：

对于解决函数形如

/(%)

=

I

ax\'

+

bx

+

c

I

,x

e

[-1,1]

的双重最值问题时

，

一定是取％

=

0,x

=

±

1

对应的函数值

，

它们都比最大值小

，

然后

利用绝对值三角不等式求出.

2.

利用均值不等式

利用均值不等式求最值

，

关键在于

“

拆

、

拼

、

凑

”

，

将条件或待求式变形为

“

和或积

”

是定值.常见

的变形技巧有转化符号

、

拆补项

、

配凑系数等.

例

2

(2002

年北京高中数学竞赛)若

a,b

>0,

求

min

dn{max{+

，

*

,/+62}}.

解

：

设

t

=

max|-i-,y

?a

2

+

沪},则

t

M

M

命

,£

M

a

2

+

6

2

,

所以护

(/

+尸)

=

三警

=2=

心近

,

当且仅当

a

=

b

=

越

有最小值世

,

即

min

in{max{1

，

+

,/

+灰}}=近.

点评:观察发现三个式子的积可以用均值不等

式轻松求出最小值

，

当然本题目也可以用三个式子

的和来求最小值的.

3.

利用柯西不等式

柯西不等式在不等式证明中占有重要的地位,

柯西不等式在高中数学竞赛中有会成为

“

常客

”

，

且

二维

、

三维柯西不等式在高中数学中的代数

、

几何

、

三角等各个方面都有联系

，

熟悉这些联系能本质地

把握不等式

，

并更自觉地应用它们.

例

3

若

a,b

,c

>0

且

a

+

b

+

c

=

3

,

求

minj

max

a

2

b

2

1

c

11

a

+

2b

+

3c

,

b

+

2c

+

3a\'c

+

2a

+

3Z>J

J

解

：

设方

=

max

a

2

b

2

a

+

2b

+

3c

‘

b

+

2c

+

3a

?

c

+2a+3b

c

Im.

｝

，

则

t

\"

a

+

2b

a

2

+

3c\"

—

b

+

2c

6

2

+

3a

?

t

M

c

丄;丄專

+

2a

+

5b

，

由柯西不等式得

3t

M

a

丄羔丄

+

2b

+

$

3c

+

----------

6

2

.

c2

_

(a

+

6

+

b

+

2c

+

3a

+

----------

c

+

2a

+

3b

三

c)?

_

6(a

+

6

+

c)

_

a+

^

+

c

=

号

=t

N

容

，

当且仅当

a

=

b

=

c

=

胳

O

2

O

取等号

，

即

min

max

b

2

a

+26

+

3c

J

b

+

2c

+

3a

9

____

L

____

]]=

雄.

c

+

2a

+

36

J

J

6

点评:柯西不等式可以解决整式

，

分式

，

与根式

的最值问题

,

通过观察发现分母之和为定值

,

这恰好

就是柯西不等式解决分式的功能.

4.

消元法

多元双重最值可以通过消元

，

使多元变为一元

，

然后通过构造函数解决问题

，

类似立体几何中的降

维

，

将三维转化为二维问题来处理.

5

例

4

设他

$0(

：

二

1,2,3,4,5),

丫

f=i

亿二

1,M

-

max{%]

+

久

2

，

久

2

+

久

3

，

久

3

+

X

4

，

久

4

+

久

5

}

，

求

M

的最

小值.

・

64

・

中学数学研究

2020

年第

9

期

，

M

M

街

+

光

2

解

：

由

<

M

M

%3

+

光

4

—

3M

M

衍

+

%2

+

%3

+

2%4

+

■

M

M

%4

+

%5

光

5

二

1

+

%4

M

1

—

孑

3

,

当兀

4

二

0

,%3

二兀

5

二

3

，

衍

+%2

二+时,

M

取得最小值

*

.

点评:通过观察

，

对比可以发现

，

最快的是将

M

-

max{%]

+

光

2

，

尤

2

+

光

3

，

尤

3

+

光

4

，

久

4

+

光

5

>

迭加

，

最大

化的消元

，

而且留下的变量最少越便于后面的再消

元.

5.

