2024年3月21日发(作者：全国各地区数学试卷)
2020年第8期 福建中学数学 3
参考文献
[1]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（实验）[S]．北京：
人民教育出版社，2003
[2]中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017版）[S]．北京：
人民教育出版社，2018
[3]高中学业水平考试复习纲要编写组．福建省普通高中学业水平考试复
习纲要数学[M]．福州：福建教育出版社，2019
（本文系福建省教育科学“十三五”规划2018年度课题《新高考背景下高
中生学业成绩分化的归因研究》（立项批准号：FJJKXB18-508）、福建省
教育科学“十三五”规划2018年度课题《借助“互联网+”培养中学生数学建
模能力的实践研究》（立项批准号：FJJKXB18-544）的研究成果）
Schooten定理的一个空间类比
陶 宏 江苏省昆山市第一中学（215300）
BP
V
B−PAD
斯库顿定理 如图1，
AD
为
∠BAC
的平分线，则
所以
==
CPV
C−PAD
（1）
（2）设
AC=b
，
AD
2
=
AB
⋅
AC
−
BD
⋅
CD
；
AB
=
c
，
S
∆BDP
S
∆ABP
2b
2
c
2
(1+cosA)
2
所以
==
由角平分定理和余弦定理可得
AD=
．
2
SS
(b+c)
∆CDP∆ACP
这样我们得到Schooten定理的两边夹角形式，
下面类比（2）的形式猜想Schooten定理的一个空间
形式．
定理1 在四面体
ABCD
中，平面
PAD
是二面角
交棱
BC
于
P
，设
S
∆ABD
=S
1
，
B−AD−C
的角平分面，
S
∆ACD
=S
2
，
S
∆ADP
=S
P
，二面角
B−AD−C
的大小为
2
S
1
，
S
2
BP
S
1
．
=
CPS
2
θ
，则
S
P
2S
1
2
S
2
2
(1+cos
θ
)
．
=
(S
1
+S
2
)
2
定理的证明需要用到如下两个引理：
引理1
[1]
在四面体
ABCD
中，设
S
∆ABD
=S
1
，
S
∆ACD
=S
2
，二面角
B−AD−C
的大小为
ϕ
，公共棱
AD
长
设
S
∆BCD
=S
3
，
S
∆ABC
=S
4
，
S
1
S
1
则
S
∆
BDP
=
S
∆
BCD
S
3
，
=
S
1
+
S
2
S
1
+
S
2
S
2
S
2
S
∆
CDP
=
S
∆
BCD
S
3
，
=
S
1
+
S
2
S
1
+
S
2
S
1
S
1
=S
∆ABP
=S
∆ABC
S
4
，
S
1
+S
2
S
1
+S
2
S
1
S
1
=S
∆ACP
=S
∆ABC
S
4
．
S
1
+S
2
S
1
+S
2
设二面角
B−PD−A=
β
，
γ
，
B
−
PA
−
D
=
则二面角
C−PD−A=π−
β
，
C−PA−D=π−
γ
．
2
为
l
，则该四面体体积为
V=S
1
S
2
sin
ϕ
．
3l
S
∆ACD
引理2
[2]
在四面体
ABCD
中，设
S
∆ABD
=S
1
，
=S
2
，
S
∆ABC
=S
3
，
S
∆BCD
=S
4
．侧面
ABD，ACD，ABC
与底面
BCD
所成二面角的大小分别为
α
，
β
，
γ
，则
S
4
=cos
α
⋅S
1
+cos
β
⋅S
2
+cos
γ
⋅S
3
．
A
B
A
B
D
P
C
D
图1 图2
C
定理1的证明 如图2，
设二面角
B−AD−C=
θ
，
AD=l
，
2
θ
由引理1，得
V
B−PAD
=S
1
S
∆PAD
sin
，
3l2
2
θ
V
C−PAD
=S
2
S
∆PAD
sin
，
3
l
2
由引理2得：
S
1
S
1
θ
S
P
=S
1
cos+S
3
cos
β
+S
4
cos
γ
①，
2S
1
+S
2
S
1
+S
2
S
1
θ
同理可得
S
P
=S
2
cos+S
3
cos(π−
β
)
2S
1
+S
2
S
1
+S
4
cos(π−
γ
)
，
S
1
+S
2
S
2
S
2
θ
S
P
=S
2
cos−S
3
cos
β
−S
4
cos
γ
②，
2S
1
+S
2
S
1
+S
2
由①
×S
2
+
②
×S
1
，
得
(S
1
+S
2
)S
P
=2S
1
S
2
cos
所以
S=
2
P
2
4S
1
2
S
2
cos
2
θ
2
，
22
2
=
2S
1
S
2
(1+cos
θ
)
．证毕．
(S
1
+S
2
)
2
(S
1
+S
2
)
2
θ
《数学通报》曾刊出如下一个问题：
