基于数学核心素养的概念教学设计——以“平面向量数量积的物理背_百

2024年3月21日发(作者：3月质检数学试卷)

2020年第2期 福建中学数学 21

基于数学核心素养的概念教学设计

——

以

“

平面向量数量积的物理背景及其含义

”

为例

王

婵

福建省福州市时代中学（

350007

）

《普通高中数学课程标准（

2017

版）》指出，数

学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学

建模、直观想象、数学运算和数据分析．高中数学

教学以发展数学学科的核心素养为导向，发展学生

的核心素养是通过学习数学的过程和应用数学解决

问题的过程实现的．

[1]

数学概念是落实数学核心素养

的重要载体．概念是基本的数学内容，是逻辑导出

定理、公式、性质、法则的出发点，是建立学生认

知结构的着眼处，是形成思想方法的基础．在数学

概念的教学中，可以采用

“

特殊到一般再特殊

”

的循环

教学．教师以问题为驱动，充分尊重学生的认知水

平，注重过程性教学，让学生积累从具体到抽象的

活动经验，在概念教学中落实学生的数学核心素

养．笔者以

“

平面向量数量积的物理背景及其含义

”

为例，谈谈基于数学核心素养的概念教学，以期与

同行交流．

1 背景分析

向量兼具“数”和“形”双重形态，是沟通代数和几

何的桥梁．平面向量的数量积是在学生学习了向量

的有关概念和向量的线性运算的基础上，探索向量

的又一种新的运算．平面向量的数量积是向量与向

量的运算．平面向量数量积概念中涉及的模（长度）

和角度的运算，在解三角形、解析几何及空间向量

中都有着广泛的应用．

然而在日常的教学中发现，学生对于平面向量

数量积的有关内容掌握不好，追其原因，主要是忽

略了平面向量数量积概念的形成过程，只一味的机

械记忆、被动接受和套用公式．对于两个向量经过

数量积运算后得到一个数量，这种运算规则打破了

学生的定式思维，从而给学生的认知带来了困难．

对于

“

平面向量数量积的物理背景及其含义

”

一

课，教师需在理解教材的基础上，从学生已有的物

理知识出发，在教学过程中以数量积的物理背景为

线索展开数学概念教学．

2 教学过程

2.1 基于数学抽象和逻辑推理素养的概念生成

问题1 如果一个物体在力

F

的作用下产生位移

s

（如图1），力和位移的夹角为

θ

，那么力

F

所做

的功为多少？

学生根据所学物理知识易得：

W

=

|

F

||

s

|cos

θ

．

F

θ

s

图

1

问题2

这个等式中涉及到几个量？它们分别是

向量还是数量？

问题3

物理中的做功能否看成两个向量的一种

运算？

教师引导学生认识功

W

是一个数量，运算中既

涉及

“

长度

”

和

“

角

”

，而且只与向量

F，s

有关．可以看

成两个向量的运算，从而引出向量的数量积的定义：

已知两个非零向量

a，b

，我们把数量

|a||b|cos

θ

叫做

a

与

b

的数量积（或内积），记作

a⋅b

，即

a⋅b|a|⋅

|b|cos

θ

，其中夹角

θ

是

a

与

b

的夹角．

设计意图 通过实际问题的背景、设置合理的情

境、构建恰当的模型，将要学习的数学概念具体化，

便于从学生的最近发展区入手．从具体的事物中舍

弃事物的一切非数学属性（如物理属性、化学属性、

社会属性等），从数量与数量的关系、图形与图形

关系等方面抽象出数学的本质与规律，然后用数学

语言及符号加以表征，得到一般性的数学概念．通

过三个问题的设置，从

“

功的计算

—

运算对象及结果

—

运算法则

”

，环环相扣，具有很强的逻辑性．而且

这一过程符合学生的认知水平，体现了从特殊到一

般的思想方法，激发了学生探索新知的欲望．

定义要点：①

a，b

是非零向量；②

“

⋅

”

是数量积

的运算符号，不能省略，也不能用

“

×

”