构造函数

构造函数是高中解决最值问题的常用方法之

一,构造函数需把握两点

：

一是掌握一些函数模型

，

二是能够转化到已有的函数模型.

例

5

设

a,b

,c

e

R

,/(%)

=

x

3

+

ax

2

+

bx

+

c

(-1

W%W1),

求

min

{

max

1/(%)

I

}.

解:注意到

/I%)

为

3

次函数且

%

e

[-1,11,

联

想到三倍角公式

cos30

=

4

cos

3

0

-

3cos&,

因此先构

造特殊函数

_/(%)

二％

3

-扌％

，

久

E

[-1,1],

设％二

COS0,3

E

[-

77,

7?],

则

/(%)

二

*

(4

cos

’

O

-

3cos0)

=

}cos30,

从而

max{|

/(%)

|

}

=

},

当且仅当

30

=0

,

±

77

,

土

277

,

±3

”

，

艮卩％

=

±1

或％

=

±

+

时取

等

，

故猜测

min{maxl

/(%)

I

}

二

设方二

max

I

I

,

而函数

/

(*%)

在％

=

±

1

=±y

取值分别是端点值与极值

，

满足丨/(

1)-

/(-I)

-2f(y)

+

2/(

-

y)

I

=

|

■

，

故

6f^l/(l)l

+1/(-1)

I

+21/(

)

*

I

+

21/(-

)

*

I

-/(-I)

-2/-

(

y

)

+2f(-y)

I

=

y,KP

t

三

4,

i

考虑到

/

(

*

%)

二戏

-

4%

3

，

%

$

[

-

1,1

】

时,

£

二

+

,

故

min

{

max

1/(%)

I

}

丄

4

点评

：

此类问题为切比多项式的逼值问题

，

从取

点到最后的调节系数

，

都是用已有的结构

，

本质上是

用端点与极值点配合绝对值进行放缩求值.

6.

利用韦达定理

韦达定理是高中数学中求最值的方法之一

，

由

已知题设中变量之间的关系

，

利用韦达定构造二次

函数

，

然后实行消元.

例

6

若

a,b,c

>

0

且

a

+

b

+

c

=

12

,ab

+

be

+

ca

=

45

,

求

min

{

max

j

a,b,c

}.

解

：

注意到

a,b,c

的对称性

，

故可设

a

=

max

j

a

,

b,c

,

又

b+c

=

12

-

a,be

=

45

-

a(

12

-

a)

,

所以

方程

/

+

(a-12)%+45-a(12-a)

=0

有两个不

产

a)

MO

大于

a

的实根

，

故

F?

j

a

§

a=>

5

当

a

=

b

5

M

0

=5

,c

=

2

时

，

min{max{a,6,c}}

=

5.

点评

：

通过两根的

“

和

”

与

“

积

”

构造函数

，设置

a

为三者中的最大值

，

构成根分布的范围

，

从而问题

得到解决.

7.

分类讨论

分类讨论作为高中数学常用的方法

，

主要是从

那分类

，

然后再合的过程.先

“

分

”

后

“

合

”

，

把握好

分类的节点

，

往往事情就比较好的解决了.

例

7

若

a,b

>

0,

求

min{max{a,6,

丄

+

土}}的

值.

解:设

t

=

max{a,6,

丄

+

令}

‘

则

t

三

a,t

2

b

,t

①

当

a

N

b

时,

t

M

1

1

+

4

~r

N

14

a

+

a

~

b

a

—

5

a

,

2t

a

a

2^5\",

当且仅当

a

=

b

=

^/5

时取等

;

②当

b

a

时,£工丄

4

、

1

4

5^

a

汀

+

Q

2

屁当且仅当

。

=6

朋时取等.

综上,£$点

，

当且仅当

a

二

b

二点时取等

，即

min

max{a,6

丄

+

$}}

=

6

点评:从

a,b

大小关系开始分类

，

最后再合并起

来

，

分类的关键点才是分类讨论中最为重要的.

8

.

待定系数法

待定系数法是高中数学常见的方法之一

，

先设

出系数

，

通过题设中的条件将问题解决.