4 福建中学数学 2020年第8期
问题1519 设
m
a
，w
a
分别表示
∆ABC
在
a
边上的
m
b+c
中线长和角平分线长，求证：
a
≥
．
w
a
2bc
下面拟给出该不等式的一个空间形式．
定理2 在四面体
ABCD
中，设
M
是棱
BC
的中
点，平面
PAD
是二面角
B−AD−C
的角平分面，交
棱
BC
于点
P
，设
S
∆ABD
=S
1
，
S
∆ACD
=S
2
，
S
∆ADM
=S
M
，
S
ADP
2
S
M
(S
1
+S
2
)
2
=S
P
，则
2
≥
．
4S
1
S
2
S
P
(S
1
+
S
2
)
2
所以
S
−
S
⋅
2
S
1
S
2
2
M
2
P
S
1
2
+S
2
2
+2S
1
S
2
cos
θ
2S
1
2
S
2
2
(1+cos
θ
)(S
1
+S
2
)
2
−⋅
44S
1
S
2
(S
1
+
S
2
)
2
2
S
1
2
+S
2
−2S
1
S
2
(S
1
−S
2
)
2
≥0
，
=
4
4
2
S
M
(S
1
+
S
2
)
2
，
故
2
≥
4S
1
S
2
S
P
定理2的证明需要如下一个引理：
引理3
[3]
（Apollonius定理的一个空间形式）在
四面体
ABCD
中，设
M
是棱
BC
的中点，设
S
∆ABD
=
S
1
，
S
∆ACD
=S
2
，
S
∆ADM
=S
M
，二面角
B−AD−C
的大
当且仅当
S
1
=S
2
时，
S
M
=S
P
．证毕．
参考文献
[1]王福楠．解答一道竞赛题的启示及应用[J]．中学理科参考资料，1992
（3）：6-7
[2]杜锡陆．发现题目及其解法的本质．高中数学竞赛教程[M]．南京：江
苏教育出版社，1989
[3]王福楠．Apollonius定理的一个空间形式[J]．中学数学，2001（9）：49-50
小为
θ
，则
S
M
=
1
22
(
S
1
+S
2
+
2
S
1
S
2
cos
θ
))
．
4
2
2S
1
2
S
2
(1+cos
θ
)
2
定理2的证明 由定理1得
S
P
=
，
(S
1
+S
2
)
2
2
“盘活”经典结论，激发创新思维
——一道经典结论的再证与探究
张 威 云南省曲靖市第一中学（655000）
教师给出结论1，学生甲很快给出了证明思路．
近几年，高考中的圆锥曲线试题时常与结论的
思路1 设直线
PA
的斜率为
k
，写出直线
PA
的
特殊化应用密切相关，如2018年全国Ⅲ卷理科20
方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理求点
A
的
题与“点差法”的相关结论有关，2019年则是“阿基米
坐标，同理求点
B
的坐标，最后解得直线
AB
的斜率．
德三角形”的特殊应用．部分数学教育工作者认为，
看似简单的证明思路，但学生证明起来是一点
有必要让学生记住一些经典结论，但笔者始终认为
也不简单．由于计算过程复杂，能完整证明的同学
“授之以鱼”不如“授之以渔”，引领学生再探经典结
很少，笔者适时提出了探究问题：
论，在探究过程中学生的数学核心素养自然凝练，
探究1 我们能否利用三角形
PAB
的中位线对直
创新思维频现，课堂必然惊喜不断．
线
AB
的斜率进行等价转化呢？
笔者首先引导学生探讨结论的证明方法，然后
学生乙给出了如下思路及证明过程：
不断抛出探究问题，吸引学生一步一步走入深度思
思路2 设直线
PA
的斜率为
k
，线段
PA，
考．整节课，始终以学生为主体，教师主导，不仅“盘
PB
的中
活”了结论，更“盘活”了学生的思维．以下内容依据
点
M，N
，写出直线
PA
的方程，根据“点差法”得到
课堂实录整理：
直线
OM
的斜率与
k
的关系，并写出直线
OM
的方
x
2
y
2
结论1 过椭圆
2
+
2
=1(a>b>0)
上任意一点
ab
P
(
x
0
，y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
A，B
两点，则直线
AB
有定向且
k
AB
b
2
x
0
=
2
．
ay
0
程，联立两直线方程求点
M
的坐标，同理求
N
点坐
标，直线
MN
的斜率即为直线
AB
的斜率．
y
1
)
，
N(x
2
，
证明 设弦
PA，
PB
的中点分别为
M(x
1
，
y
2
)
，
PA
的斜率为
k
，
O
为坐标原点，则
k
AB
=k
MN
．
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学生,定理,结论,证明,直线
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