代替；③数量

积的结果为数量．

规定：零向量与任一向量的数量积为

0

．

教师：当问题

1

中的力的大小为

0

或者物体在

力的作用下没有移动时，做的功都为

0

．

设计意图 用物理中做功的例子说明这种规定

的合理性．数学虽然是抽象的，但很多数学概念都

是来源于生活，且服务于生活．

2.2 基于逻辑推理和直观想象素养的概念发展

22 福建中学数学 2020年第2期

问题4

两个非零向量的数量积何时为正，何时

为负？它能等于零吗？

问题5

两个向量的夹角决定了它们数量积的符

号．那么它们共线或垂直时，数量积有什么特殊性？

问题6

当

a=b

时，它们的数量积又怎样呢？

最后教师进一步总结（

a，b

为两个非零向量）：

a⊥b⇒a⋅b=0

，用于判定两向量垂直；

|a⋅b|=|a||b|

，用于判断两向量平行；

=|a|=a⋅aa

2

，用于计算向量的模；

cos

θ

=

a⋅b

|

a

||

b

|

，用于计算向量的夹角．

设计意图 在数学概念初步生成后，通过教师引

导，展开合理的探究活动，加深对数学概念内涵的

理解．对特殊位置关系的两个向量数量积进行研究，

从一般到特殊，让学生理解向量数量积能简洁地表

述几何中的许多结果，如线段长度、直线垂直等，

让学生体会向量数量积运算的强大功能，感受向量

数量积的广泛运用，增强学生学好数量积的信心．

问题7

平面向量的加法、减法、数乘都有几何

意义，那么数量积的几何意义呢？

教师引导学生回到问题

1

，如图

2

，力

F

可分解

成水平方向和竖直方向上的力，做功等于力与在力

方向上通过的位移之积，即

=W|s|(|F|cos

θ

=)|F|⋅

|s|cos

θ

．同理，对于数量积定义

a⋅b=|a|(|b|cos

θ

)

=|a||b|os

θ

，我们把

acos

θ

(bcos

θ

)

叫做

a

在

b

方向

上（

b

在

a

方向上）的投影．

让学生通过动手作图，得到几何直观．如图

3

，

OB

1

=|b|cos

θ

．

F

2

F

θ

F

b

B

1

s

O

|b|

θ

cos

θ

B

1

a

A

图

2

图

3

问题8

向量

a

在

b

方向上的投影是向量还是数

量？其正、负、零由谁决定？

问题9

你能从向量投影的定义解释平面向量数

量积的几何意义吗？

由向量投影的定义，得到平面向量数量积的几

何意义：数量积

a⋅b

等于

a

的长度

|a|

与

b

在

a

方向上

的投影

|b|cos

θ

的乘积．

设计意图 向量投影的概念对于学生来说是一

个难点．为了突破此难点，还应从功的物理背景出

发．做功等于力与在力方向上通过的位移之积，所

以要把力往位移方向投影，这样就得到向量投影的

概念．问题

8

与问题

4

相呼应，从

“

形

”

的角度验证两

向量夹角决定数量积的符号，与数量积定义的结果

保持一致．问题驱动是讲逻辑的，结果呈现当然也

是有逻辑的．在这个过程中，学生通过观察、想象、

操作、辨别、概括、符号化等数学活动，形象、直

观地感受向量投影及其含义；让学生从

“

形

”

的角度重

新认识平面向量数量积，从中体会数量积与向量投

影的关系，准确理解平面向量数量积的几何意义．

2.3 基于逻辑推理和数学运算素养的概念运用

问题10

数量积作为一种运算，它满足怎样的运

算律呢？类比实数乘法运算律，写出数量积满足的

运算律．

教师引导学生类比发现，观察思考，从实数乘

法运算律类比，归纳猜想，反例举证排除，小组讨

论探究，教师适时指导．

问题11

你能推导下列向量数量积的运算律

吗？（其中

a，，bc

为向量，

λ

为实数）

（

1

）

a⋅b=b⋅a

；

（

2

）

(

λ

a)⋅b=

λ

(a⋅b)=a⋅(

λ

b)