例

7

的另解:设

t

=

max{a,6,

—

+

半]

，

则

t

三

L

a

b

J

a

三

bn

入

t

N

入且

t

三

—

1

+

牙

4

，

(入

t

+皿)

2020

年第

9

期

中学数学研究

问题能完美的解决.

例

8

（

2014

浙江竞赛

）

若

a

>

0,6

e

R

且

E«

严

65

•心

（

加+以

）

（

+

+

士

）

=入+

4

“

+

警

+

弓工

A

+4

“

+2

两

nd

三

X

+4

什

+2

內

,当且仅当

入

+

/X

max

{

min

{

2x

+

4,

ax

2

+6,5

-

a

=

b

=

t

且生仝二皿时取等

，

即

/z

二

4

入

，

a

=

b

=

b

a

3%

}

}

=

2,

求

a

+

b.

解:在同一坐标系中画出

務

*

max

{

a(6

,X

+

±}}

=

点评:通过题设引入参数

，

通过基本不等式的性质

进行消元

，

抓住等号成立的条件,将系数解出来

，

其主

fM

=2

先+

4

易

（

先

）

=+

—

b,f

3

（

x

）

=

5

-

3x

的图像

，

如

图

1,

则由图

1

可知当且仅当

图

E

（

光

）

过

4

（

-

1,2

）

,0

（

1,2

）

时

，

才有

max{

min

{

2x

+

4,

ax\'

+

6,5

-

3x]

}

二

2,

所以

a

+

b

=2.

点评

：

利用小函数的定义,取两个函数图像下方

的部分

，

组成新的函数

，

然后再求函数的最值.

要的难度是调节系数的过程

，

可以用设参来完成.

9.

数形结合

“

数

”

体现了精准,

“

形

”

体现了直观.二者结合

锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵粢粢锵粢锵锵粢锵锵粢锵粢粢

一个夏令营问题的别证与推广

山东省滨州学院理学院

(256603)

尹

杨

(256600)

宋志敏

试题的第

7

题.原证明利用了复数以及

n

次方根的

知识

，

证明复杂而且难懂

，

本证明更简洁明了.

命题

2

对于

n

e

N*

,

有

r

2

（

^j

•

山东省滨州市北镇中学

在文

[1]

中

，

陈世明老师以敏锐的观察力归纳

得到了

sin

初的一个优美的恒等式

：

sinn.0

=

-

2\"

“

口

sin

（

Q

+

—

n

w

N

随后利用欧拉公式严格证明了上述等式.此公

式简洁

、

优美

，

可以作为正弦函数\"倍角公式的一个

严

（

2

）

…

严

（

专

0

=

的

gamma

函数.

1

其中

r

（

x

）

为经典

有益的补充.关于三角函数倍角公式的应用读者也

可以参看文

[2].

本文中

，

作者利用这个公式给出了

证明:利用余元公式得

：

中国科技大学

2013

年夏令营第

7

题的一个新证明

，

r

（

^

）

r

（

i

—

刃二

,z

e

（

0,1

）

,

并取

Z

分

sin

（

^

）

别为

,

则有

：

r

（

丄

）

『

（

1

-丄

）

=

n

n

n

n

f

n

/

、

并且给出了

gamma

函数组合的一个新的恒等式.

命题

1

证明

sin

（

互

）

sin

件

）

\"

（

节小

n

2_i

-^,r

2

.77

n

sin

—

n

2

n

77

sm

—

n

.

2

tt

9

9

...

p/

U

l

n

证明

:在

siimO

=

-

2

n_1

Y[

sin

（

Q

4

-

—

j

n

已

N

中

，

两边除以

sin

（

0

+

77

）

可得

PJsin^

+

牛

）

二-

中冒

—

—

sm

n

对这

n

-

1

个等式做乘积

，

则有

71-1

-----------77

丹

小

二机,固定\"令

&T0,

则有

2

sin

（

77

+

ff

）

2

sin

。

打

sin

如=侖

，

这里利用了极限公式

lim

气

=

左

=1

ti

Z

*o

sin

（

/

n.

注:命题

1

是中国科技大学

2013

年夏令营数学

严

77-

1

sin

ft

3111

鬥

…

sin

再利用命题

1

71-1

------------77

I

得

「

2

(+)珂.

n