；

（

3

）

(a+b)⋅c=a⋅c+b⋅c

．

对于（

1

）（

2

）学生容易完成；对于（

3

），教师

引导学生从数量积的几何意义的角度来证明．

问题12

已知

|a|=6

，

|b|=4

，

a

与

b

的夹角

θ

=

60



，设

c=a+2b

，

d=a−3b

，求

c⋅d

，

|d|

，

c

在

d

方向上的投影．

设计意图 在探究一种算法时，往往归纳先导，

演绎推进；归纳体现了思考的创造性，演绎体现了

思考的严谨性．在思考的过程中培养学生类比创新

意识，同时也加强了学生的推理论证能力，将知识

的获得和能力的培养有机的结合在一起．

3 教学小结

本节课在学习向量数量积的过程中，要让学生

初步体会概念学习的一般方法：先由特殊模型，创

设情境，通过感知识别；从而分离属性，抽象数学

本质，加以符号表征，得到数学概念；再从概念出

发，研究性质和规律，然后运用到具体的实际问题

中．教师在理解数学、理解教学、理解学生的基础

上，以学生经历知识发生和发展为前提，充分尊重

学生的认知水平，重视概念教学，那么学生在这过

程中就能积累从具体到抽象的活动经验，建构系统

的知识脉络，形成理性的数学思维，最后数学核心

2020年第2期 福建中学数学 23

素养的落实也就水到渠成了．由于思维习惯和思维

方式的培养是一种养成性的教育，数学核心素养的

培养当然不是几堂课就能立竿见影的，需要教师在

日常教学中从点点滴滴做起．

参考文献

[1]

史宁中，王尚志．普通高中数学课程标准（

2017

年版）解读

[M]

．北

京：高等教育出版社，

2018

[2]

任军涛．整体把握研究教材，探寻概念教学着力点

——

以

“

平面向量数

量积的物理背景及其含义

”

为例

[J]

．中学数学教学参考，

2019

（

4

）：

21-23

HPM视角下的课堂教学实践与反思

万 兵

李景财

2

1华中科技大学附属中学（430074） 2武汉东湖新技术开发区教育发展研究院（430074）

2.1 情境导学

一门学科的历史知识好比是“使面包和黄油更加

教师：公元前两千年左右，古巴比伦人在他们

可口的蜂蜜”，“有助于使该学科更具吸引力”，能够

的著作《泥板文书》上曾提出过这样一个问题：“已

激发学生学习兴趣，使他们树立正确的价值观．如

知长方形面积，以及长和宽之差，求长和宽？”

果用历史回顾和历史轶事点缀枯燥的问题求解和几

如果长方形的面积为24，长和宽之差为2，该

何证明，学生的学习兴趣就会大大增加．通过历史

长方形的长和宽为多少呢？

的解说，教师可以让学生明白，数学并不是一门枯

学生1：设长方形的宽为

x

，则长为

x+2

，

燥的学科，而是一门不断进步的生动有趣的学科．

一门学科的历史是这门学科的教学指南，因为

∴x(x+2)=24

．

学生的理解具有历史相似性，正如HPM（History and

教师：我们所得到的方程是一个什么方程？

Pedagogy of Mathematics）先驱者史密斯所说：“困扰

学生2：一元二次方程；

世界的东西也会困扰儿童，世界克服其困难的方式

教师：如何解这个方程呢？（揭示课题）

提示我们，儿童在其发展过程中会以类似的方式来

教学分析 这一问题首先将学生带入到公元前

克服类似的困难”．换而言之，学生所遭遇的困难往

两千年左右的古巴比伦时期，激发学生们的兴趣，

往是相关学科的创建者经过长期思索和探究后所克

让学生感知这一数学问题产生的必然性和久远的历

服的实际困难，个体知识的发生遵循人类知识的发

史．同时兼顾到了问题的难度，学生容易上手，主

生过程，因此，数学史是有效的教学工具．

动建构了一条逻辑连贯的学习链条．

结合上述理论，笔者在2018年武汉市初中数学

2.2 问题促学

优质课比赛中，设计了一节基于HPM视角的优质课，

观看微视频，并在学案上完成下列三个问题：

教学内容为人教版第21章第2节《配方法》的第一

史实材料1：在历史上，最早出现的一元二次方

课时，探究如何让数学史如何融入数学教学，并进

程来源于古埃及的《纸草文书》上所提出的问题：“已

行了课后反思．

知正方形的面积，求边长？”

1 教学目标

一个正方形的面积是5，求该正方形的边长？

①会用直接开方法解形如

x

2

=p

，

(x+n)

2

=p(p

史实材料2：古埃及祭司针对上述问题，提出了

1

≥0)

的方程，理解配方法，会用配方法解形如形如

x

2

+bx+c=0

的方程；

②通过探索配方法的过程，让学生体会转化的

数学思想方法；

③学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜

悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣；

2 教学片段及分析

一个拓展问题：“已知长方形面积以及长和宽之比，

求长和宽？”

一个长方形的长和宽之比为3:2，面积为30，求

该长方形的长和宽？

史实材料3：因农业生产需要，农民需要对正方

形土地进行扩建改造：将一个正方形的边长增加3，

得到新的正方形面积为25，求原来正方形的边长？